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Theorem legov 24678
Description: Value of the less-than relationship. Definition 5.4 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legov.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
legov.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
legov.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
legov.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
Assertion
Ref Expression
legov  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
Distinct variable groups:    z,  .-    z, A    z, B    z, C    z, D    z, I    z, P    z, G    ph, z
Allowed substitution hint:    .<_ ( z)

Proof of Theorem legov
Dummy variables  c 
d  e  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 legval.d . . . . 5  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 legval.i . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  G )
4 legval.l . . . . 5  |-  .<_  =  (≤G `  G )
5 legval.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
61, 2, 3, 4, 5legval 24677 . . . 4  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) } )
76breqd 4426 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  ( A  .-  B ) { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) }  ( C  .-  D ) ) )
8 ovex 6342 . . . 4  |-  ( A 
.-  B )  e. 
_V
9 ovex 6342 . . . 4  |-  ( C 
.-  D )  e. 
_V
10 simpr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
f  =  ( C 
.-  D ) )
1110eqeq1d 2463 . . . . . 6  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( f  =  ( x  .-  y )  <-> 
( C  .-  D
)  =  ( x 
.-  y ) ) )
12 simpl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
e  =  ( A 
.-  B ) )
1312eqeq1d 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( e  =  ( x  .-  z )  <-> 
( A  .-  B
)  =  ( x 
.-  z ) ) )
1413anbi2d 715 . . . . . . 7  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) )  <->  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
1514rexbidv 2912 . . . . . 6  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
1611, 15anbi12d 722 . . . . 5  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( ( f  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
17162rexbidv 2919 . . . 4  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( f  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
18 eqid 2461 . . . 4  |-  { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) }  =  { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) }
198, 9, 17, 18braba 4731 . . 3  |-  ( ( A  .-  B ) { <. e ,  f
>.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( f  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) }  ( C  .-  D )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
207, 19syl6bb 269 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
21 anass 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P
)  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d ) )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) )  <->  ( (
( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) ) ) )
2221anbi1i 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )  /\  x  e.  P
)  <->  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) ) )  /\  x  e.  P ) )
23 eqid 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  (cgrG `  G )  =  (cgrG `  G )
245ad5antr 745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
2524adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  G  e. TarskiG )
26 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  c  e.  P
)
2726adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  c  e.  P
)
28 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  x  e.  P
)
29 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  d  e.  P
)
3029adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  d  e.  P
)
31 legov.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
3231ad5antr 745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  C  e.  P
)
3332adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  C  e.  P
)
34 simprl 769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  z  e.  P
)
35 legov.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
3635ad5antr 745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  D  e.  P
)
3736adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  D  e.  P
)
38 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  <" c d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> )
391, 2, 3, 23, 25, 27, 30, 28, 33, 37, 34, 38cgr3swap23 24617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  <" c x d "> (cgrG `  G ) <" C
z D "> )
40 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  x  e.  ( c I d ) )
4140adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  x  e.  ( c I d ) )
421, 2, 3, 23, 25, 27, 28, 30, 33, 34, 37, 39, 41tgbtwnxfr 24623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  z  e.  ( C I D ) )
43 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) )
441, 2, 3, 23, 25, 27, 28, 30, 33, 34, 37, 39cgr3simp1 24613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  ( c  .-  x )  =  ( C  .-  z ) )
4543, 44eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) )
4642, 45jca 539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )
47 eqid 2461 . . . . . . . . . 10  |-  (LineG `  G )  =  (LineG `  G )
48 simplr 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  x  e.  P
)
491, 47, 3, 24, 26, 48, 29, 40btwncolg3 24650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  ( d  e.  ( c (LineG `  G ) x )  \/  c  =  x ) )
50 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d ) )
5150eqcomd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  ( c  .-  d )  =  ( C  .-  D ) )
521, 47, 3, 24, 26, 29, 48, 23, 32, 36, 2, 49, 51lnext 24660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  E. z  e.  P  <" c d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> )
5346, 52reximddv 2874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
5453adantllr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )  /\  x  e.  P
)  /\  ( x  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  x
) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
5522, 54sylanbr 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) ) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
56 simprr 771 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P
)  /\  ( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )
57 eleq1 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  ( c I d )  <->  z  e.  ( c I d ) ) )
58 oveq2 6322 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
c  .-  x )  =  ( c  .-  z ) )
5958eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( A  .-  B
)  =  ( c 
.-  x )  <->  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )
6057, 59anbi12d 722 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) )  <->  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )
6160cbvrexv 3031 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  P  ( x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) )
6256, 61sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P
)  /\  ( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  (
c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )
6355, 62r19.29a 2943 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P
)  /\  ( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
6463adantl3r 761 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )  /\  c  e.  P
)  /\  d  e.  P )  /\  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )
65 simpr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
66 oveq1 6321 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  (
c  .-  d )  =  ( x  .-  d ) )
6766eqeq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( c  =  x  ->  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  <->  ( C  .-  D )  =  ( x  .-  d ) ) )
68 oveq1 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  (
c I d )  =  ( x I d ) )
6968eleq2d 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  (
z  e.  ( c I d )  <->  z  e.  ( x I d ) ) )
70 oveq1 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  (
c  .-  z )  =  ( x  .-  z ) )
7170eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  (
( A  .-  B
)  =  ( c 
.-  z )  <->  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) ) )
7269, 71anbi12d 722 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  (
( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) )  <->  ( z  e.  ( x I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
7372rexbidv 2912 . . . . . . 7  |-  ( c  =  x  ->  ( E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) ) ) )
7467, 73anbi12d 722 . . . . . 6  |-  ( c  =  x  ->  (
( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) )  <->  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  d
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
75 oveq2 6322 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  y  ->  (
x  .-  d )  =  ( x  .-  y ) )
7675eqeq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( d  =  y  ->  (
( C  .-  D
)  =  ( x 
.-  d )  <->  ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y ) ) )
77 oveq2 6322 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  y  ->  (
x I d )  =  ( x I y ) )
7877eleq2d 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  y  ->  (
z  e.  ( x I d )  <->  z  e.  ( x I y ) ) )
7978anbi1d 716 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  y  ->  (
( z  e.  ( x I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) )  <->  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
8079rexbidv 2912 . . . . . . 7  |-  ( d  =  y  ->  ( E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) ) ) )
8176, 80anbi12d 722 . . . . . 6  |-  ( d  =  y  ->  (
( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
8274, 81cbvrex2v 3039 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  P  E. d  e.  P  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
8365, 82sylibr 217 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )  ->  E. c  e.  P  E. d  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )
8464, 83r19.29vva 2945 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
8531adantr 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  ->  C  e.  P )
8635adantr 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  ->  D  e.  P )
87 eqidd 2462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  -> 
( C  .-  D
)  =  ( C 
.-  D ) )
88 simpr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
89 oveq1 6321 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
x  .-  y )  =  ( C  .-  y ) )
9089eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( C  .-  D
)  =  ( x 
.-  y )  <->  ( C  .-  D )  =  ( C  .-  y ) ) )
91 oveq1 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
x I y )  =  ( C I y ) )
9291eleq2d 2524 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
z  e.  ( x I y )  <->  z  e.  ( C I y ) ) )
93 oveq1 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
x  .-  z )  =  ( C  .-  z ) )
9493eqeq2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .-  B
)  =  ( x 
.-  z )  <->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
9592, 94anbi12d 722 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
( z  e.  ( x I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) )  <->  ( z  e.  ( C I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
9695rexbidv 2912 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) ) )
9790, 96anbi12d 722 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  ( ( C  .-  D )  =  ( C  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) ) )
98 oveq2 6322 . . . . . . 7  |-  ( y  =  D  ->  ( C  .-  y )  =  ( C  .-  D
) )
9998eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( y  =  D  ->  (
( C  .-  D
)  =  ( C 
.-  y )  <->  ( C  .-  D )  =  ( C  .-  D ) ) )
100 oveq2 6322 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  D  ->  ( C I y )  =  ( C I D ) )
101100eleq2d 2524 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  D  ->  (
z  e.  ( C I y )  <->  z  e.  ( C I D ) ) )
102101anbi1d 716 . . . . . . 7  |-  ( y  =  D  ->  (
( z  e.  ( C I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) )  <->  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
103102rexbidv 2912 . . . . . 6  |-  ( y  =  D  ->  ( E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) ) )
10499, 103anbi12d 722 . . . . 5  |-  ( y  =  D  ->  (
( ( C  .-  D )  =  ( C  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  <->  ( ( C  .-  D )  =  ( C  .-  D
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) ) )
10597, 104rspc2ev 3172 . . . 4  |-  ( ( C  e.  P  /\  D  e.  P  /\  ( ( C  .-  D )  =  ( C  .-  D )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
10685, 86, 87, 88, 105syl112anc 1280 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
10784, 106impbida 848 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C 
.-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
10820, 107bitrd 261 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   E.wrex 2749   class class class wbr 4415   {copab 4473   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   <"cs3 12974   Basecbs 15169   distcds 15247  TarskiGcstrkg 24526  Itvcitv 24532  LineGclng 24533  cgrGccgrg 24603  ≤Gcleg 24675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-hash 12547  df-word 12696  df-concat 12698  df-s1 12699  df-s2 12980  df-s3 12981  df-trkgc 24544  df-trkgb 24545  df-trkgcb 24546  df-trkg 24549  df-cgrg 24604  df-leg 24676
This theorem is referenced by:  legov2  24679  legid  24680  btwnleg  24681  legtrd  24682  legtri3  24683  legtrid  24684  leg0  24685  mideulem  24826  opphllem3  24839
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