MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leloed Structured version   Unicode version

Theorem leloed 9529
Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
leloed  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )

Proof of Theorem leloed
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 leloe 9473 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4304   RRcr 9293    < clt 9430    <_ cle 9431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-resscn 9351  ax-pre-lttri 9368
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436
This theorem is referenced by:  mulge0  9869  prodgt0  10186  lemul1  10193  reconnlem1  20415  reconnlem2  20416  ivthle  20952  ivthle2  20953  ovolicc2lem3  21014  itgsplitioo  21327  dvlip  21477  dvge0  21490  dvfsumlem1  21510  dgrco  21754  plydivex  21775  coseq00topi  21976  logreclem  22226  scvxcvx  22391  pntrlog2bndlem5  22842  elpell1qr2  29225  pellfundex  29239  fmul01lt1lem2  29778  wallispilem3  29874  supfirege  30756  nn0le2is012  30778
  Copyright terms: Public domain W3C validator