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Theorem legso 24644
Description: The shorter-than relationship builds an order over pairs. Remark 5.13 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legso.a  |-  E  =  (  .-  " ( P  X.  P ) )
legso.f  |-  ( ph  ->  Fun  .-  )
legso.l  |-  .<  =  ( (  .<_  |`  E ) 
\  _I  )
legso.d  |-  ( ph  ->  ( P  X.  P
)  C_  dom  .-  )
Assertion
Ref Expression
legso  |-  ( ph  ->  .<  Or  E )

Proof of Theorem legso
Dummy variables  a  x  y  t  u  v  z  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neirr 2632 . . . . . . 7  |-  -.  (
x  .-  y )  =/=  ( x  .-  y
)
21intnan 925 . . . . . 6  |-  -.  (
( x  .-  y
)  .<_  ( x  .-  y )  /\  (
x  .-  y )  =/=  ( x  .-  y
) )
3 legval.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( Base `  G
)
4 legval.d . . . . . . 7  |-  .-  =  ( dist `  G )
5 legval.i . . . . . . 7  |-  I  =  (Itv `  G )
6 legval.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  (≤G `  G )
7 legval.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
87adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  E )  ->  G  e. TarskiG )
98ad3antrrr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  ->  G  e. TarskiG )
10 legso.a . . . . . . 7  |-  E  =  (  .-  " ( P  X.  P ) )
11 legso.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Fun  .-  )
1211adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  E )  ->  Fun  .-  )
1312ad3antrrr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  ->  Fun  .-  )
14 legso.l . . . . . . 7  |-  .<  =  ( (  .<_  |`  E ) 
\  _I  )
15 legso.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  X.  P
)  C_  dom  .-  )
1615ad4antr 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  -> 
( P  X.  P
)  C_  dom  .-  )
17 simpllr 769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  ->  x  e.  P )
18 simplr 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  -> 
y  e.  P )
193, 4, 5, 6, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 18ltgov 24642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  -> 
( ( x  .-  y )  .<  (
x  .-  y )  <->  ( ( x  .-  y
)  .<_  ( x  .-  y )  /\  (
x  .-  y )  =/=  ( x  .-  y
) ) ) )
202, 19mtbiri 305 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  ->  -.  ( x  .-  y
)  .<  ( x  .-  y ) )
21 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  -> 
a  =  ( x 
.-  y ) )
2221, 21breq12d 4415 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  -> 
( a  .<  a  <->  ( x  .-  y ) 
.<  ( x  .-  y
) ) )
2320, 22mtbird 303 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  ->  -.  a  .<  a )
24 simpr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  E )  ->  a  e.  E )
253, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24ltgseg 24641 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  E )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  a  =  ( x  .-  y ) )
2623, 25r19.29vva 2934 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  E )  ->  -.  a  .<  a )
277ad8antr 746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  ->  G  e. TarskiG )
2827ad3antrrr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  G  e. TarskiG )
29 simp-9r 787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  x  e.  P )
30 simp-8r 785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  y  e.  P )
31 simp-6r 781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  z  e.  P )
32 simp-5r 779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  t  e.  P )
33 simpllr 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  u  e.  P )
34 simplr 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  v  e.  P )
35 simp-10r 789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( a  .<  b  /\  b  .< 
c ) )
3635simpld 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  a  .<  b )
37 simp-7r 783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  a  =  ( x  .-  y ) )
38 simp-4r 777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  b  =  ( z  .-  t
) )
3936, 37, 383brtr3d 4432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( x  .-  y )  .<  (
z  .-  t )
)
4011ad8antr 746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  ->  Fun  .-  )
4140ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  Fun  .-  )
