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Theorem legso 24723
Description: The shorter-than relationship builds an order over pairs. Remark 5.13 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legso.a  |-  E  =  (  .-  " ( P  X.  P ) )
legso.f  |-  ( ph  ->  Fun  .-  )
legso.l  |-  .<  =  ( (  .<_  |`  E ) 
\  _I  )
legso.d  |-  ( ph  ->  ( P  X.  P
)  C_  dom  .-  )
Assertion
Ref Expression
legso  |-  ( ph  ->  .<  Or  E )

Proof of Theorem legso
Dummy variables  a  x  y  t  u  v  z  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neirr 2652 . . . . . . 7  |-  -.  (
x  .-  y )  =/=  ( x  .-  y
)
21intnan 928 . . . . . 6  |-  -.  (
( x  .-  y
)  .<_  ( x  .-  y )  /\  (
x  .-  y )  =/=  ( x  .-  y
) )
3 legval.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( Base `  G
)
4 legval.d . . . . . . 7  |-  .-  =  ( dist `  G )
5 legval.i . . . . . . 7  |-  I  =  (Itv `  G )
6 legval.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  (≤G `  G )
7 legval.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
87adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  E )  ->  G  e. TarskiG )
98ad3antrrr 744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  ->  G  e. TarskiG )
10 legso.a . . . . . . 7  |-  E  =  (  .-  " ( P  X.  P ) )
11 legso.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Fun  .-  )
1211adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  E )  ->  Fun  .-  )
1312ad3antrrr 744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  ->  Fun  .-  )
14 legso.l . . . . . . 7  |-  .<  =  ( (  .<_  |`  E ) 
\  _I  )
15 legso.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  X.  P
)  C_  dom  .-  )
1615ad4antr 746 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  -> 
( P  X.  P
)  C_  dom  .-  )
17 simpllr 777 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  ->  x  e.  P )
18 simplr 770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  -> 
y  e.  P )
193, 4, 5, 6, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 18ltgov 24721 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  -> 
( ( x  .-  y )  .<  (
x  .-  y )  <->  ( ( x  .-  y
)  .<_  ( x  .-  y )  /\  (
x  .-  y )  =/=  ( x  .-  y
) ) ) )
202, 19mtbiri 310 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  ->  -.  ( x  .-  y
)  .<  ( x  .-  y ) )
21 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  -> 
a  =  ( x 
.-  y ) )
2221, 21breq12d 4408 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  -> 
( a  .<  a  <->  ( x  .-  y ) 
.<  ( x  .-  y
) ) )
2320, 22mtbird 308 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  x  e.  P
)  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  ->  -.  a  .<  a )
24 simpr 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  E )  ->  a  e.  E )
253, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24ltgseg 24720 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  E )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  a  =  ( x  .-  y ) )
2623, 25r19.29vva 2920 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  E )  ->  -.  a  .<  a )
277ad8antr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  ->  G  e. TarskiG )
2827ad3antrrr 744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  G  e. TarskiG )
29 simp-9r 795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  x  e.  P )
30 simp-8r 793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  y  e.  P )
31 simp-6r 789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  z  e.  P )
32 simp-5r 787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  t  e.  P )
33 simpllr 777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  u  e.  P )
34 simplr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  v  e.  P )
35 simp-10r 797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( a  .<  b  /\  b  .< 
c ) )
3635simpld 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  a  .<  b )
37 simp-7r 791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  a  =  ( x  .-  y ) )
38 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  b  =  ( z  .-  t
) )
3936, 37, 383brtr3d 4425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( x  .-  y )  .<  (
z  .-  t )
)
4011ad8antr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  ->  Fun  .-  )
4140ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  Fun  .-  )
4215ad8antr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  -> 
( P  X.  P
