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Theorem legval 23836
Description: Value of the less-than relationship. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
Assertion
Ref Expression
legval  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) } )
Distinct variable groups:    e, f, G    x, y, z, I   
x, e, y, z, P, f    .- , e,
f, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, e, f)    G( x, y, z)    I( e, f)    .<_ ( x, y, z, e, f)

Proof of Theorem legval
Dummy variables  d 
g  i  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.l . 2  |-  .<_  =  (≤G `  G )
2 legval.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
3 elex 3127 . . 3  |-  ( G  e. TarskiG  ->  G  e.  _V )
4 legval.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  G
)
5 legval.d . . . . . 6  |-  .-  =  ( dist `  G )
6 legval.i . . . . . 6  |-  I  =  (Itv `  G )
7 simp1 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  p  =  P )
87eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  P  =  p )
9 simp2 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  d  =  .-  )
109eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  .-  =  d )
1110oveqd 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
x  .-  y )  =  ( x d y ) )
1211eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
f  =  ( x 
.-  y )  <->  f  =  ( x d y ) ) )
13 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  i  =  I )
1413eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  I  =  i )
1514oveqd 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
x I y )  =  ( x i y ) )
1615eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
z  e.  ( x I y )  <->  z  e.  ( x i y ) ) )
1710oveqd 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
x  .-  z )  =  ( x d z ) )
1817eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
e  =  ( x 
.-  z )  <->  e  =  ( x d z ) ) )
1916, 18anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) )  <->  ( z  e.  ( x i y )  /\  e  =  ( x d z ) ) ) )
208, 19rexeqbidv 3078 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) )  <->  E. z  e.  p  ( z  e.  ( x i y )  /\  e  =  ( x d z ) ) ) )
2112, 20anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  (
( f  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  ( f  =  ( x d y )  /\  E. z  e.  p  (
z  e.  ( x i y )  /\  e  =  ( x
d z ) ) ) ) )
228, 21rexeqbidv 3078 . . . . . . 7  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( E. y  e.  P  ( f  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  E. y  e.  p  ( f  =  ( x d y )  /\  E. z  e.  p  (
z  e.  ( x i y )  /\  e  =  ( x
d z ) ) ) ) )
238, 22rexeqbidv 3078 . . . . . 6  |-  ( ( p  =  P  /\  d  =  .-  /\  i  =  I )  ->  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( f  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  E. x  e.  p  E. y  e.  p  ( f  =  ( x d y )  /\  E. z  e.  p  (
z  e.  ( x i y )  /\  e  =  ( x
d z ) ) ) ) )
244, 5, 6, 23sbcie3s 14551 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ( [. ( Base `  g
)  /  p ]. [. ( dist `  g
)  /  d ]. [. (Itv `  g )  /  i ]. E. x  e.  p  E. y  e.  p  (
f  =  ( x d y )  /\  E. z  e.  p  ( z  e.  ( x i y )  /\  e  =  ( x
d z ) ) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( f  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
2524opabbidv 4516 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  { <. e ,  f >.  |  [. ( Base `  g )  /  p ]. [. ( dist `  g )  / 
d ]. [. (Itv `  g )  /  i ]. E. x  e.  p  E. y  e.  p  ( f  =  ( x d y )  /\  E. z  e.  p  ( z  e.  ( x i y )  /\  e  =  ( x d z ) ) ) }  =  { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) } )
26 df-leg 23835 . . . 4  |- ≤G  =  ( g  e.  _V  |->  {
<. e ,  f >.  |  [. ( Base `  g
)  /  p ]. [. ( dist `  g
)  /  d ]. [. (Itv `  g )  /  i ]. E. x  e.  p  E. y  e.  p  (
f  =  ( x d y )  /\  E. z  e.  p  ( z  e.  ( x i y )  /\  e  =  ( x
d z ) ) ) } )
27 fvex 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( dist `  G )  e.  _V
285, 27eqeltri 2551 . . . . . . . . 9  |-  .-  e.  _V
29 imaexg 6732 . . . . . . . . 9  |-  (  .-  e.  _V  ->  (  .-  " ( P  X.  P
) )  e.  _V )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  (  .-  " ( P  X.  P
) )  e.  _V
31 p0ex 4640 . . . . . . . 8  |-  { (/) }  e.  _V
3230, 31unex 6593 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.-  " ( P  X.  P ) )  u. 
{ (/) } )  e. 
_V
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( (  .-  " ( P  X.  P ) )  u.  { (/) } )  e.  _V )
34 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  P  /\  y  e.  P )  /\  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
d  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  d ) ) )  ->  ( d  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  d
) ) )
3534simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( x  e.  P  /\  y  e.  P )  /\  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
d  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  d ) ) )  ->  e  =  ( x  .-  d ) )
36 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  P  /\  y  e.  P )  /\  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
d  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  d ) ) )  ->  x  e.  P
)
37 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  P  /\  y  e.  P )  /\  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
d  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  d ) ) )  ->  d  e.  P
)
38 ovima0 6449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  P  /\  d  e.  P )  ->  ( x  .-  d
)  e.  ( ( 
.-  " ( P  X.  P ) )  u. 
