MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leisorel Structured version   Unicode version

Theorem leisorel 12558
Description: Version of isorel 6205 for strictly increasing functions on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
leisorel  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( A ,  B )  /\  ( A  C_  RR* 
/\  B  C_  RR* )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  ( C  <_  D  <->  ( F `  C )  <_  ( F `  D )
) )

Proof of Theorem leisorel
StepHypRef Expression
1 leiso 12557 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  C_ 
RR* )  ->  ( F  Isom  <  ,  <  ( A ,  B )  <-> 
F  Isom  <_  ,  <_  ( A ,  B ) ) )
21biimpcd 224 . . 3  |-  ( F 
Isom  <  ,  <  ( A ,  B )  ->  ( ( A  C_  RR* 
/\  B  C_  RR* )  ->  F  Isom  <_  ,  <_  ( A ,  B ) ) )
3 isorel 6205 . . . 4  |-  ( ( F  Isom  <_  ,  <_  ( A ,  B )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( C  <_  D  <->  ( F `  C )  <_  ( F `  D ) ) )
43ex 432 . . 3  |-  ( F 
Isom  <_  ,  <_  ( A ,  B )  ->  ( ( C  e.  A  /\  D  e.  A )  ->  ( C  <_  D  <->  ( F `  C )  <_  ( F `  D )
) ) )
52, 4syl6 31 . 2  |-  ( F 
Isom  <  ,  <  ( A ,  B )  ->  ( ( A  C_  RR* 
/\  B  C_  RR* )  ->  ( ( C  e.  A  /\  D  e.  A )  ->  ( C  <_  D  <->  ( F `  C )  <_  ( F `  D )
) ) ) )
653imp 1191 1  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( A ,  B )  /\  ( A  C_  RR* 
/\  B  C_  RR* )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  ( C  <_  D  <->  ( F `  C )  <_  ( F `  D )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    e. wcel 1842    C_ wss 3414   class class class wbr 4395   ` cfv 5569    Isom wiso 5570   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-le 9664
This theorem is referenced by:  seqcoll  12561  isercolllem2  13637  isercoll  13639  summolem2a  13686  prodmolem2a  13893  xrhmeo  21738  fourierdlem52  37309
  Copyright terms: Public domain W3C validator