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Theorem legtrd 23696
Description: Transitivity of the less-than relationship. Proposition 5.8 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
legid.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
legtrd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
legtrd.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
legtrd.e  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
legtrd.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
legtrd.1  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D ) )
legtrd.2  |-  ( ph  ->  ( C  .-  D
)  .<_  ( E  .-  F ) )
Assertion
Ref Expression
legtrd  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  .<_  ( E  .-  F ) )

Proof of Theorem legtrd
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2460 . . . . . 6  |-  (LineG `  G )  =  (LineG `  G )
3 legval.i . . . . . 6  |-  I  =  (Itv `  G )
4 legval.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
54ad4antr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
6 legtrd.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
76ad4antr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  C  e.  P )
8 legtrd.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
98ad4antr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  D  e.  P )
10 simp-4r 766 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  x  e.  P )
11 eqid 2460 . . . . . 6  |-  (cgrG `  G )  =  (cgrG `  G )
12 legtrd.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
1312ad4antr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  E  e.  P )
14 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  y  e.  P )
15 legval.d . . . . . 6  |-  .-  =  ( dist `  G )
16 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )
1716simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  x  e.  ( C I D ) )
181, 2, 3, 5, 7, 10, 9, 17btwncolg3 23665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  ( D  e.  ( C
(LineG `  G )
x )  \/  C  =  x ) )
19 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y
) )
201, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 19lnext 23674 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  E. z  e.  P  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E y z "> )
215ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  G  e. TarskiG )
2213ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  E  e.  P
)
23 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  z  e.  P
)
2414ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  y  e.  P
)
25 legtrd.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
2625ad6antr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  F  e.  P
)
277ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  C  e.  P
)
2810ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  x  e.  P
)
299ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  D  e.  P
)
30 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )
311, 15, 3, 11, 21, 27, 29, 28, 22, 24, 23, 30cgr3swap23 23636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  <" C x D "> (cgrG `  G ) <" E
z y "> )
3217ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  x  e.  ( C I D ) )
331, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31, 32tgbtwnxfr 23639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  z  e.  ( E I y ) )
34 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )
3534simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  y  e.  ( E I F ) )
361, 15, 3, 21, 22, 23, 24, 26, 33, 35tgbtwnexch 23610 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  z  e.  ( E I F ) )
37 simp-5r 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )
3837simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) )
391, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31cgr3simp1 23632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  ( C  .-  x )  =  ( E  .-  z ) )
4038, 39eqtrd 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  ( A  .-  B )  =  ( E  .-  z ) )
4136, 40jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  ( z  e.  ( E I F )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( E  .-  z
) ) )
4241ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  ->  ( <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E y z ">  ->  (
z  e.  ( E I F )  /\  ( A  .-  B )  =  ( E  .-  z ) ) ) )
4342reximdva 2931 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  ( E. z  e.  P  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z ">  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( E I F )  /\  ( A  .-  B )  =  ( E  .-  z ) ) ) )
4420, 43mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( E I F )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( E  .-  z
) ) )
45 legtrd.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  .-  D
)  .<_  ( E  .-  F ) )
46 legval.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  (≤G `  G )
471, 15, 3, 46, 4, 6, 8, 12, 25legov 23692 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  .-  D )  .<_  ( E 
.-  F )  <->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) ) )
4845, 47mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )
4948ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  ->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )
5044, 49r19.29a 2996 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( E I F )  /\  ( A  .-  B )  =  ( E  .-  z ) ) )
51 legtrd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D ) )
52 legid.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
53 legid.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
541, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 6, 8legov 23692 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) ) )
5551, 54mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )
5650, 55r19.29a 2996 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( E I F )  /\  ( A  .-  B )  =  ( E  .-  z ) ) )
571, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 12, 25legov 23692 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( E 
.-  F )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( E I F )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( E  .-  z
) ) ) )
5856, 57mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  .<_  ( E  .-  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   E.wrex 2808   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   <"cs3 12757   Basecbs 14479   distcds 14553  TarskiGcstrkg 23546  Itvcitv 23553  LineGclng 23554  cgrGccgrg 23623  ≤Gcleg 23689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495  df-concat 12497  df-s1 12498  df-s2 12763  df-s3 12764  df-trkgc 23565  df-trkgb 23566  df-trkgcb 23567  df-trkg 23571  df-cgrg 23624  df-leg 23690
This theorem is referenced by:  legso  23705
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