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Theorem legov 23727
Description: Value of the less-than relationship. Definition 5.4 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legov.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
legov.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
legov.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
legov.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
Assertion
Ref Expression
legov  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
Distinct variable groups:    z,  .-    z, A    z, B    z, C    z, D    z, I    z, P    z, G    ph, z
Allowed substitution hint:    .<_ ( z)

Proof of Theorem legov
Dummy variables  c 
d  e  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 legval.d . . . . 5  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 legval.i . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  G )
4 legval.l . . . . 5  |-  .<_  =  (≤G `  G )
5 legval.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
61, 2, 3, 4, 5legval 23726 . . . 4  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) } )
76breqd 4458 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  ( A  .-  B ) { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) }  ( C  .-  D ) ) )
8 ovex 6309 . . . 4  |-  ( A 
.-  B )  e. 
_V
9 ovex 6309 . . . 4  |-  ( C 
.-  D )  e. 
_V
10 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
f  =  ( C 
.-  D ) )
1110eqeq1d 2469 . . . . . . 7  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( f  =  ( x  .-  y )  <-> 
( C  .-  D
)  =  ( x 
.-  y ) ) )
12 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
e  =  ( A 
.-  B ) )
1312eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( e  =  ( x  .-  z )  <-> 
( A  .-  B
)  =  ( x 
.-  z ) ) )
1413anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) )  <->  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
1514rexbidv 2973 . . . . . . 7  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
1611, 15anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( ( f  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
17162rexbidv 2980 . . . . 5  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( f  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
18 eqid 2467 . . . . 5  |-  { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) }  =  { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) }
1917, 18brabga 4761 . . . 4  |-  ( ( ( A  .-  B
)  e.  _V  /\  ( C  .-  D )  e.  _V )  -> 
( ( A  .-  B ) { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) }  ( C  .-  D )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
208, 9, 19mp2an 672 . . 3  |-  ( ( A  .-  B ) { <. e ,  f
>.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( f  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) }  ( C  .-  D )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
217, 20syl6bb 261 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
22 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  (cgrG `  G )  =  (cgrG `  G )
235ad5antr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  G  e. TarskiG )
25 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  c  e.  P
)
2625adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  c  e.  P
)
27 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  x  e.  P
)
2827adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  x  e.  P
)
29 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  d  e.  P
)
3029adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  d  e.  P
)
31 legov.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
3231ad5antr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  C  e.  P
)
3332adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  C  e.  P
)
34 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  z  e.  P
)
35 legov.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
3635ad5antr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  D  e.  P
)
3736adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  D  e.  P
)
38 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  <" c d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> )
391, 2, 3, 22, 24, 26, 30, 28, 33, 37, 34, 38cgr3swap23 23671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  <" c x d "> (cgrG `  G ) <" C
z D "> )
40 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  x  e.  ( c I d ) )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  x  e.  ( c I d ) )
421, 2, 3, 22, 24, 26, 28, 30, 33, 34, 37, 39, 41tgbtwnxfr 23674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  z  e.  ( C I D ) )
43 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) )
441, 2, 3, 22, 24, 26, 28, 30, 33, 34, 37, 39cgr3simp1 23667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  ( c  .-  x )  =  ( C  .-  z ) )
4543, 44eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) )
4642, 45jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )
47 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  (LineG `  G )  =  (LineG `  G )
481, 47, 3, 23, 25, 27, 29, 40btwncolg3 23700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  ( d  e.  ( c (LineG `  G ) x )  \/  c  =  x ) )
49 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d ) )
5049eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  ( c  .-  d )  =  ( C  .-  D ) )
511, 47, 3, 23, 25, 29, 27, 22, 32, 36, 2, 48, 50lnext 23709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  E. z  e.  P  <" c d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> )
5246, 51reximddv 2939 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
5352adantllr 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )  /\  x  e.  P
)  /\  ( x  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  x
) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
54 anass 649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P
)  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d ) )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) )  <->  ( (
( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) ) ) )
5554anbi1i 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )  /\  x  e.  P
)  <->  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) ) )  /\  x  e.  P ) )
5655anbi1i 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )  /\  x  e.  P
)  /\  ( x  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  x
) ) )  <->  ( (
( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P
)  /\  ( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )  /\  x  e.  P
)  /\  ( x  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  x
) ) ) )
5756imbi1i 325 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P
)  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d ) )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) )  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  <->  ( (
( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) ) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) ) )
5853, 57mpbi 208 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) ) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
59 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P
)  /\  ( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )
60 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  ( c I d )  <->  z  e.  ( c I d ) ) )