)  C_  dom  .-  )
4342ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( P  X.  P )  C_  dom  .-  )
443, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30ltgov 24721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( (
x  .-  y )  .<  ( z  .-  t
)  <->  ( ( x 
.-  y )  .<_  ( z  .-  t
)  /\  ( x  .-  y )  =/=  (
z  .-  t )
) ) )
4539, 44mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( (
x  .-  y )  .<_  ( z  .-  t
)  /\  ( x  .-  y )  =/=  (
z  .-  t )
) )
4645simpld 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( x  .-  y )  .<_  ( z 
.-  t ) )
4735simprd 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  b  .<  c )
48 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  c  =  ( u  .-  v ) )
4947, 38, 483brtr3d 4425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( z  .-  t )  .<  (
u  .-  v )
)
503, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 31, 32ltgov 24721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( (
z  .-  t )  .<  ( u  .-  v
)  <->  ( ( z 
.-  t )  .<_  ( u  .-  v )  /\  ( z  .-  t )  =/=  (
u  .-  v )
) ) )
5149, 50mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( (
z  .-  t )  .<_  ( u  .-  v
)  /\  ( z  .-  t )  =/=  (
u  .-  v )
) )
5251simpld 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( z  .-  t )  .<_  ( u 
.-  v ) )
533, 4, 5, 6, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 46, 52legtrd 24713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( x  .-  y )  .<_  ( u 
.-  v ) )
5428adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  G  e. TarskiG )
5529adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  x  e.  P )
5630adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  y  e.  P )
5731adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  z  e.  P )
5832adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  t  e.  P )
5946adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  (
x  .-  y )  .<_  ( z  .-  t
) )
6052adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  (
z  .-  t )  .<_  ( u  .-  v
) )
61 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  (
x  .-  y )  =  ( u  .-  v ) )
6260, 61breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  (
z  .-  t )  .<_  ( x  .-  y
) )
633, 4, 5, 6, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 62legtri3 24714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  (
x  .-  y )  =  ( z  .-  t ) )
6445simprd 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( x  .-  y )  =/=  (
z  .-  t )
)
6564adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  (
x  .-  y )  =/=  ( z  .-  t
) )
6665neneqd 2648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  /\  ( x 
.-  y )  =  ( u  .-  v
) )  ->  -.  ( x  .-  y )  =  ( z  .-  t ) )
6763, 66pm2.65da 586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  -.  (
x  .-  y )  =  ( u  .-  v ) )
6867neqned 2650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( x  .-  y )  =/=  (
u  .-  v )
)
693, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30ltgov 24721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( (
x  .-  y )  .<  ( u  .-  v
)  <->  ( ( x 
.-  y )  .<_  ( u  .-  v )  /\  ( x  .-  y )  =/=  (
u  .-  v )
) ) )
7053, 68, 69mpbir2and 936 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  ( x  .-  y )  .<  (
u  .-  v )
)
7170, 37, 483brtr4d 4426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  /\  u  e.  P )  /\  v  e.  P
)  /\  c  =  ( u  .-  v ) )  ->  a  .<  c )
72 simp-5r 787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E ) )  /\  ( a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  -> 
( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )
7372simp3d 1044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E ) )  /\  ( a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  -> 
c  e.  E )
7473ad3antrrr 744 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  -> 
c  e.  E )
753, 4, 5, 6, 27, 10, 40, 74ltgseg 24720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  ->  E. u  e.  P  E. v  e.  P  c  =  ( u  .-  v ) )
7671, 75r19.29vva 2920 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E
) )  /\  (
a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P
)  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P )  /\  b  =  ( z  .-  t ) )  -> 
a  .<  c )
777ad5antr 748 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E ) )  /\  ( a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  ->  G  e. TarskiG )
