Theorem lelttr 9486

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 23-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lelttr	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )

Proof of Theorem lelttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 9482	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )
2	1	3adant3 1008	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )
3		lttr 9472	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
4	3	expd 436	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B -> ( B < C -> A < C ) ) )
5		breq1 4316	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A < C <-> B < C ) )
6	5	biimprd 223	. . . . 5 |- ( A = B -> ( B < C -> A < C ) )
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A = B -> ( B < C -> A < C ) ) )
8	4, 7	jaod 380	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B ) -> ( B < C -> A < C ) ) )
9	2, 8	sylbid 215	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B -> ( B < C -> A < C ) ) )
10	9	impd 431	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   class class class wbr 4313   RRcr 9302   < clt 9439   <_ cle 9440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445

This theorem is referenced by:  letr  9489  lelttri  9522  lelttrd  9550  letrp1  10192  ltmul12a  10206  ledivp1  10255  supmul1  10316  bndndx  10599  uzind  10754  fnn0ind  10762  rpnnen1lem5  11004  xrinfmsslem  11291  elfzo0z  11610  fzofzim  11614  elfzodifsumelfzo  11625  flge  11676  flltdivnn0lt  11698  fsequb  11818  expnlbnd2  12016  swrdswrd  12375  swrdccatin12lem3  12402  repswswrd  12443  caubnd2  12866  caubnd  12867  mulcn2  13094  cn1lem  13096  rlimo1  13115  o1rlimmul  13117  climsqz  13139  climsqz2  13140  rlimsqzlem  13147  climsup  13168  caucvgrlem2  13173  iseralt  13183  cvgcmp  13300  cvgcmpce  13302  ruclem3  13536  ruclem12  13544  algcvgblem  13773  pclem  13926  infpn2  13995  metss2lem  20108  ngptgp  20244  nghmcn  20346  iocopnst  20534  ovollb2lem  20993  ovolicc2lem4  21025  volcn  21108  ismbf3d  21154  dvcnvrelem1  21511  dvfsumrlim  21525  ulmcn  21886  mtest  21891  logdivlti  22091  isosctrlem1  22238  ftalem2  22433  chtub  22573  bposlem6  22650  chtppilim  22746  dchrisumlem3  22762  pntlem3  22880  nvnencycllem  23551  vacn  24111  nmcvcn  24112  blocni  24227  chscllem2  25063  lnconi  25459  staddi  25672  stadd3i  25674  ltflcei  28445  lxflflp1  28447  geomcau  28681  heibor1lem  28734  bfplem2  28748  rrncmslem  28757  climinf  29805  leltletr  30199  el2fzo  30238  clwlkisclwwlklem2a  30473  zm1nn  30494  gsummoncoe1  30876  ply1mulgsumlem2  30878  mp2pm2mplem4  31134