MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legov2 Structured version   Unicode version

Theorem legov2 24177
Description: An equivalent definition of the less-than relationship. Definition 5.5 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legov.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
legov.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
legov.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
legov.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
Assertion
Ref Expression
legov2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A 
.-  x )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .-    x, A   
x, B    x, C    x, D    x, I    x, P    x, G    ph, x
Allowed substitution hint:    .<_ ( x)

Proof of Theorem legov2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 legval.d . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 legval.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
4 legval.l . . 3  |-  .<_  =  (≤G `  G )
5 legval.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
6 legov.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
7 legov.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
8 legov.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
9 legov.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9legov 24176 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  y
) ) ) )
11 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  (LineG `  G )  =  (LineG `  G )
125ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
138ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  C  e.  P
)
14 simplr 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  z  e.  P
)
159ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  D  e.  P
)
16 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  (cgrG `  G )  =  (cgrG `  G )
176ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  A  e.  P
)
187ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  B  e.  P
)
19 simprl 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  z  e.  ( C I D ) )
201, 11, 3, 12, 13, 15, 14, 19btwncolg1 24146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  ( z  e.  ( C (LineG `  G ) D )  \/  C  =  D ) )
21 simprr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) )
2221eqcomd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  ( C  .-  z )  =  ( A  .-  B ) )
231, 11, 3, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 20, 22lnext 24158 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  E. x  e.  P  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )
2412ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  G  e. TarskiG )
2513ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  C  e.  P
)
2614ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  z  e.  P
)
2715ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  D  e.  P
)
2817ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  A  e.  P
)
2918ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  B  e.  P
)
30 simplr 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  x  e.  P
)
31 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )
32 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )
3332simpld 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  z  e.  ( C I D ) )
341, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33tgbtwnxfr 24122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  B  e.  ( A I x ) )
351, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31trgcgrcom 24120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  <" A B x "> (cgrG `  G ) <" C
z D "> )
361, 2, 3, 16, 24, 28, 29, 30, 25, 26, 27, 35cgr3simp3 24117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  ( x  .-  A )  =  ( D  .-  C ) )
371, 2, 3, 24, 30, 28, 27, 25, 36tgcgrcomlr 24075 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  ( A  .-  x )  =  ( C  .-  D ) )
3834, 37jca 530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A 
.-  x )  =  ( C  .-  D
) ) )
3938ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  /\  x  e.  P )  ->  ( <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x ">  ->  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( C  .-  D ) ) ) )
4039reximdva 2929 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  ( E. x  e.  P  <" C
z D "> (cgrG `  G ) <" A B x ">  ->  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A 
.-  x )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
4123, 40mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( C  .-  D ) ) )
4241adantllr 716 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  y ) ) )  /\  z  e.  P
)  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  ->  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( C  .-  D ) ) )
43 simpr 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  y
) ) )  ->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  y ) ) )
44 eleq1 2526 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  ( C I D )  <->  z  e.  ( C I D ) ) )
45 oveq2 6278 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( C  .-  y )  =  ( C  .-  z
) )
4645eqeq2d 2468 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( A  .-  B
)  =  ( C 
.-  y )  <->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
4744, 46anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  y ) )  <->  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
4847cbvrexv 3082 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  y ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )
4943, 48sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  y
) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
5042, 49r19.29a 2996 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  y
) ) )  ->  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( C  .-  D ) ) )
515ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
526ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  A  e.  P
)
53 simplr 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  z  e.  P
)
547ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  B  e.  P
)
558ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  C  e.  P
)
569ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  D  e.  P
)
57 simprl 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  B  e.  ( A I z ) )
581, 11, 3, 51, 52, 54, 53, 57btwncolg3 24148 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  ( z  e.  ( A (LineG `  G ) B )  \/  A  =  B ) )
59 simprr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) )
601, 11, 3, 51, 52, 53, 54, 16, 55, 56, 2, 58, 59lnext 24158 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  E. y  e.  P  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )
6151ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  G  e. TarskiG )
6252ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  A  e.  P
)
6354ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  B  e.  P
)
6453ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  z  e.  P
)
6555ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  C  e.  P
)
66 simplr 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  y  e.  P
)
6756ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  D  e.  P
)
68 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )
691, 2, 3, 16, 61, 62, 64, 63, 65, 67, 66, 68cgr3swap23 24119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  <" A B z "> (cgrG `  G ) <" C
y D "> )
70 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )
7170simpld 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  B  e.  ( A I z ) )
721, 2, 3, 16, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 71tgbtwnxfr 24122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  y  e.  ( C I D ) )
731, 2, 3, 16, 61, 62, 64, 63, 65, 67, 66, 68cgr3simp3 24117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  ( B  .-  A )  =  ( y  .-  C ) )
741, 2, 3, 61, 63, 62, 66, 65, 73tgcgrcomlr 24075 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  y ) )
7572, 74jca 530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  y
) ) )
7675ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  /\  y  e.  P )  ->  ( <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y ">  ->  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  y ) ) ) )
7776reximdva 2929 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  ( E. y  e.  P  <" A
z B "> (cgrG `  G ) <" C D y ">  ->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  y
) ) ) )
7860, 77mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  y ) ) )
7978adantllr 716 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( C  .-  D ) ) )  /\  z  e.  P
)  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  ->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  y ) ) )
80 simpr 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A 
.-  x )  =  ( C  .-  D
) ) )  ->  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( C  .-  D ) ) )
81 oveq2 6278 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( A I x )  =  ( A I z ) )
8281eleq2d 2524 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( B  e.  ( A I x )  <->  B  e.  ( A I z ) ) )
83 oveq2 6278 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( A  .-  x )  =  ( A  .-  z
) )
8483eqeq1d 2456 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( A  .-  x
)  =  ( C 
.-  D )  <->  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )
8582, 84anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( B  e.  ( A I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( C  .-  D ) )  <->  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
8685cbvrexv 3082 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( C  .-  D ) )  <->  E. z  e.  P  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )
8780, 86sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A 
.-  x )  =  ( C  .-  D
) ) )  ->  E. z  e.  P  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )
8879, 87r19.29a 2996 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A 
.-  x )  =  ( C  .-  D
) ) )  ->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  y ) ) )
8950, 88impbida 830 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  y
) )  <->  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A 
.-  x )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
9010, 89bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A 
.-  x )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   <"cs3 12801   Basecbs 14719   distcds 14796  TarskiGcstrkg 24026  Itvcitv 24033  LineGclng 24034  cgrGccgrg 24106  ≤Gcleg 24173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12391  df-word 12529  df-concat 12531  df-s1 12532  df-s2 12807  df-s3 12808  df-trkgc 24045  df-trkgb 24046  df-trkgcb 24047  df-trkg 24051  df-cgrg 24107  df-leg 24174
This theorem is referenced by:  legtri3  24181  legtrid  24182
  Copyright terms: Public domain W3C validator