MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leibpisum Structured version   Unicode version

Theorem leibpisum 22466
Description: The Leibniz formula for  pi. This version of leibpi 22465 looks nicer but does not assert that the series is convergent so is not as practically useful. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
leibpisum  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( pi  /  4
)

Proof of Theorem leibpisum
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11001 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0zd 10764 . . 3  |-  ( T. 
->  0  e.  ZZ )
3 oveq2 6203 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ n ) )
4 oveq2 6203 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  n ) )
54oveq1d 6210 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
63, 5oveq12d 6213 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( -u 1 ^ k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
7 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
8 ovex 6220 . . . . 5  |-  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  _V
96, 7, 8fvmpt 5878 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) `  n )  =  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
109adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  n  e. 
NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) `  n )  =  ( ( -u 1 ^ n )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
11 neg1rr 10532 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  RR
12 reexpcl 11994 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ n )  e.  RR )
1311, 12mpan 670 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ n )  e.  RR )
14 2nn0 10702 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
15 nn0mulcl 10722 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
1614, 15mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2  x.  n )  e. 
NN0 )
17 nn0p1nn 10725 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )
1816, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )
1913, 18nndivred 10476 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
2019recnd 9518 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
2120adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  n  e. 
NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ n
)  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
227leibpi 22465 . . . 4  |-  seq 0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  ~~>  ( pi 
/  4 )
2322a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  ~~>  ( pi  / 
4 ) )
241, 2, 10, 21, 23isumclim 13337 . 2  |-  ( T. 
->  sum_ n  e.  NN0  ( ( -u 1 ^ n )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( pi  /  4 ) )
2524trud 1379 1  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( pi  /  4
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389    + caddc 9391    x. cmul 9393   -ucneg 9702    / cdiv 10099   NNcn 10428   2c2 10477   4c4 10479   NN0cn0 10685    seqcseq 11918   ^cexp 11977    ~~> cli 13075   sum_csu 13276   picpi 13465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-fi 7767  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-ioo 11410  df-ioc 11411  df-ico 11412  df-icc 11413  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-mod 11821  df-seq 11919  df-exp 11978  df-fac 12164  df-bc 12191  df-hash 12216  df-shft 12669  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-limsup 13062  df-clim 13079  df-rlim 13080  df-sum 13277  df-ef 13466  df-sin 13468  df-cos 13469  df-tan 13470  df-pi 13471  df-dvds 13649  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-hom 14376  df-cco 14377  df-rest 14475  df-topn 14476  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-topgen 14496  df-pt 14497  df-prds 14500  df-xrs 14554  df-qtop 14559  df-imas 14560  df-xps 14562  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-mulg 15662  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-fbas 17934  df-fg 17935  df-cnfld 17939  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-topsp 18634  df-cld 18750  df-ntr 18751  df-cls 18752  df-nei 18829  df-lp 18867  df-perf 18868  df-cn 18958  df-cnp 18959  df-t1 19045  df-haus 19046  df-cmp 19117  df-tx 19262  df-hmeo 19455  df-fil 19546  df-fm 19638  df-flim 19639  df-flf 19640  df-xms 20022  df-ms 20023  df-tms 20024  df-cncf 20581  df-limc 21469  df-dv 21470  df-ulm 21970  df-log 22136  df-atan 22390
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator