Theorem lelttr 9121

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 23-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lelttr	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )

Proof of Theorem lelttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 9117	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )
2	1	3adant3 977	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )
3		lttr 9108	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
4	3	exp3a 426	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B -> ( B < C -> A < C ) ) )
5		breq1 4175	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A < C <-> B < C ) )
6	5	biimprd 215	. . . . 5 |- ( A = B -> ( B < C -> A < C ) )
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A = B -> ( B < C -> A < C ) ) )
8	4, 7	jaod 370	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B ) -> ( B < C -> A < C ) ) )
9	2, 8	sylbid 207	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B -> ( B < C -> A < C ) ) )
10	9	imp3a 421	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   class class class wbr 4172   RRcr 8945   < clt 9076   <_ cle 9077

This theorem is referenced by:  letr  9123  lelttri  9156  lelttrd  9184  letrp1  9808  ltmul12a  9822  ledivp1  9868  supmul1  9929  bndndx  10176  uzind  10317  fnn0ind  10325  rpnnen1lem5  10560  xrinfmsslem  10842  flge  11169  fsequb  11269  expnlbnd2  11465  caubnd2  12116  caubnd  12117  mulcn2  12344  cn1lem  12346  rlimo1  12365  o1rlimmul  12367  climsqz  12389  climsqz2  12390  rlimsqzlem  12397  climsup  12418  caucvgrlem2  12423  iseralt  12433  cvgcmp  12550  cvgcmpce  12552  ruclem3  12787  ruclem12  12795  algcvgblem  13023  pclem  13167  infpn2  13236  metss2lem  18494  ngptgp  18630  nghmcn  18732  iocopnst  18918  ovollb2lem  19337  ovolicc2lem4  19369  volcn  19451  ismbf3d  19499  dvcnvrelem1  19854  dvfsumrlim  19868  ulmcn  20268  mtest  20273  logdivlti  20468  isosctrlem1  20615  ftalem2  20809  chtub  20949  bposlem6  21026  chtppilim  21122  dchrisumlem3  21138  pntlem3  21256  nvnencycllem  21583  vacn  22143  nmcvcn  22144  blocni  22259  chscllem2  23093  lnconi  23489  staddi  23702  stadd3i  23704  ltflcei  26140  lxflflp1  26142  geomcau  26355  heibor1lem  26408  bfplem2  26422  rrncmslem  26431  climinf  27599  swrdswrd  28011  swrdccatin12b  28027  swrdccat3  28029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082