{ (/) } ) )
3936, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( x  e.  P  /\  y  e.  P )  /\  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
d  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  d ) ) )  ->  ( x  .-  d )  e.  ( (  .-  " ( P  X.  P ) )  u.  { (/) } ) )
4035, 39eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  P  /\  y  e.  P )  /\  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
d  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  d ) ) )  ->  e  e.  ( (  .-  " ( P  X.  P ) )  u.  { (/) } ) )
41 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  P  /\  y  e.  P )  /\  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
d  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  d ) ) )  ->  ( f  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) ) ) )
4241simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( x  e.  P  /\  y  e.  P )  /\  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
d  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  d ) ) )  ->  f  =  ( x  .-  y ) )
43 ovima0 6449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  P  /\  y  e.  P )  ->  ( x  .-  y
)  e.  ( ( 
.-  " ( P  X.  P ) )  u. 
{ (/) } ) )
4443ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( x  e.  P  /\  y  e.  P )  /\  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
d  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  d ) ) )  ->  ( x  .-  y )  e.  ( (  .-  " ( P  X.  P ) )  u.  { (/) } ) )
4542, 44eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  P  /\  y  e.  P )  /\  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
d  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  d ) ) )  ->  f  e.  ( (  .-  " ( P  X.  P ) )  u.  { (/) } ) )
4640, 45jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( x  e.  P  /\  y  e.  P )  /\  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
d  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  d ) ) )  ->  ( e  e.  ( (  .-  " ( P  X.  P ) )  u.  { (/) } )  /\  f  e.  ( (  .-  " ( P  X.  P ) )  u.  { (/) } ) ) )
47 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  P  /\  y  e.  P
)  /\  ( f  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) ) )
48 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  d  ->  (
z  e.  ( x I y )  <->  d  e.  ( x I y ) ) )
49 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  d  ->  (
x  .-  z )  =  ( x  .-  d ) )
5049eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  d  ->  (
e  =  ( x 
.-  z )  <->  e  =  ( x  .-  d ) ) )
5148, 50anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  d  ->  (
( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) )  <->  ( d  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  d
) ) ) )
5251cbvrexv 3094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) )  <->  E. d  e.  P  ( d  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  d
) ) )
5347, 52sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  P  /\  y  e.  P
)  /\  ( f  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) )  ->  E. d  e.  P  ( d  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  d
) ) )
5446, 53r19.29a 3008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  P  /\  y  e.  P
)  /\  ( f  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) )  ->  ( e  e.  ( (  .-  " ( P  X.  P ) )  u.  { (/) } )  /\  f  e.  ( (  .-  " ( P  X.  P ) )  u.  { (/) } ) ) )
5554ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  P  /\  y  e.  P )  ->  ( ( f  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) ) )  -> 
( e  e.  ( (  .-  " ( P  X.  P ) )  u.  { (/) } )  /\  f  e.  ( (  .-  " ( P  X.  P ) )  u.  { (/) } ) ) ) )
5655rexlimivv 2964 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) )  ->  ( e  e.  ( (  .-  " ( P  X.  P ) )  u.  { (/) } )  /\  f  e.  ( (  .-  " ( P  X.  P ) )  u.  { (/) } ) ) )
5756adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( f  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) )  ->  ( e  e.  ( (  .-  " ( P  X.  P ) )  u.  { (/) } )  /\  f  e.  ( (  .-  " ( P  X.  P ) )  u.  { (/) } ) ) )
5857simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( f  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) )  ->  e  e.  ( (  .-  " ( P  X.  P ) )  u.  { (/) } ) )
5957simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( f  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) )  ->  f  e.  ( (  .-  " ( P  X.  P ) )  u.  { (/) } ) )
6033, 33, 58, 59opabex2 6733 . . . . 5  |-  ( T. 
->  { <. e ,  f
>.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( f  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) }  e.  _V )
6160trud 1388 . . . 4  |-  { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) }  e.  _V
6225, 26, 61fvmpt 5957 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  (≤G `  G )  =  { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( f  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) ) ) } )
632, 3, 623syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  (≤G `  G )  =  { <. e ,  f
>.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( f  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) } )
641, 63syl5eq 2520 1  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   [.wsbc 3336    u. cun 3479   (/)c0 3790   {csn 4033   {copab 4510    X. cxp 5003   "cima 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   distcds 14581  TarskiGcstrkg 23691  Itvcitv 23698  ≤Gcleg 23834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6298  df-leg 23835
This theorem is referenced by:  legov  23837
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