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Theorem legtrd 24357
Description: Transitivity of the less-than relationship. Proposition 5.8 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
legid.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
legtrd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
legtrd.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
legtrd.e  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
legtrd.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
legtrd.1  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D ) )
legtrd.2  |-  ( ph  ->  ( C  .-  D
)  .<_  ( E  .-  F ) )
Assertion
Ref Expression
legtrd  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  .<_  ( E  .-  F ) )

Proof of Theorem legtrd
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2402 . . . . . 6  |-  (LineG `  G )  =  (LineG `  G )
3 legval.i . . . . . 6  |-  I  =  (Itv `  G )
4 legval.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
54ad4antr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
6 legtrd.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
76ad4antr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  C  e.  P )
8 legtrd.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
98ad4antr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  D  e.  P )
10 simp-4r 769 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  x  e.  P )
11 eqid 2402 . . . . . 6  |-  (cgrG `  G )  =  (cgrG `  G )
12 legtrd.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
1312ad4antr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  E  e.  P )
14 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  y  e.  P )
15 legval.d . . . . . 6  |-  .-  =  ( dist `  G )
16 simpllr 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )
1716simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  x  e.  ( C I D ) )
181, 2, 3, 5, 7, 10, 9, 17btwncolg3 24325 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  ( D  e.  ( C
(LineG `  G )
x )  \/  C  =  x ) )
19 simprr 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y
) )
201, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 19lnext 24335 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  E. z  e.  P  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E y z "> )
215ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  G  e. TarskiG )
2213ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  E  e.  P
)
23 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  z  e.  P
)
24 simp-4r 769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  y  e.  P
)
25 legtrd.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
2625ad6antr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  F  e.  P
)
277ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  C  e.  P
)
2810ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  x  e.  P
)
299ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  D  e.  P
)
30 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )
311, 15, 3, 11, 21, 27, 29, 28, 22, 24, 23, 30cgr3swap23 24294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  <" C x D "> (cgrG `  G ) <" E
z y "> )
3217ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  x  e.  ( C I D ) )
331, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31, 32tgbtwnxfr 24299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  z  e.  ( E I y ) )
34 simpllr 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )
3534simpld 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  y  e.  ( E I F ) )
361, 15, 3, 21, 22, 23, 24, 26, 33, 35tgbtwnexch 24268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  z  e.  ( E I F ) )
37 simp-5r 771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )
3837simprd 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) )
391, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31cgr3simp1 24290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  ( C  .-  x )  =  ( E  .-  z ) )
4038, 39eqtrd 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  ( A  .-  B )  =  ( E  .-  z ) )
4136, 40jca 530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z "> )  ->  ( z  e.  ( E I F )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( E  .-  z
) ) )
4241ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) )  /\  z  e.  P )  ->  ( <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E y z ">  ->  (
z  e.  ( E I F )  /\  ( A  .-  B )  =  ( E  .-  z ) ) ) )
4342reximdva 2878 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  ( E. z  e.  P  <" C D x "> (cgrG `  G ) <" E
y z ">  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( E I F )  /\  ( A  .-  B )  =  ( E  .-  z ) ) ) )
4420, 43mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( E I F )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( E  .-  z
) ) )
45 legtrd.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  .-  D
)  .<_  ( E  .-  F ) )
46 legval.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  (≤G `  G )
471, 15, 3, 46, 4, 6, 8, 12, 25legov 24353 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  .-  D )  .<_  ( E 
.-  F )  <->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( E  .-  y
) ) ) )
4845, 47mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )
4948ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  ->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( E I F )  /\  ( C  .-  D )  =  ( E  .-  y ) ) )
5044, 49r19.29a 2948 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( E I F )  /\  ( A  .-  B )  =  ( E  .-  z ) ) )
51 legtrd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D ) )
52 legid.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
53 legid.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
541, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 6, 8legov 24353 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) ) )
5551, 54mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )
5650, 55r19.29a 2948 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( E I F )  /\  ( A  .-  B )  =  ( E  .-  z ) ) )
571, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 12, 25legov 24353 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( E 
.-  F )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( E I F )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( E  .-  z
) ) ) )
5856, 57mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  .<_  ( E  .-  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   E.wrex 2754   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   <"cs3 12861   Basecbs 14839   distcds 14916  TarskiGcstrkg 24204  Itvcitv 24210  LineGclng 24211  cgrGccgrg 24281  ≤Gcleg 24350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-hash 12451  df-word 12589  df-concat 12591  df-s1 12592  df-s2 12867  df-s3 12868  df-trkgc 24222  df-trkgb 24223  df-trkgcb 24224  df-trkg 24227  df-cgrg 24282  df-leg 24351
This theorem is referenced by:  legso  24367
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