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Theorem legov3 24366
Description: An equivalent definition of the less-than relationship, from the strict relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legso.a  |-  E  =  (  .-  " ( P  X.  P ) )
legso.f  |-  ( ph  ->  Fun  .-  )
legso.l  |-  .<  =  ( (  .<_  |`  E ) 
\  _I  )
legso.d  |-  ( ph  ->  ( P  X.  P
)  C_  dom  .-  )
ltgov.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
ltgov.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
Assertion
Ref Expression
legov3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  ( ( A  .-  B )  .< 
( C  .-  D
)  \/  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  D
) ) ) )

Proof of Theorem legov3
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 legval.d . . . 4  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 legval.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
4 legval.l . . . 4  |-  .<_  =  (≤G `  G )
5 legval.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
6 legso.a . . . 4  |-  E  =  (  .-  " ( P  X.  P ) )
7 legso.f . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  .-  )
8 legso.l . . . 4  |-  .<  =  ( (  .<_  |`  E ) 
\  _I  )
9 legso.d . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  X.  P
)  C_  dom  .-  )
10 ltgov.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
11 ltgov.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ltgov 24365 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<  ( C  .-  D )  <->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) ) ) )
1312orbi1d 701 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  B )  .< 
( C  .-  D
)  \/  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( (
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D
) )  \/  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
14 simprl 756 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) )  \/  ( A  .-  B
)  =  ( C 
.-  D ) ) )  /\  ( ( A  .-  B ) 
.<_  ( C  .-  D
)  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) ) )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) )
151, 2, 3, 4, 5, 10, 11legid 24355 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  .<_  ( A  .-  B ) )
1615adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( A 
.-  B ) )
17 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )
1816, 17breqtrd 4418 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) )
1918adantlr 713 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) )  \/  ( A  .-  B
)  =  ( C 
.-  D ) ) )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  D
) )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D ) )
20 simpr 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D
) )  \/  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) ) )  -> 
( ( ( A 
.-  B )  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) )  \/  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) ) )
2114, 19, 20mpjaodan 787 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D
) )  \/  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) ) )  -> 
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D ) )
22 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D ) )  /\  -.  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D ) )
23 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D ) )  /\  -.  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) )  ->  -.  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )
2423neqned 2606 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D ) )  /\  -.  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) )  ->  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D
) )
2522, 24jca 530 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D ) )  /\  -.  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) )  ->  (
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D
) ) )
2625ex 432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) )  ->  ( -.  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
)  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) ) ) )
2726orrd 376 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) )  ->  ( ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  D
)  \/  ( ( A  .-  B ) 
.<_  ( C  .-  D
)  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) ) ) )
2827orcomd 386 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) )  ->  ( ( ( A  .-  B ) 
.<_  ( C  .-  D
)  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) )  \/  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) ) )
2921, 28impbida 833 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  .-  B ) 
.<_  ( C  .-  D
)  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) )  \/  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )  <->  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) ) )
3013, 29bitr2d 254 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  ( ( A  .-  B )  .< 
( C  .-  D
)  \/  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598    \ cdif 3410    C_ wss 3413   class class class wbr 4394    _I cid 4732    X. cxp 4820   dom cdm 4822    |` cres 4824   "cima 4825   Fun wfun 5562   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   distcds 14916  TarskiGcstrkg 24204  Itvcitv 24210  ≤Gcleg 24350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-hash 12451  df-word 12589  df-concat 12591  df-s1 12592  df-s2 12867  df-s3 12868  df-trkgc 24222  df-trkgb 24223  df-trkgcb 24224  df-trkg 24227  df-cgrg 24282  df-leg 24351
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