Theorem leisorel 12197

Description: Version of isorel 6004 for strictly increasing functions on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
leisorel	|- ( ( F Isom < , < ( A , B ) /\ ( A C_ RR* /\ B C_ RR* ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( C <_ D <-> ( F ` C ) <_ ( F ` D ) ) )

Proof of Theorem leisorel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leiso 12196	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ B C_ RR* ) -> ( F Isom < , < ( A , B ) <-> F Isom <_ , <_ ( A , B ) ) )
2	1	biimpcd 224	. . 3 |- ( F Isom < , < ( A , B ) -> ( ( A C_ RR* /\ B C_ RR* ) -> F Isom <_ , <_ ( A , B ) ) )
3		isorel 6004	. . . 4 |- ( ( F Isom <_ , <_ ( A , B ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( C <_ D <-> ( F ` C ) <_ ( F ` D ) ) )
4	3	ex 434	. . 3 |- ( F Isom <_ , <_ ( A , B ) -> ( ( C e. A /\ D e. A ) -> ( C <_ D <-> ( F ` C ) <_ ( F ` D ) ) ) )
5	2, 4	syl6 33	. 2 |- ( F Isom < , < ( A , B ) -> ( ( A C_ RR* /\ B C_ RR* ) -> ( ( C e. A /\ D e. A ) -> ( C <_ D <-> ( F ` C ) <_ ( F ` D ) ) ) ) )
6	5	3imp 1174	1 |- ( ( F Isom < , < ( A , B ) /\ ( A C_ RR* /\ B C_ RR* ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( C <_ D <-> ( F ` C ) <_ ( F ` D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 958   e. wcel 1755   C_ wss 3316   class class class wbr 4280   ` cfv 5406   Isom wiso 5407   RR*cxr 9405   < clt 9406   <_ cle 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-le 9412

This theorem is referenced by:  seqcoll  12200  isercolllem2  13127  isercoll  13129  summolem2a  13176  xrhmeo  20360  prodmolem2a  27294