4215ad8antr 746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  -> 
( P  X.  P
)  C_  dom  .-  )
4342ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( P  X.  P )  C_  dom  .-  )
443, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30ltgov 24642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( (
x  .-  y )  .<  ( z  .-  t
)  <->  ( ( x 
.-  y )  .<_  ( z  .-  t
)  /\  ( x  .-  y )  =/=  (
z  .-  t )
) ) )
4539, 44mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( (
x  .-  y )  .<_  ( z  .-  t
)  /\  ( x  .-  y )  =/=  (
z  .-  t )
) )
4645simpld 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( x  .-  y )  .<_  ( z 
.-  t ) )
4735simprd 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  b  .<  c )
48 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  c  =  ( u  .-  v ) )
4947, 38, 483brtr3d 4432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( z  .-  t )  .<  (
u  .-  v )
)
503, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 31, 32ltgov 24642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( (
z  .-  t )  .<  ( u  .-  v
)  <->  ( ( z 
.-  t )  .<_  ( u  .-  v )  /\  ( z  .-  t )  =/=  (
u  .-  v )
) ) )
5149, 50mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( (
z  .-  t )  .<_  ( u  .-  v
)  /\  ( z  .-  t )  =/=  (
u  .-  v )
) )
5251simpld 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( z  .-  t )  .<_  ( u 
.-  v ) )
533, 4, 5, 6, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 46, 52legtrd 24634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( x  .-  y )  .<_  ( u 
.-  v ) )
5428adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  G  e. TarskiG )
5529adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  x  e.  P )
5630adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  y  e.  P )
5731adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  z  e.  P )
5832adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  t  e.  P )
5946adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  (
x  .-  y )  .<_  ( z  .-  t
) )
6052adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  (
z  .-  t )  .<_  ( u  .-  v
) )
61 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  (
x  .-  y )  =  ( u  .-  v ) )
6260, 61breqtrrd 4429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  (
z  .-  t )  .<_  ( x  .-  y
) )
633, 4, 5, 6, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 62legtri3 24635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  (
x  .-  y )  =  ( z  .-  t ) )
6445simprd 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( x  .-  y )  =/=  (
z  .-  t )
)
6564adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  (
x  .-  y )  =/=  ( z  .-  t
) )
6665neneqd 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  -.  ( x  .-  y )  =  ( z  .-  t ) )
6763, 66pm2.65da 580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  -.  (
x  .-  y )  =  ( u  .-  v ) )
6867neqned 2631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( x  .-  y )  =/=  (
u  .-  v )
)
693, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30ltgov 24642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( (
x  .-  y )  .<  ( u  .-  v
)  <->  ( ( x 
.-  y )  .<_  ( u  .-  v )  /\  ( x  .-  y )  =/=  (
u  .-  v )
) ) )
7053, 68, 69mpbir2and 933 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( x  .-  y )  .<  (
u  .-  v )
)
7170, 37, 483brtr4d 4433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  a  .<  c )
72 simp-5r 779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E ) )  /\  ( a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  -> 
( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )
7372simp3d 1022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E ) )  /\  ( a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  -> 
c  e.  E )
7473ad3antrrr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  -> 
c  e.  E )
753, 4, 5, 6, 27, 10, 40, 74ltgseg 24641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  ->  E. u  e.  P  E. v  e.  P  c  =  ( u  .-  v ) )
7671, 75r19.29vva 2934 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  -> 
a  .<  c )
777ad5antr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E ) )  /\  ( a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  ->  G  e. TarskiG )
