MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leisorel Structured version   Unicode version

Theorem leisorel 12317
Description: Version of isorel 6118 for strictly increasing functions on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
leisorel  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( A ,  B )  /\  ( A  C_  RR* 
/\  B  C_  RR* )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  ( C  <_  D  <->  ( F `  C )  <_  ( F `  D )
) )

Proof of Theorem leisorel
StepHypRef Expression
1 leiso 12316 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  C_ 
RR* )  ->  ( F  Isom  <  ,  <  ( A ,  B )  <-> 
F  Isom  <_  ,  <_  ( A ,  B ) ) )
21biimpcd 224 . . 3  |-  ( F 
Isom  <  ,  <  ( A ,  B )  ->  ( ( A  C_  RR* 
/\  B  C_  RR* )  ->  F  Isom  <_  ,  <_  ( A ,  B ) ) )
3 isorel 6118 . . . 4  |-  ( ( F  Isom  <_  ,  <_  ( A ,  B )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( C  <_  D  <->  ( F `  C )  <_  ( F `  D ) ) )
43ex 434 . . 3  |-  ( F 
Isom  <_  ,  <_  ( A ,  B )  ->  ( ( C  e.  A  /\  D  e.  A )  ->  ( C  <_  D  <->  ( F `  C )  <_  ( F `  D )
) ) )
52, 4syl6 33 . 2  |-  ( F 
Isom  <  ,  <  ( A ,  B )  ->  ( ( A  C_  RR* 
/\  B  C_  RR* )  ->  ( ( C  e.  A  /\  D  e.  A )  ->  ( C  <_  D  <->  ( F `  C )  <_  ( F `  D )
) ) ) )
653imp 1182 1  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( A ,  B )  /\  ( A  C_  RR* 
/\  B  C_  RR* )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  ( C  <_  D  <->  ( F `  C )  <_  ( F `  D )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758    C_ wss 3428   class class class wbr 4392   ` cfv 5518    Isom wiso 5519   RR*cxr 9520    < clt 9521    <_ cle 9522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-le 9527
This theorem is referenced by:  seqcoll  12320  isercolllem2  13247  isercoll  13249  summolem2a  13296  xrhmeo  20636  prodmolem2a  27583
  Copyright terms: Public domain W3C validator