Theorem lelttr 9453

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 23-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lelttr	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )

Proof of Theorem lelttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 9449	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )
2	1	3adant3 1001	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )
3		lttr 9439	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
4	3	exp3a 436	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B -> ( B < C -> A < C ) ) )
5		breq1 4283	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A < C <-> B < C ) )
6	5	biimprd 223	. . . . 5 |- ( A = B -> ( B < C -> A < C ) )
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A = B -> ( B < C -> A < C ) ) )
8	4, 7	jaod 380	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B ) -> ( B < C -> A < C ) ) )
9	2, 8	sylbid 215	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B -> ( B < C -> A < C ) ) )
10	9	imp3a 431	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 958   = wceq 1362   e. wcel 1755   class class class wbr 4280   RRcr 9269   < clt 9406   <_ cle 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412

This theorem is referenced by:  letr  9456  lelttri  9489  lelttrd  9517  letrp1  10159  ltmul12a  10173  ledivp1  10222  supmul1  10283  bndndx  10566  uzind  10721  fnn0ind  10729  rpnnen1lem5  10971  xrinfmsslem  11258  elfzo0z  11573  fzofzim  11577  elfzodifsumelfzo  11588  flge  11639  flltdivnn0lt  11661  fsequb  11781  expnlbnd2  11979  swrdswrd  12338  swrdccatin12lem3  12365  repswswrd  12406  caubnd2  12829  caubnd  12830  mulcn2  13057  cn1lem  13059  rlimo1  13078  o1rlimmul  13080  climsqz  13102  climsqz2  13103  rlimsqzlem  13110  climsup  13131  caucvgrlem2  13136  iseralt  13146  cvgcmp  13262  cvgcmpce  13264  ruclem3  13498  ruclem12  13506  algcvgblem  13735  pclem  13888  infpn2  13957  metss2lem  19928  ngptgp  20064  nghmcn  20166  iocopnst  20354  ovollb2lem  20813  ovolicc2lem4  20845  volcn  20928  ismbf3d  20974  dvcnvrelem1  21331  dvfsumrlim  21345  ulmcn  21749  mtest  21754  logdivlti  21954  isosctrlem1  22101  ftalem2  22296  chtub  22436  bposlem6  22513  chtppilim  22609  dchrisumlem3  22625  pntlem3  22743  nvnencycllem  23352  vacn  23912  nmcvcn  23913  blocni  24028  chscllem2  24864  lnconi  25260  staddi  25473  stadd3i  25475  ltflcei  28263  lxflflp1  28265  geomcau  28499  heibor1lem  28552  bfplem2  28566  rrncmslem  28575  climinf  29625  leltletr  30019  el2fzo  30058  clwlkisclwwlklem2a  30293  zm1nn  30314