7811ad5antr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E ) )  /\  ( a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  ->  Fun  .-  )
7972simp2d 1021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E ) )  /\  ( a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  -> 
b  e.  E )
803, 4, 5, 6, 77, 10, 78, 79ltgseg 24641 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E ) )  /\  ( a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  ->  E. z  e.  P  E. t  e.  P  b  =  ( z  .-  t ) )
8176, 80r19.29vva 2934 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E ) )  /\  ( a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  -> 
a  .<  c )
827ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E )
)  /\  ( a  .<  b  /\  b  .< 
c ) )  ->  G  e. TarskiG )
8311ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E )
)  /\  ( a  .<  b  /\  b  .< 
c ) )  ->  Fun  .-  )
84 simplr1 1050 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E )
)  /\  ( a  .<  b  /\  b  .< 
c ) )  -> 
a  e.  E )
853, 4, 5, 6, 82, 10, 83, 84ltgseg 24641 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E )
)  /\  ( a  .<  b  /\  b  .< 
c ) )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  a  =  ( x  .-  y ) )
8681, 85r19.29vva 2934 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E )
)  /\  ( a  .<  b  /\  b  .< 
c ) )  -> 
a  .<  c )
8786ex 436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E ) )  -> 
( ( a  .< 
b  /\  b  .<  c )  ->  a  .<  c ) )
8826, 87ispod 4763 . 2  |-  ( ph  ->  .<  Po  E )
897ad8antr 746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  G  e. TarskiG )
90 simp-6r 781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  x  e.  P )
91 simp-5r 779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  y  e.  P )
92 simpllr 769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  z  e.  P )
93 simplr 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  t  e.  P )
943, 4, 5, 6, 89, 90, 91, 92, 93legtrid 24636 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
( x  .-  y
)  .<_  ( z  .-  t )  \/  (
z  .-  t )  .<_  ( x  .-  y
) ) )
9511ad8antr 746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  Fun  .-  )
9615ad8antr 746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  ( P  X.  P )  C_  dom  .-  )
973, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 90, 91legov3 24643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
( x  .-  y
)  .<_  ( z  .-  t )  <->  ( (
x  .-  y )  .<  ( z  .-  t
)  \/  ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  t
) ) ) )
983, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 92, 93legov3 24643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
( z  .-  t
)  .<_  ( x  .-  y )  <->  ( (
z  .-  t )  .<  ( x  .-  y
)  \/  ( z 
.-  t )  =  ( x  .-  y
) ) ) )
9997, 98orbi12d 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
( ( x  .-  y )  .<_  ( z 
.-  t )  \/  ( z  .-  t
)  .<_  ( x  .-  y ) )  <->  ( (
( x  .-  y
)  .<  ( z  .-  t )  \/  (
x  .-  y )  =  ( z  .-  t ) )  \/  ( ( z  .-  t )  .<  (
x  .-  y )  \/  ( z  .-  t
)  =  ( x 
.-  y ) ) ) ) )
10094, 99mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
( ( x  .-  y )  .<  (
z  .-  t )  \/  ( x  .-  y
)  =  ( z 
.-  t ) )  \/  ( ( z 
.-  t )  .< 
( x  .-  y
)  \/  ( z 
.-  t )  =  ( x  .-  y
) ) ) )
101 eqcom 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  .-  y )  =  ( z  .-  t )  <->  ( z  .-  t )  =  ( x  .-  y ) )
102101orbi2i 522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  .-  t
)  .<  ( x  .-  y )  \/  (
x  .-  y )  =  ( z  .-  t ) )  <->  ( (
z  .-  t )  .<  ( x  .-  y
)  \/  ( z 
.-  t )  =  ( x  .-  y
) ) )
103102orbi2i 522 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  .-  y )  .<  (
z  .-  t )  \/  ( x  .-  y
)  =  ( z 
.-  t ) )  \/  ( ( z 
.-  t )  .< 
( x  .-  y
)  \/  ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  t
) ) )  <->  ( (
( x  .-  y
)  .<  ( z  .-  t )  \/  (
x  .-  y )  =  ( z  .-  t ) )  \/  ( ( z  .-  t )  .<  (
x  .-  y )  \/  ( z  .-  t
)  =  ( x 
.-  y ) ) ) )
104 df-3or 986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .-  y
)  .<  ( z  .-  t )  \/  (
z  .-  t )  .<  ( x  .-  y
)  \/  ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  t
) )  <->  ( (
( x  .-  y
)  .<  ( z  .-  t )  \/  (
