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Theorem legov3 23962
Description: An equivalent definition of the less-than relationship, from the stric relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legso.a  |-  E  =  (  .-  " ( P  X.  P ) )
legso.f  |-  ( ph  ->  Fun  .-  )
legso.l  |-  .<  =  ( (  .<_  |`  E ) 
\  _I  )
legso.d  |-  ( ph  ->  ( P  X.  P
)  C_  dom  .-  )
ltgov.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
ltgov.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
Assertion
Ref Expression
legov3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  ( ( A  .-  B )  .< 
( C  .-  D
)  \/  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  D
) ) ) )

Proof of Theorem legov3
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 legval.d . . . 4  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 legval.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
4 legval.l . . . 4  |-  .<_  =  (≤G `  G )
5 legval.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
6 legso.a . . . 4  |-  E  =  (  .-  " ( P  X.  P ) )
7 legso.f . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  .-  )
8 legso.l . . . 4  |-  .<  =  ( (  .<_  |`  E ) 
\  _I  )
9 legso.d . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  X.  P
)  C_  dom  .-  )
10 ltgov.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
11 ltgov.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ltgov 23961 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<  ( C  .-  D )  <->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) ) ) )
1312orbi1d 702 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  B )  .< 
( C  .-  D
)  \/  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( (
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D
) )  \/  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
14 simprl 756 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) )  \/  ( A  .-  B
)  =  ( C 
.-  D ) ) )  /\  ( ( A  .-  B ) 
.<_  ( C  .-  D
)  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) ) )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) )
151, 2, 3, 4, 5, 10, 11legid 23952 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  .<_  ( A  .-  B ) )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( A 
.-  B ) )
17 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )
1816, 17breqtrd 4461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) )
1918adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) )  \/  ( A  .-  B
)  =  ( C 
.-  D ) ) )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  D
) )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D ) )
20 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D
) )  \/  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) ) )  -> 
( ( ( A 
.-  B )  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) )  \/  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) ) )
2114, 19, 20mpjaodan 786 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D
) )  \/  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) ) )  -> 
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D ) )
22 simplr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D ) )  /\  -.  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D ) )
23 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D ) )  /\  -.  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) )  ->  -.  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )
2423neqned 2646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D ) )  /\  -.  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) )  ->  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D
) )
2522, 24jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D ) )  /\  -.  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) )  ->  (
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D
) ) )
2625ex 434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) )  ->  ( -.  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
)  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) ) ) )
2726orrd 378 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) )  ->  ( ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  D
)  \/  ( ( A  .-  B ) 
.<_  ( C  .-  D
)  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) ) ) )
2827orcomd 388 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) )  ->  ( ( ( A  .-  B ) 
.<_  ( C  .-  D
)  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) )  \/  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) ) )
2921, 28impbida 832 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  .-  B ) 
.<_  ( C  .-  D
)  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) )  \/  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )  <->  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) ) )
3013, 29bitr2d 254 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  ( ( A  .-  B )  .< 
( C  .-  D
)  \/  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638    \ cdif 3458    C_ wss 3461   class class class wbr 4437    _I cid 4780    X. cxp 4987   dom cdm 4989    |` cres 4991   "cima 4992   Fun wfun 5572   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14614   distcds 14688  TarskiGcstrkg 23803  Itvcitv 23810  ≤Gcleg 23947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-hash 12388  df-word 12524  df-concat 12526  df-s1 12527  df-s2 12795  df-s3 12796  df-trkgc 23822  df-trkgb 23823  df-trkgcb 23824  df-trkg 23828  df-cgrg 23881  df-leg 23948
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