Theorem leisorel 12317

Description: Version of isorel 6118 for strictly increasing functions on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
leisorel	|- ( ( F Isom < , < ( A , B ) /\ ( A C_ RR* /\ B C_ RR* ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( C <_ D <-> ( F ` C ) <_ ( F ` D ) ) )

Proof of Theorem leisorel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leiso 12316	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ B C_ RR* ) -> ( F Isom < , < ( A , B ) <-> F Isom <_ , <_ ( A , B ) ) )
2	1	biimpcd 224	. . 3 |- ( F Isom < , < ( A , B ) -> ( ( A C_ RR* /\ B C_ RR* ) -> F Isom <_ , <_ ( A , B ) ) )
3		isorel 6118	. . . 4 |- ( ( F Isom <_ , <_ ( A , B ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( C <_ D <-> ( F ` C ) <_ ( F ` D ) ) )
4	3	ex 434	. . 3 |- ( F Isom <_ , <_ ( A , B ) -> ( ( C e. A /\ D e. A ) -> ( C <_ D <-> ( F ` C ) <_ ( F ` D ) ) ) )
5	2, 4	syl6 33	. 2 |- ( F Isom < , < ( A , B ) -> ( ( A C_ RR* /\ B C_ RR* ) -> ( ( C e. A /\ D e. A ) -> ( C <_ D <-> ( F ` C ) <_ ( F ` D ) ) ) ) )
6	5	3imp 1182	1 |- ( ( F Isom < , < ( A , B ) /\ ( A C_ RR* /\ B C_ RR* ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( C <_ D <-> ( F ` C ) <_ ( F ` D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   e. wcel 1758   C_ wss 3428   class class class wbr 4392   ` cfv 5518   Isom wiso 5519   RR*cxr 9520   < clt 9521   <_ cle 9522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-le 9527

This theorem is referenced by:  seqcoll  12320  isercolllem2  13247  isercoll  13249  summolem2a  13296  xrhmeo  20636  prodmolem2a  27583