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Theorem legov 24176
Description: Value of the less-than relationship. Definition 5.4 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legov.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
legov.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
legov.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
legov.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
Assertion
Ref Expression
legov  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
Distinct variable groups:    z,  .-    z, A    z, B    z, C    z, D    z, I    z, P    z, G    ph, z
Allowed substitution hint:    .<_ ( z)

Proof of Theorem legov
Dummy variables  c 
d  e  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 legval.d . . . . 5  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 legval.i . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  G )
4 legval.l . . . . 5  |-  .<_  =  (≤G `  G )
5 legval.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
61, 2, 3, 4, 5legval 24175 . . . 4  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) } )
76breqd 4450 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  ( A  .-  B ) { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) }  ( C  .-  D ) ) )
8 ovex 6298 . . . 4  |-  ( A 
.-  B )  e. 
_V
9 ovex 6298 . . . 4  |-  ( C 
.-  D )  e. 
_V
10 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
f  =  ( C 
.-  D ) )
1110eqeq1d 2456 . . . . . 6  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( f  =  ( x  .-  y )  <-> 
( C  .-  D
)  =  ( x 
.-  y ) ) )
12 simpl 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
e  =  ( A 
.-  B ) )
1312eqeq1d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( e  =  ( x  .-  z )  <-> 
( A  .-  B
)  =  ( x 
.-  z ) ) )
1413anbi2d 701 . . . . . . 7  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) )  <->  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
1514rexbidv 2965 . . . . . 6  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
1611, 15anbi12d 708 . . . . 5  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( ( f  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
17162rexbidv 2972 . . . 4  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( f  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
18 eqid 2454 . . . 4  |-  { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) }  =  { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) }
198, 9, 17, 18braba 4753 . . 3  |-  ( ( A  .-  B ) { <. e ,  f
>.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( f  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) }  ( C  .-  D )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
207, 19syl6bb 261 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
21 anass 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P
)  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d ) )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) )  <->  ( (
( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) ) ) )
2221anbi1i 693 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )  /\  x  e.  P
)  <->  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) ) )  /\  x  e.  P ) )
23 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  (cgrG `  G )  =  (cgrG `  G )
245ad5antr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
2524adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  G  e. TarskiG )
26 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  c  e.  P
)
2726adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  c  e.  P
)
28 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  x  e.  P
)
29 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  d  e.  P
)
3029adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  d  e.  P
)
31 legov.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
3231ad5antr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  C  e.  P
)
3332adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  C  e.  P
)
34 simprl 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  z  e.  P
)
35 legov.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
3635ad5antr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  D  e.  P
)
3736adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  D  e.  P
)
38 simprr 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  <" c d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> )
391, 2, 3, 23, 25, 27, 30, 28, 33, 37, 34, 38cgr3swap23 24119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  <" c x d "> (cgrG `  G ) <" C
z D "> )
40 simprl 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  x  e.  ( c I d ) )
4140adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  x  e.  ( c I d ) )
421, 2, 3, 23, 25, 27, 28, 30, 33, 34, 37, 39, 41tgbtwnxfr 24122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  z  e.  ( C I D ) )
43 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) )
441, 2, 3, 23, 25, 27, 28, 30, 33, 34, 37, 39cgr3simp1 24115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  ( c  .-  x )  =  ( C  .-  z ) )
4543, 44eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) )
4642, 45jca 530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )
47 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  (LineG `  G )  =  (LineG `  G )
48 simplr 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  x  e.  P
)
491, 47, 3, 24, 26, 48, 29, 40btwncolg3 24148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  ( d  e.  ( c (LineG `  G ) x )  \/  c  =  x ) )
50 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d ) )
5150eqcomd 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  ( c  .-  d )  =  ( C  .-  D ) )
521, 47, 3, 24, 26, 29, 48, 23, 32, 36, 2, 49, 51lnext 24158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  E. z  e.  P  <" c d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> )
5346, 52reximddv 2930 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
5453adantllr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )  /\  x  e.  P
)  /\  ( x  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  x
) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
5522, 54sylanbr 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) ) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
56 simprr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P
)  /\  ( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )
57 eleq1 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  ( c I d )  <->  z  e.  ( c I d ) ) )
58 oveq2 6278 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
c  .-  x )  =  ( c  .-  z ) )
5958eqeq2d 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( A  .-  B
)  =  ( c 
.-  x )  <->  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )
6057, 59anbi12d 708 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) )  <->  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )
6160cbvrexv 3082 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  P  ( x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) )
6256, 61sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P
)  /\  ( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  (
c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )
6355, 62r19.29a 2996 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P
)  /\  ( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
6463adantl3r 747 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )  /\  c  e.  P
)  /\  d  e.  P )  /\  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )
65 simpr 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
66 oveq1 6277 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  (
c  .-  d )  =  ( x  .-  d ) )
6766eqeq2d 2468 . . . . . . 7  |-  ( c  =  x  ->  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  <->  ( C  .-  D )  =  ( x  .-  d ) ) )
68 oveq1 6277 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  (
c I d )  =  ( x I d ) )
6968eleq2d 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  (
z  e.  ( c I d )  <->  z  e.  ( x I d ) ) )
70 oveq1 6277 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  (
c  .-  z )  =  ( x  .-  z ) )
7170eqeq2d 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  (
( A  .-  B
)  =  ( c 
.-  z )  <->  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) ) )
7269, 71anbi12d 708 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  (
( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) )  <->  ( z  e.  ( x I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
7372rexbidv 2965 . . . . . . 7  |-  ( c  =  x  ->  ( E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) ) ) )
7467, 73anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( c  =  x  ->  (
( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) )  <->  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  d
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
75 oveq2 6278 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  y  ->  (
x  .-  d )  =  ( x  .-  y ) )
7675eqeq2d 2468 . . . . . . 7  |-  ( d  =  y  ->  (
( C  .-  D
)  =  ( x 
.-  d )  <->  ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y ) ) )
77 oveq2 6278 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  y  ->  (
x I d )  =  ( x I y ) )
7877eleq2d 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  y  ->  (
z  e.  ( x I d )  <->  z  e.  ( x I y ) ) )
7978anbi1d 702 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  y  ->  (
( z  e.  ( x I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) )  <->  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
8079rexbidv 2965 . . . . . . 7  |-  ( d  =  y  ->  ( E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) ) ) )
8176, 80anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( d  =  y  ->  (
( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
8274, 81cbvrex2v 3090 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  P  E. d  e.  P  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
8365, 82sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )  ->  E. c  e.  P  E. d  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )
8464, 83r19.29vva 2998 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
8531adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  ->  C  e.  P )
8635adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  ->  D  e.  P )
87 eqidd 2455 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  -> 
( C  .-  D
)  =  ( C 
.-  D ) )
88 simpr 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
89 oveq1 6277 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
x  .-  y )  =  ( C  .-  y ) )
9089eqeq2d 2468 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( C  .-  D
)  =  ( x 
.-  y )  <->  ( C  .-  D )  =  ( C  .-  y ) ) )
91 oveq1 6277 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
x I y )  =  ( C I y ) )
9291eleq2d 2524 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
z  e.  ( x I y )  <->  z  e.  ( C I y ) ) )
93 oveq1 6277 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
x  .-  z )  =  ( C  .-  z ) )
9493eqeq2d 2468 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .-  B
)  =  ( x 
.-  z )  <->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
9592, 94anbi12d 708 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
( z  e.  ( x I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) )  <->  ( z  e.  ( C I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
9695rexbidv 2965 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) ) )
9790, 96anbi12d 708 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  ( ( C  .-  D )  =  ( C  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) ) )
98 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( y  =  D  ->  ( C  .-  y )  =  ( C  .-  D
) )
9998eqeq2d 2468 . . . . . 6  |-  ( y  =  D  ->  (
( C  .-  D
)  =  ( C 
.-  y )  <->  ( C  .-  D )  =  ( C  .-  D ) ) )
100 oveq2 6278 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  D  ->  ( C I y )  =  ( C I D ) )
101100eleq2d 2524 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  D  ->  (
z  e.  ( C I y )  <->  z  e.  ( C I D ) ) )
102101anbi1d 702 . . . . . . 7  |-  ( y  =  D  ->  (
( z  e.  ( C I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) )  <->  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
103102rexbidv 2965 . . . . . 6  |-  ( y  =  D  ->  ( E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) ) )
10499, 103anbi12d 708 . . . . 5  |-  ( y  =  D  ->  (
( ( C  .-  D )  =  ( C  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  <->  ( ( C  .-  D )  =  ( C  .-  D
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) ) )
10597, 104rspc2ev 3218 . . . 4  |-  ( ( C  e.  P  /\  D  e.  P  /\  ( ( C  .-  D )  =  ( C  .-  D )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
10685, 86, 87, 88, 105syl112anc 1230 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
10784, 106impbida 830 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C 
.-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
10820, 107bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805   class class class wbr 4439   {copab 4496   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   <"cs3 12801   Basecbs 14719   distcds 14796  TarskiGcstrkg 24026  Itvcitv 24033  LineGclng 24034  cgrGccgrg 24106  ≤Gcleg 24173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12391  df-word 12529  df-concat 12531  df-s1 12532  df-s2 12807  df-s3 12808  df-trkgc 24045  df-trkgb 24046  df-trkgcb 24047  df-trkg 24051  df-cgrg 24107  df-leg 24174
This theorem is referenced by:  legov2  24177  legid  24178  btwnleg  24179  legtrd  24180  legtri3  24181  legtrid  24182  leg0  24183  mideulem  24314  opphllem3  24325
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