MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lelttr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lelttr 9724
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 23-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lelttr  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )

Proof of Theorem lelttr
StepHypRef Expression
1 leloe 9720 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )
213adant3 1028 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
3 lttr 9710 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
43expd 438 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) ) )
5 breq1 4405 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A  <  C  <->  B  <  C ) )
65biimprd 227 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  =  B  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) ) )
84, 7jaod 382 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  \/  A  =  B
)  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) ) )
92, 8sylbid 219 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) ) )
109impd 433 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   class class class wbr 4402   RRcr 9538    < clt 9675    <_ cle 9676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681
This theorem is referenced by:  letr  9727  lelttri  9761  lelttrd  9793  letrp1  10447  ltmul12a  10461  ledivp1  10508  supmul1  10576  bndndx  10868  uzind  11027  fnn0ind  11034  rpnnen1lem5  11294  xrinfmsslem  11593  elfzo0z  11958  fzofzim  11962  elfzodifsumelfzo  11980  flge  12041  flflp1  12043  flltdivnn0lt  12065  fsequb  12188  expnlbnd2  12403  ccat2s1fvw  12771  swrdswrd  12816  swrdccatin12lem3  12846  repswswrd  12887  caubnd2  13420  caubnd  13421  mulcn2  13659  cn1lem  13661  rlimo1  13680  o1rlimmul  13682  climsqz  13704  climsqz2  13705  rlimsqzlem  13712  climsup  13733  caucvgrlem2  13740  iseralt  13751  cvgcmp  13876  cvgcmpce  13878  ruclem3  14285  ruclem12  14293  algcvgblem  14536  ncoprmlnprm  14677  pclem  14788  infpn2  14857  gsummoncoe1  18898  mp2pm2mplem4  19833  metss2lem  21526  ngptgp  21644  nghmcn  21766  iocopnst  21968  ovollb2lem  22441  ovolicc2lem4OLD  22473  ovolicc2lem4  22474  volcn  22564  ismbf3d  22610  dvcnvrelem1  22969  dvfsumrlim  22983  ulmcn  23354  mtest  23359  logdivlti  23569  isosctrlem1  23747  ftalem2  23998  chtub  24140  bposlem6  24217  chtppilim  24313  dchrisumlem3  24329  pntlem3  24447  nvnencycllem  25371  clwlkisclwwlklem2a  25513  vacn  26330  nmcvcn  26331  blocni  26446  chscllem2  27291  lnconi  27686  staddi  27899  stadd3i  27901  ltflcei  31933  poimirlem29  31969  geomcau  32088  heibor1lem  32141  bfplem2  32155  rrncmslem  32164  climinf  37684  climinfOLD  37685  leltletr  38714  iccpartigtl  38737  tgoldbach  38911  zm1nn  39049  ply1mulgsumlem2  40232  difmodm1lt  40378
  Copyright terms: Public domain W3C validator