7811ad5antr 748 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E ) )  /\  ( a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  ->  Fun  .-  )
7972simp2d 1043 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E ) )  /\  ( a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  -> 
b  e.  E )
803, 4, 5, 6, 77, 10, 78, 79ltgseg 24720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E ) )  /\  ( a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  ->  E. z  e.  P  E. t  e.  P  b  =  ( z  .-  t ) )
8176, 80r19.29vva 2920 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E ) )  /\  ( a  .<  b  /\  b  .<  c ) )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  -> 
a  .<  c )
827ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E )
)  /\  ( a  .<  b  /\  b  .< 
c ) )  ->  G  e. TarskiG )
8311ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E )
)  /\  ( a  .<  b  /\  b  .< 
c ) )  ->  Fun  .-  )
84 simplr1 1072 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E )
)  /\  ( a  .<  b  /\  b  .< 
c ) )  -> 
a  e.  E )
853, 4, 5, 6, 82, 10, 83, 84ltgseg 24720 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E )
)  /\  ( a  .<  b  /\  b  .< 
c ) )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  a  =  ( x  .-  y ) )
8681, 85r19.29vva 2920 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E )
)  /\  ( a  .<  b  /\  b  .< 
c ) )  -> 
a  .<  c )
8786ex 441 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E  /\  c  e.  E ) )  -> 
( ( a  .< 
b  /\  b  .<  c )  ->  a  .<  c ) )
8826, 87ispod 4768 . 2  |-  ( ph  ->  .<  Po  E )
897ad8antr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  G  e. TarskiG )
90 simp-6r 789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  x  e.  P )
91 simp-5r 787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  y  e.  P )
92 simpllr 777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  z  e.  P )
93 simplr 770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  t  e.  P )
943, 4, 5, 6, 89, 90, 91, 92, 93legtrid 24715 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
( x  .-  y
)  .<_  ( z  .-  t )  \/  (
z  .-  t )  .<_  ( x  .-  y
) ) )
9511ad8antr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  Fun  .-  )
9615ad8antr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  ( P  X.  P )  C_  dom  .-  )
973, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 90, 91legov3 24722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
( x  .-  y
)  .<_  ( z  .-  t )  <->  ( (
x  .-  y )  .<  ( z  .-  t
)  \/  ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  t
) ) ) )
983, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 92, 93legov3 24722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
( z  .-  t
)  .<_  ( x  .-  y )  <->  ( (
z  .-  t )  .<  ( x  .-  y
)  \/  ( z 
.-  t )  =  ( x  .-  y
) ) ) )
9997, 98orbi12d 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
( ( x  .-  y )  .<_  ( z 
.-  t )  \/  ( z  .-  t
)  .<_  ( x  .-  y ) )  <->  ( (
( x  .-  y
)  .<  ( z  .-  t )  \/  (
x  .-  y )  =  ( z  .-  t ) )  \/  ( ( z  .-  t )  .<  (
x  .-  y )  \/  ( z  .-  t
)  =  ( x 
.-  y ) ) ) ) )
10094, 99mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
( ( x  .-  y )  .<  (
z  .-  t )  \/  ( x  .-  y
)  =  ( z 
.-  t ) )  \/  ( ( z 
.-  t )  .< 
( x  .-  y
)  \/  ( z 
.-  t )  =  ( x  .-  y
) ) ) )
101 eqcom 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  .-  y )  =  ( z  .-  t )  <->  ( z  .-  t )  =  ( x  .-  y ) )
102101orbi2i 528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  .-  t
)  .<  ( x  .-  y )  \/  (
x  .-  y )  =  ( z  .-  t ) )  <->  ( (
z  .-  t )  .<  ( x  .-  y
)  \/  ( z 
.-  t )  =  ( x  .-  y
) ) )
103102orbi2i 528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  .-  y )  .<  (
z  .-  t )  \/  ( x  .-  y
)  =  ( z 
.-  t ) )  \/  ( ( z 
.-  t )  .< 
( x  .-  y
)  \/  ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  t
) ) )  <->  ( (
( x  .-  y
)  .<  ( z  .-  t )  \/  (
x  .-  y )  =  ( z  .-  t ) )  \/  ( ( z  .-  t )  .<  (
x  .-  y )  \/  ( z  .-  t
)  =  ( x 
.-  y ) ) ) )
104 df-3or 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .-  y
)  .<  ( z  .-  t )  \/  (
z  .-  t )  .<  ( x  .-  y
)  \/  ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  t
) )  <->  ( (
( x  .-  y
)  .<  ( z  .-  t )  \/  (
z  .-  t )  .<  ( x  .-  y
) )  \/  (
