MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leibpilem1 Structured version   Unicode version

Theorem leibpilem1 23803
Description: Lemma for leibpi 23805. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
leibpilem1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( -.  N  = 
0  /\  -.  2  ||  N ) )  -> 
( N  e.  NN  /\  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
)

Proof of Theorem leibpilem1
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 10817 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
21biimpi 197 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
32ord 378 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -.  N  e.  NN  ->  N  =  0 ) )
43con1d 127 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -.  N  =  0  ->  N  e.  NN )
)
54imp 430 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  -.  N  =  0
)  ->  N  e.  NN )
65adantrr 721 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( -.  N  = 
0  /\  -.  2  ||  N ) )  ->  N  e.  NN )
7 nn0z 10906 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
87adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  -.  N  =  0
)  ->  N  e.  ZZ )
9 odd2np1 14303 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
108, 9syl 17 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  -.  N  =  0
)  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
11 zcn 10888 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
12 2cn 10626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
13 mulcl 9569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  CC )
1412, 13mpan 674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  CC  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
15 ax-1cn 9543 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
16 pncan 9827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  n ) )
1714, 15, 16sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  n ) )
1817oveq1d 6259 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  CC  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  /  2 )  =  ( ( 2  x.  n )  / 
2 ) )
19 2ne0 10648 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
20 divcan3 10240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  n
)  /  2 )  =  n )
2112, 19, 20mp3an23 1352 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  CC  ->  (
( 2  x.  n
)  /  2 )  =  n )
2218, 21eqtrd 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  CC  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  /  2 )  =  n )
2311, 22syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  /  2 )  =  n )
24 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ZZ )
2523, 24eqeltrd 2501 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
26 oveq1 6251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
2726oveq1d 6259 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  /  2 )  =  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )
2827eleq1d 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
2925, 28syl5ibcom 223 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
3029rexlimiv 2845 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  ZZ  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
3110, 30syl6bi 231 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  -.  N  =  0
)  ->  ( -.  2  ||  N  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
3231impr 623 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( -.  N  = 
0  /\  -.  2  ||  N ) )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
33 nnm1nn0 10857 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
346, 33syl 17 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( -.  N  = 
0  /\  -.  2  ||  N ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN0 )
3534nn0red 10872 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( -.  N  = 
0  /\  -.  2  ||  N ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  RR )
3634nn0ge0d 10874 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( -.  N  = 
0  /\  -.  2  ||  N ) )  -> 
0  <_  ( N  -  1 ) )
37 2re 10625 . . . . 5  |-  2  e.  RR
3837a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( -.  N  = 
0  /\  -.  2  ||  N ) )  -> 
2  e.  RR )
39 2pos 10647 . . . . 5  |-  0  <  2
4039a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( -.  N  = 
0  /\  -.  2  ||  N ) )  -> 
0  <  2 )
41 divge0 10420 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( N  -  1 ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
4235, 36, 38, 40, 41syl22anc 1265 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( -.  N  = 
0  /\  -.  2  ||  N ) )  -> 
0  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
43 elnn0z 10896 . . 3  |-  ( ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )
4432, 42, 43sylanbrc 668 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( -.  N  = 
0  /\  -.  2  ||  N ) )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
456, 44jca 534 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( -.  N  = 
0  /\  -.  2  ||  N ) )  -> 
( N  e.  NN  /\  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2594   E.wrex 2710   class class class wbr 4361  (class class class)co 6244   CCcc 9483   RRcr 9484   0cc0 9485   1c1 9486    + caddc 9488    x. cmul 9490    < clt 9621    <_ cle 9622    - cmin 9806    / cdiv 10215   NNcn 10555   2c2 10605   NN0cn0 10815   ZZcz 10883    || cdvds 14243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10216  df-nn 10556  df-2 10614  df-n0 10816  df-z 10884  df-dvds 14244
This theorem is referenced by:  leibpilem2  23804  leibpi  23805
  Copyright terms: Public domain W3C validator