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Theorem legov2 23017
Description: An equivalent definition of the less-than relationship. Definition 5.5 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legov.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
legov.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
legov.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
legov.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
Assertion
Ref Expression
legov2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A 
.-  x )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .-    x, A   
x, B    x, C    x, D    x, I    x, P    x, G    ph, x
Allowed substitution hint:    .<_ ( x)

Proof of Theorem legov2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 legval.d . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 legval.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
4 legval.l . . 3  |-  .<_  =  (≤G `  G )
5 legval.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
6 legov.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
7 legov.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
8 legov.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
9 legov.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9legov 23016 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  y
) ) ) )
11 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (LineG `  G )  =  (LineG `  G )
125ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
138ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  C  e.  P
)
14 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  z  e.  P
)
159ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  D  e.  P
)
16 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (cgrG `  G )  =  (cgrG `  G )
176ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  A  e.  P
)
187ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  B  e.  P
)
19 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  z  e.  ( C I D ) )
201, 11, 3, 12, 13, 15, 14, 19btwncolg1 22989 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  ( z  e.  ( C (LineG `  G ) D )  \/  C  =  D ) )
21 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) )
2221eqcomd 2448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  ( C  .-  z )  =  ( A  .-  B ) )
231, 11, 3, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 20, 22lnext 22999 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  E. x  e.  P  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )
2412ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  G  e. TarskiG )
2513ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  C  e.  P
)
2614ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  z  e.  P
)
2715ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  D  e.  P
)
2817ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  A  e.  P
)
2918ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  B  e.  P
)
30 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  x  e.  P
)
31 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )
32 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )
3332simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  z  e.  ( C I D ) )
341, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33tgbtwnxfr 22979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  B  e.  ( A I x ) )
351, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31trgcgrcom 22977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  <" A B x "> (cgrG `  G ) <" C
z D "> )
361, 2, 3, 16, 24, 28, 29, 30, 25, 26, 27, 35cgr3simp3 22974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  ( x  .-  A )  =  ( D  .-  C ) )
371, 2, 3, 24, 30, 28, 27, 25, 36tgcgrcomlr 22934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  ( A  .-  x )  =  ( C  .-  D ) )
3834, 37jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x "> )  ->  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A 
.-  x )  =  ( C  .-  D
) ) )
3938ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  /\  x  e.  P )  ->  ( <" C z D "> (cgrG `  G ) <" A B x ">  ->  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( C  .-  D ) ) ) )
4039reximdva 2828 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  ( E. x  e.  P  <" C
z D "> (cgrG `  G ) <" A B x ">  ->  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A 
.-  x )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
4123, 40mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  (
z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )  ->  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( C  .-  D ) ) )
4241adantllr 718 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  y ) ) )  /\  z  e.  P
)  /\  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  ->  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( C  .-  D ) ) )
43 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  y
) ) )  ->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  y ) ) )
44 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  ( C I D )  <->  z  e.  ( C I D ) ) )
45 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( C  .-  y )  =  ( C  .-  z
) )
4645eqeq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( A  .-  B
)  =  ( C 
.-  y )  <->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
4744, 46anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  y ) )  <->  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
4847cbvrexv 2948 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  y ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )
4943, 48sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  y
) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
5042, 49r19.29a 2862 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  y
) ) )  ->  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( C  .-  D ) ) )
515ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
526ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  A  e.  P
)
53 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  z  e.  P
)
547ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  B  e.  P
)
558ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  C  e.  P
)
569ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  D  e.  P
)
57 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  B  e.  ( A I z ) )
581, 11, 3, 51, 52, 54, 53, 57btwncolg3 22991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  ( z  e.  ( A (LineG `  G ) B )  \/  A  =  B ) )
59 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) )
601, 11, 3, 51, 52, 53, 54, 16, 55, 56, 2, 58, 59lnext 22999 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  E. y  e.  P  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )
6151ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  G  e. TarskiG )
6252ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  A  e.  P
)
6354ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  B  e.  P
)
6453ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  z  e.  P
)
6555ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  C  e.  P
)
66 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  y  e.  P
)
6756ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  D  e.  P
)
68 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )
691, 2, 3, 16, 61, 62, 64, 63, 65, 67, 66, 68cgr3swap23 22976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  <" A B z "> (cgrG `  G ) <" C
y D "> )
70 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )
7170simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  B  e.  ( A I z ) )
721, 2, 3, 16, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 71tgbtwnxfr 22979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  y  e.  ( C I D ) )
731, 2, 3, 16, 61, 62, 64, 63, 65, 67, 66, 68cgr3simp3 22974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  ( B  .-  A )  =  ( y  .-  C ) )
741, 2, 3, 61, 63, 62, 66, 65, 73tgcgrcomlr 22934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  y ) )
7572, 74jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y "> )  ->  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  y
) ) )
7675ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  /\  y  e.  P )  ->  ( <" A z B "> (cgrG `  G ) <" C D y ">  ->  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  y ) ) ) )
7776reximdva 2828 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  ( E. y  e.  P  <" A
z B "> (cgrG `  G ) <" C D y ">  ->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  y
) ) ) )
7860, 77mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  P )  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )  ->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  y ) ) )
7978adantllr 718 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( C  .-  D ) ) )  /\  z  e.  P
)  /\  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )  ->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  y ) ) )
80 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A 
.-  x )  =  ( C  .-  D
) ) )  ->  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( C  .-  D ) ) )
81 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( A I x )  =  ( A I z ) )
8281eleq2d 2510 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( B  e.  ( A I x )  <->  B  e.  ( A I z ) ) )
83 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( A  .-  x )  =  ( A  .-  z
) )
8483eqeq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( A  .-  x
)  =  ( C 
.-  D )  <->  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )
8582, 84anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( B  e.  ( A I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( C  .-  D ) )  <->  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
8685cbvrexv 2948 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A  .-  x )  =  ( C  .-  D ) )  <->  E. z  e.  P  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A 
.-  z )  =  ( C  .-  D
) ) )
8780, 86sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A 
.-  x )  =  ( C  .-  D
) ) )  ->  E. z  e.  P  ( B  e.  ( A I z )  /\  ( A  .-  z )  =  ( C  .-  D ) ) )
8879, 87r19.29a 2862 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A 
.-  x )  =  ( C  .-  D
) ) )  ->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  y ) ) )
8950, 88impbida 828 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  P  ( y  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  y
) )  <->  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A 
.-  x )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
9010, 89bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. x  e.  P  ( B  e.  ( A I x )  /\  ( A 
.-  x )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2716   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   <"cs3 12469   Basecbs 14174   distcds 14247  TarskiGcstrkg 22889  Itvcitv 22897  LineGclng 22898  cgrGccgrg 22963  ≤Gcleg 23013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-hash 12104  df-word 12229  df-concat 12231  df-s1 12232  df-s2 12475  df-s3 12476  df-trkgc 22909  df-trkgb 22910  df-trkgcb 22911  df-trkg 22916  df-cgrg 22964  df-leg 23014
This theorem is referenced by:  legtri3  23021  legtrid  23022
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