61 oveq2 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
c  .-  x )  =  ( c  .-  z ) )
6261eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( A  .-  B
)  =  ( c 
.-  x )  <->  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )
6360, 62anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) )  <->  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )
6463cbvrexv 3089 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  P  ( x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) )
6559, 64sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P
)  /\  ( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  (
c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )
6658, 65r19.29a 3003 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P
)  /\  ( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
6766adantl3r 749 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )  /\  c  e.  P
)  /\  d  e.  P )  /\  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )
68 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
69 oveq1 6291 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  (
c  .-  d )  =  ( x  .-  d ) )
7069eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( c  =  x  ->  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  <->  ( C  .-  D )  =  ( x  .-  d ) ) )
71 oveq1 6291 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  (
c I d )  =  ( x I d ) )
7271eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  (
z  e.  ( c I d )  <->  z  e.  ( x I d ) ) )
73 oveq1 6291 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  (
c  .-  z )  =  ( x  .-  z ) )
7473eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  (
( A  .-  B
)  =  ( c 
.-  z )  <->  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) ) )
7572, 74anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  (
( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) )  <->  ( z  e.  ( x I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
7675rexbidv 2973 . . . . . . 7  |-  ( c  =  x  ->  ( E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) ) ) )
7770, 76anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( c  =  x  ->  (
( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) )  <->  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  d
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
78 oveq2 6292 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  y  ->  (
x  .-  d )  =  ( x  .-  y ) )
7978eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( d  =  y  ->  (
( C  .-  D
)  =  ( x 
.-  d )  <->  ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y ) ) )
80 oveq2 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  y  ->  (
x I d )  =  ( x I y ) )
8180eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  y  ->  (
z  e.  ( x I d )  <->  z  e.  ( x I y ) ) )
8281anbi1d 704 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  y  ->  (
( z  e.  ( x I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) )  <->  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
8382rexbidv 2973 . . . . . . 7  |-  ( d  =  y  ->  ( E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) ) ) )
8479, 83anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( d  =  y  ->  (
( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
8577, 84cbvrex2v 3097 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  P  E. d  e.  P  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
8668, 85sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )  ->  E. c  e.  P  E. d  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )
8767, 86r19.29_2a 3005 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
8831adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  ->  C  e.  P )
8935adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  ->  D  e.  P )
90 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  -> 
( C  .-  D
)  =  ( C 
.-  D ) )
91 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
9290, 91jca 532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  -> 
( ( C  .-  D )  =  ( C  .-  D )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
93 oveq1 6291 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
x  .-  y )  =  ( C  .-  y ) )
9493eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( C  .-  D
)  =  ( x 
.-  y )  <->  ( C  .-  D )  =  ( C  .-  y ) ) )
95 oveq1 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
x I y )  =  ( C I y ) )
9695eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
z  e.  ( x I y )  <->  z  e.  ( C I y ) ) )
97 oveq1 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
x  .-  z )  =  ( C  .-  z ) )
9897eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .-  B
)  =  ( x 
.-  z )  <->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
9996, 98anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
( z  e.  ( x I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) )  <->  ( z  e.  ( C I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
10099rexbidv 2973 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) ) )
10194, 100anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  ( ( C  .-  D )  =  ( C  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) ) )
102 oveq2 6292 . . . . . . 7  |-  ( y  =  D  ->  ( C  .-  y )  =  ( C  .-  D
) )
103102eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( y  =  D  ->  (
( C  .-  D
)  =  ( C 
.-  y )  <->  ( C  .-  D )  =  ( C  .-  D ) ) )
104 oveq2 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  D  ->  ( C I y )  =  ( C I D ) )
105104eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  D  ->  (
z  e.  ( C I y )  <->  z  e.  ( C I D ) ) )
106105anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( y  =  D  ->  (
( z  e.  ( C I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) )  <->  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
107106rexbidv 2973 . . . . . 6  |-  ( y  =  D  ->  ( E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) ) )
108103, 107anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( y  =  D  ->  (
( ( C  .-  D )  =  ( C  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  <->  ( ( C  .-  D )  =  ( C  .-  D
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) ) )
109101, 108rspc2ev 3225 . . . 4  |-  ( ( C  e.  P  /\  D  e.  P  /\  ( ( C  .-  D )  =  ( C  .-  D )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
11088, 89, 92, 109syl3anc 1228 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
11187, 110impbida 830 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C 
.-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
11221, 111bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447   {copab 4504   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   <"cs3 12770   Basecbs 14490   distcds 14564  TarskiGcstrkg 23581  Itvcitv 23588  LineGclng 23589  cgrGccgrg 23658  ≤Gcleg 23724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-hash 12374  df-word 12508  df-concat 12510  df-s1 12511  df-s2 12776  df-s3 12777  df-trkgc 23600  df-trkgb 23601  df-trkgcb 23602  df-trkg 23606  df-cgrg 23659  df-leg 23725
This theorem is referenced by:  legov2  23728  legid  23729  btwnleg  23730  legtrd  23731  legtri3  23732  legtrid  23733  leg0  23734  mideulem  23841
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