Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legtrd Structured version   Unicode version

Theorem legtrd 24357
 Description: Transitivity of the less-than relationship. Proposition 5.8 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p
legval.d
legval.i Itv
legval.l ≤G
legval.g TarskiG
legid.a
legid.b
legtrd.c
legtrd.d
legtrd.e
legtrd.f
legtrd.1
legtrd.2
Assertion
Ref Expression
legtrd

Proof of Theorem legtrd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . . . 6
2 eqid 2402 . . . . . 6 LineG LineG
3 legval.i . . . . . 6 Itv
4 legval.g . . . . . . 7 TarskiG
54ad4antr 730 . . . . . 6 TarskiG
6 legtrd.c . . . . . . 7
76ad4antr 730 . . . . . 6
8 legtrd.d . . . . . . 7
98ad4antr 730 . . . . . 6
10 simp-4r 769 . . . . . 6
11 eqid 2402 . . . . . 6 cgrG cgrG
12 legtrd.e . . . . . . 7
1312ad4antr 730 . . . . . 6
14 simplr 754 . . . . . 6
15 legval.d . . . . . 6
16 simpllr 761 . . . . . . . 8
1716simpld 457 . . . . . . 7
181, 2, 3, 5, 7, 10, 9, 17btwncolg3 24325 . . . . . 6 LineG
19 simprr 758 . . . . . 6
201, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 19lnext 24335 . . . . 5 cgrG
215ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 cgrG TarskiG
2213ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 cgrG
23 simplr 754 . . . . . . . . 9 cgrG
24 simp-4r 769 . . . . . . . . 9 cgrG
25 legtrd.f . . . . . . . . . 10
2625ad6antr 734 . . . . . . . . 9 cgrG
277ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 cgrG
2810ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 cgrG
299ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 cgrG
30 simpr 459 . . . . . . . . . . 11 cgrG cgrG
311, 15, 3, 11, 21, 27, 29, 28, 22, 24, 23, 30cgr3swap23 24294 . . . . . . . . . 10 cgrG cgrG
3217ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 cgrG
331, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31, 32tgbtwnxfr 24299 . . . . . . . . 9 cgrG
34 simpllr 761 . . . . . . . . . 10 cgrG
3534simpld 457 . . . . . . . . 9 cgrG
361, 15, 3, 21, 22, 23, 24, 26, 33, 35tgbtwnexch 24268 . . . . . . . 8 cgrG
37 simp-5r 771 . . . . . . . . . 10 cgrG
3837simprd 461 . . . . . . . . 9 cgrG
391, 15, 3, 11, 21, 27, 28, 29, 22, 23, 24, 31cgr3simp1 24290 . . . . . . . . 9 cgrG
4038, 39eqtrd 2443 . . . . . . . 8 cgrG
4136, 40jca 530 . . . . . . 7 cgrG
4241ex 432 . . . . . 6 cgrG
4342reximdva 2878 . . . . 5 cgrG
4420, 43mpd 15 . . . 4
45 legtrd.2 . . . . . 6
46 legval.l . . . . . . 7 ≤G
471, 15, 3, 46, 4, 6, 8, 12, 25legov 24353 . . . . . 6
4845, 47mpbid 210 . . . . 5
4948ad2antrr 724 . . . 4
5044, 49r19.29a 2948 . . 3
51 legtrd.1 . . . 4
52 legid.a . . . . 5
53 legid.b . . . . 5
541, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 6, 8legov 24353 . . . 4
5551, 54mpbid 210 . . 3
5650, 55r19.29a 2948 . 2
571, 15, 3, 46, 4, 52, 53, 12, 25legov 24353 . 2
5856, 57mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wrex 2754   class class class wbr 4394  cfv 5568  (class class class)co 6277  cs3 12861  cbs 14839  cds 14916  TarskiGcstrkg 24204  Itvcitv 24210  LineGclng 24211  cgrGccgrg 24281  ≤Gcleg 24350 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-hash 12451  df-word 12589  df-concat 12591  df-s1 12592  df-s2 12867  df-s3 12868  df-trkgc 24222  df-trkgb 24223  df-trkgcb 24224  df-trkg 24227  df-cgrg 24282  df-leg 24351 This theorem is referenced by:  legso  24367
 Copyright terms: Public domain W3C validator