MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leloed Structured version   Unicode version

Theorem leloed 9767
Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
leloed  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )

Proof of Theorem leloed
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 leloe 9709 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )
41, 2, 3syl2anc 665 1  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    = wceq 1437    e. wcel 1867   class class class wbr 4417   RRcr 9527    < clt 9664    <_ cle 9665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-resscn 9585  ax-pre-lttri 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670
This theorem is referenced by:  mulge0  10121  prodgt0  10439  lemul1  10446  supfirege  10587  reconnlem1  21748  reconnlem2  21749  ivthle  22281  ivthle2  22282  ovolicc2lem3  22346  itgsplitioo  22669  dvlip  22819  dvge0  22832  dvfsumlem1  22852  dgrco  23094  plydivex  23115  coseq00topi  23319  logreclem  23561  scvxcvx  23773  pntrlog2bndlem5  24279  elpell1qr2  35428  pellfundex  35444  fmul01lt1lem2  37239  wallispilem3  37502  fourierdlem25  37567  fourierdlem42  37584  nn0o1gt2ALTV  38226  stgoldbwt  38280  bgoldbwt  38281  sgoldbalt  38285  nnsum3primesle9  38292  bgoldbtbndlem1  38303  nn0le2is012  38921  nn0o1gt2  39101
  Copyright terms: Public domain W3C validator