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Theorem legov3 24643
Description: An equivalent definition of the less-than relationship, from the strict relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legso.a  |-  E  =  (  .-  " ( P  X.  P ) )
legso.f  |-  ( ph  ->  Fun  .-  )
legso.l  |-  .<  =  ( (  .<_  |`  E ) 
\  _I  )
legso.d  |-  ( ph  ->  ( P  X.  P
)  C_  dom  .-  )
ltgov.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
ltgov.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
Assertion
Ref Expression
legov3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  ( ( A  .-  B )  .< 
( C  .-  D
)  \/  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  D
) ) ) )

Proof of Theorem legov3
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 legval.d . . . 4  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 legval.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
4 legval.l . . . 4  |-  .<_  =  (≤G `  G )
5 legval.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
6 legso.a . . . 4  |-  E  =  (  .-  " ( P  X.  P ) )
7 legso.f . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  .-  )
8 legso.l . . . 4  |-  .<  =  ( (  .<_  |`  E ) 
\  _I  )
9 legso.d . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  X.  P
)  C_  dom  .-  )
10 ltgov.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
11 ltgov.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ltgov 24642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<  ( C  .-  D )  <->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) ) ) )
1312orbi1d 709 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  B )  .< 
( C  .-  D
)  \/  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( (
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D
) )  \/  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
14 simprl 764 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) )  \/  ( A  .-  B
)  =  ( C 
.-  D ) ) )  /\  ( ( A  .-  B ) 
.<_  ( C  .-  D
)  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) ) )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) )
151, 2, 3, 4, 5, 10, 11legid 24632 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  .<_  ( A  .-  B ) )
1615adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( A 
.-  B ) )
17 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )
1816, 17breqtrd 4427 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) )
1918adantlr 721 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) )  \/  ( A  .-  B
)  =  ( C 
.-  D ) ) )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  D
) )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D ) )
20 simpr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D
) )  \/  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) ) )  -> 
( ( ( A 
.-  B )  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) )  \/  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) ) )
2114, 19, 20mpjaodan 795 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D
) )  \/  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) ) )  -> 
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D ) )
22 simplr 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D ) )  /\  -.  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D ) )
23 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D ) )  /\  -.  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) )  ->  -.  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )
2423neqned 2631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D ) )  /\  -.  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) )  ->  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D
) )
2522, 24jca 535 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D ) )  /\  -.  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) )  ->  (
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D
) ) )
2625ex 436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) )  ->  ( -.  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
)  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) ) ) )
2726orrd 380 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) )  ->  ( ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  D
)  \/  ( ( A  .-  B ) 
.<_  ( C  .-  D
)  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) ) ) )
2827orcomd 390 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) )  ->  ( ( ( A  .-  B ) 
.<_  ( C  .-  D
)  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) )  \/  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) ) )
2921, 28impbida 843 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  .-  B ) 
.<_  ( C  .-  D
)  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) )  \/  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )  <->  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) ) )
3013, 29bitr2d 258 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  ( ( A  .-  B )  .< 
( C  .-  D
)  \/  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622    \ cdif 3401    C_ wss 3404   class class class wbr 4402    _I cid 4744    X. cxp 4832   dom cdm 4834    |` cres 4836   "cima 4837   Fun wfun 5576   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   distcds 15199  TarskiGcstrkg 24478  Itvcitv 24484  ≤Gcleg 24627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-s2 12944  df-s3 12945  df-trkgc 24496  df-trkgb 24497  df-trkgcb 24498  df-trkg 24501  df-cgrg 24556  df-leg 24628
This theorem is referenced by:  legso  24644
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