Theorem lelttr 9666

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 23-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lelttr	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )

Proof of Theorem lelttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 9662	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )
2	1	3adant3 1011	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )
3		lttr 9652	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
4	3	expd 436	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B -> ( B < C -> A < C ) ) )
5		breq1 4445	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A < C <-> B < C ) )
6	5	biimprd 223	. . . . 5 |- ( A = B -> ( B < C -> A < C ) )
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A = B -> ( B < C -> A < C ) ) )
8	4, 7	jaod 380	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B ) -> ( B < C -> A < C ) ) )
9	2, 8	sylbid 215	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B -> ( B < C -> A < C ) ) )
10	9	impd 431	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   class class class wbr 4442   RRcr 9482   < clt 9619   <_ cle 9620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625

This theorem is referenced by:  letr  9669  lelttri  9702  lelttrd  9730  letrp1  10375  ltmul12a  10389  ledivp1  10438  supmul1  10499  bndndx  10785  uzind  10943  fnn0ind  10951  rpnnen1lem5  11203  xrinfmsslem  11490  elfzo0z  11824  fzofzim  11828  elfzodifsumelfzo  11841  flge  11901  flltdivnn0lt  11923  fsequb  12043  expnlbnd2  12254  swrdswrd  12637  swrdccatin12lem3  12667  repswswrd  12708  caubnd2  13141  caubnd  13142  mulcn2  13369  cn1lem  13371  rlimo1  13390  o1rlimmul  13392  climsqz  13414  climsqz2  13415  rlimsqzlem  13422  climsup  13443  caucvgrlem2  13448  iseralt  13458  cvgcmp  13581  cvgcmpce  13583  ruclem3  13818  ruclem12  13826  algcvgblem  14056  pclem  14212  infpn2  14281  gsummoncoe1  18112  mp2pm2mplem4  19072  metss2lem  20744  ngptgp  20880  nghmcn  20982  iocopnst  21170  ovollb2lem  21629  ovolicc2lem4  21661  volcn  21745  ismbf3d  21791  dvcnvrelem1  22148  dvfsumrlim  22162  ulmcn  22523  mtest  22528  logdivlti  22728  isosctrlem1  22875  ftalem2  23070  chtub  23210  bposlem6  23287  chtppilim  23383  dchrisumlem3  23399  pntlem3  23517  nvnencycllem  24307  clwlkisclwwlklem2a  24449  vacn  25268  nmcvcn  25269  blocni  25384  chscllem2  26220  lnconi  26616  staddi  26829  stadd3i  26831  ltflcei  29608  lxflflp1  29610  geomcau  29844  heibor1lem  29897  bfplem2  29911  rrncmslem  29920  climinf  31105  leltletr  31744  zm1nn  31751  el2fzo  31765  ply1mulgsumlem2  31937