x  .-  y )  =  ( z  .-  t ) ) )
105 3orcomb 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .-  y
)  .<  ( z  .-  t )  \/  (
z  .-  t )  .<  ( x  .-  y
)  \/  ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  t
) )  <->  ( (
x  .-  y )  .<  ( z  .-  t
)  \/  ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  t
)  \/  ( z 
.-  t )  .< 
( x  .-  y
) ) )
106 orordir 540 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  .-  y )  .<  (
z  .-  t )  \/  ( z  .-  t
)  .<  ( x  .-  y ) )  \/  ( x  .-  y
)  =  ( z 
.-  t ) )  <-> 
( ( ( x 
.-  y )  .< 
( z  .-  t
)  \/  ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  t
) )  \/  (
( z  .-  t
)  .<  ( x  .-  y )  \/  (
x  .-  y )  =  ( z  .-  t ) ) ) )
107104, 105, 1063bitr3ri 284 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  .-  y )  .<  (
z  .-  t )  \/  ( x  .-  y
)  =  ( z 
.-  t ) )  \/  ( ( z 
.-  t )  .< 
( x  .-  y
)  \/  ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  t
) ) )  <->  ( (
x  .-  y )  .<  ( z  .-  t
)  \/  ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  t
)  \/  ( z 
.-  t )  .< 
( x  .-  y
) ) )
108103, 107bitr3i 259 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  .-  y )  .<  (
z  .-  t )  \/  ( x  .-  y
)  =  ( z 
.-  t ) )  \/  ( ( z 
.-  t )  .< 
( x  .-  y
)  \/  ( z 
.-  t )  =  ( x  .-  y
) ) )  <->  ( (
x  .-  y )  .<  ( z  .-  t
)  \/  ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  t
)  \/  ( z 
.-  t )  .< 
( x  .-  y
) ) )
109100, 108sylib 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
( x  .-  y
)  .<  ( z  .-  t )  \/  (
x  .-  y )  =  ( z  .-  t )  \/  (
z  .-  t )  .<  ( x  .-  y
) ) )
110 simp-4r 785 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  a  =  ( x  .-  y ) )
111 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  b  =  ( z  .-  t ) )
112110, 111breq12d 4408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
a  .<  b  <->  ( x  .-  y )  .<  (
z  .-  t )
) )
113110, 111eqeq12d 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
a  =  b  <->  ( x  .-  y )  =  ( z  .-  t ) ) )
114111, 110breq12d 4408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
b  .<  a  <->  ( z  .-  t )  .<  (
x  .-  y )
) )
115112, 113, 1143orbi123d 1364 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
( a  .<  b  \/  a  =  b  \/  b  .<  a )  <-> 
( ( x  .-  y )  .<  (
z  .-  t )  \/  ( x  .-  y
)  =  ( z 
.-  t )  \/  ( z  .-  t
)  .<  ( x  .-  y ) ) ) )
116109, 115mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E
)  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  t  e.  P
)  /\  b  =  ( z  .-  t
) )  ->  (
a  .<  b  \/  a  =  b  \/  b  .<  a ) )
1177ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E )  ->  G  e. TarskiG )
11811ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E )  ->  Fun  .-  )
119 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E )  ->  b  e.  E )
1203, 4, 5, 6, 117, 10, 118, 119ltgseg 24720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E )  ->  E. z  e.  P  E. t  e.  P  b  =  ( z  .-  t
) )
121120ad3antrrr 744 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  ->  E. z  e.  P  E. t  e.  P  b  =  ( z  .-  t ) )
122116, 121r19.29vva 2920 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E )  /\  x  e.  P )  /\  y  e.  P )  /\  a  =  ( x  .-  y ) )  -> 
( a  .<  b  \/  a  =  b  \/  b  .<  a ) )
12325adantr 472 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  a  =  ( x  .-  y ) )
124122, 123r19.29vva 2920 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  E )  /\  b  e.  E )  ->  (
a  .<  b  \/  a  =  b  \/  b  .<  a ) )
125124anasss 659 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  E  /\  b  e.  E ) )  -> 
( a  .<  b  \/  a  =  b  \/  b  .<  a ) )
12688, 125issod 4790 1  |-  ( ph  ->  .<  Or  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    \/ w3o 1006    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757    \ cdif 3387    C_ wss 3390   class class class wbr 4395    _I cid 4749    Or wor 4759    X. cxp 4837   dom cdm 4839    |` cres 4841   "cima 4842   Fun wfun 5583   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   distcds 15277  TarskiGcstrkg 24557  Itvcitv 24563  ≤Gcleg 24706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-s2 13003  df-s3 13004  df-trkgc 24575  df-trkgb 24576  df-trkgcb 24577  df-trkg 24580  df-cgrg 24635  df-leg 24707
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