Theorem leisorel 12471

Description: Version of isorel 6208 for strictly increasing functions on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
leisorel	|- ( ( F Isom < , < ( A , B ) /\ ( A C_ RR* /\ B C_ RR* ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( C <_ D <-> ( F ` C ) <_ ( F ` D ) ) )

Proof of Theorem leisorel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leiso 12470	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ B C_ RR* ) -> ( F Isom < , < ( A , B ) <-> F Isom <_ , <_ ( A , B ) ) )
2	1	biimpcd 224	. . 3 |- ( F Isom < , < ( A , B ) -> ( ( A C_ RR* /\ B C_ RR* ) -> F Isom <_ , <_ ( A , B ) ) )
3		isorel 6208	. . . 4 |- ( ( F Isom <_ , <_ ( A , B ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( C <_ D <-> ( F ` C ) <_ ( F ` D ) ) )
4	3	ex 434	. . 3 |- ( F Isom <_ , <_ ( A , B ) -> ( ( C e. A /\ D e. A ) -> ( C <_ D <-> ( F ` C ) <_ ( F ` D ) ) ) )
5	2, 4	syl6 33	. 2 |- ( F Isom < , < ( A , B ) -> ( ( A C_ RR* /\ B C_ RR* ) -> ( ( C e. A /\ D e. A ) -> ( C <_ D <-> ( F ` C ) <_ ( F ` D ) ) ) ) )
6	5	3imp 1190	1 |- ( ( F Isom < , < ( A , B ) /\ ( A C_ RR* /\ B C_ RR* ) /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( C <_ D <-> ( F ` C ) <_ ( F ` D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   e. wcel 1767   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5586   Isom wiso 5587   RR*cxr 9623   < clt 9624   <_ cle 9625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-le 9630

This theorem is referenced by:  seqcoll  12474  isercolllem2  13447  isercoll  13449  summolem2a  13496  xrhmeo  21181  prodmolem2a  28643  fourierdlem52  31459