z  .-  t )  .<  ( x  .-  y
) )  \/  (
x  .-  y )  =  ( z  .-  t ) ) )
105 3orcomb 995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .-  y
)  .<  ( z  .-  t )  \/  (
z  .-  t )  .<  ( x  .-  y
)  \/  ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  t
) )  <->  ( (
x  .-  y )  .<  ( z  .-  t
)  \/  ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  t
)  \/  ( z 
.-  t )  .< 
( x  .-  y
) ) )
106 orordir 534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  .-  y )  .<  (
z  .-  t )  \/  ( z  .-  t
)  .<  ( x  .-  y ) )  \/  ( x  .-  y
)  =  ( z 
.-  t ) )  <-> 
( ( ( x 
.-  y )  .< 
( z  .-  t
)  \/  ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  t
) )  \/  (
( z  .-  t
)  .<  ( x  .-  y )  \/  (
x  .-  y )  =  ( z  .-  t ) ) ) )
107104, 105, 1063bitr3ri 280 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  .-  y )  .<  (
z  .-  t )  \/  ( x  .-  y
)  =  ( z 
.-  t ) )  \/  ( ( z 
.-  t )  .< 
( x  .-  y
)  \/  ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  t
) ) )  <->  ( (
x  .-  y )  .<  ( z  .-  t
)  \/  ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  t
)  \/  ( z 
.-  t )  .< 
( x  .-  y
) ) )
108103, 107bitr3i 255 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  .-  y )  .<  (
z  .-  t )  \/  ( x  .-  y
)  =  ( z 
.-  t ) )  \/  ( ( z 
.-  t )  .< 
( x  .-  y
)  \/  ( z 
.-  t )  =  ( x  .-  y
) ) )  <->  ( (
x  .-  y )  .<  ( z  .-  t
)  \/  ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  t
)  \/  ( z 
.-  t )  .< 
( x  .-  y
) ) )
109100, 108sylib 200 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
( x  .-  y
)  .<  ( z  .-  t )  \/  (
x  .-  y )  =  ( z  .-  t )  \/  (
z  .-  t )  .<  ( x  .-  y
) ) )
110 simp-4r 777 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  a  =  ( x  .-  y ) )
111 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  b  =  ( z  .-  t ) )
112110, 111breq12d 4415 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
a  .<  b  <->  ( x  .-  y )  .<  (
z  .-  t )
) )
113110, 111eqeq12d 2466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
a  =  b  <->  ( x  .-  y )  =  ( z  .-  t ) ) )
114111, 110breq12d 4415 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
b  .<  a  <->  ( z  .-  t )  .<  (
x  .-  y )
) )
115112, 113, 1143orbi123d 1338 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
( a  .<  b  \/  a  =  b  \/  b  .<  a )  <-> 
( ( x  .-  y )  .<  (
z  .-  t )  \/  ( x  .-  y
)  =  ( z 
.-  t )  \/  ( z  .-  t
)  .<  ( x  .-  y ) ) ) )
116109, 115mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
a  .<  b  \/  a  =  b  \/  b  .<  a ) )
1177ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E )  ->  G  e. TarskiG )
11811ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E )  ->  Fun  .-  )
119 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E )  ->  b  e.  E )
1203, 4, 5, 6, 117, 10, 118, 119ltgseg 24641 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E )  ->  E. z  e.  P  E. t  e.  P  b  =  ( z  .-  t
) )
121120ad3antrrr 736 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  ->  E. z  e.  P  E. t  e.  P  b  =  ( z  .-  t ) )
122116, 121r19.29vva 2934 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  -> 
( a  .<  b  \/  a  =  b  \/  b  .<  a ) )
12325adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  a  =  ( x  .-  y ) )
124122, 123r19.29vva 2934 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E )  ->  (
a  .<  b  \/  a  =  b  \/  b  .<  a ) )
125124anasss 653 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E ) )  -> 
( a  .<  b  \/  a  =  b  \/  b  .<  a ) )
12688, 125issod 4785 1  |-  ( ph  ->  .<  Or  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    \/ w3o 984    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   E.wrex 2738    \ cdif 3401    C_ wss 3404   class class class wbr 4402    _I cid 4744    Or wor 4754    X. cxp 4832   dom cdm 4834    |` cres 4836   "cima 4837   Fun wfun 5576   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   distcds 15199  TarskiGcstrkg 24478  Itvcitv 24484  ≤Gcleg 24627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-s2 12944  df-s3 12945  df-trkgc 24496  df-trkgb 24497  df-trkgcb 24498  df-trkg 24501  df-cgrg 24556  df-leg 24628
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