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Theorem legov 23950
Description: Value of the less-than relationship. Definition 5.4 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legov.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
legov.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
legov.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
legov.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
Assertion
Ref Expression
legov  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
Distinct variable groups:    z,  .-    z, A    z, B    z, C    z, D    z, I    z, P    z, G    ph, z
Allowed substitution hint:    .<_ ( z)

Proof of Theorem legov
Dummy variables  c 
d  e  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 legval.d . . . . 5  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 legval.i . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  G )
4 legval.l . . . . 5  |-  .<_  =  (≤G `  G )
5 legval.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
61, 2, 3, 4, 5legval 23949 . . . 4  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) } )
76breqd 4448 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  ( A  .-  B ) { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) }  ( C  .-  D ) ) )
8 ovex 6309 . . . 4  |-  ( A 
.-  B )  e. 
_V
9 ovex 6309 . . . 4  |-  ( C 
.-  D )  e. 
_V
10 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
f  =  ( C 
.-  D ) )
1110eqeq1d 2445 . . . . . 6  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( f  =  ( x  .-  y )  <-> 
( C  .-  D
)  =  ( x 
.-  y ) ) )
12 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
e  =  ( A 
.-  B ) )
1312eqeq1d 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( e  =  ( x  .-  z )  <-> 
( A  .-  B
)  =  ( x 
.-  z ) ) )
1413anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) )  <->  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
1514rexbidv 2954 . . . . . 6  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
1611, 15anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( ( f  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
17162rexbidv 2961 . . . 4  |-  ( ( e  =  ( A 
.-  B )  /\  f  =  ( C  .-  D ) )  -> 
( E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( f  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
18 eqid 2443 . . . 4  |-  { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) }  =  { <. e ,  f >.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
f  =  ( x 
.-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) }
198, 9, 17, 18braba 4754 . . 3  |-  ( ( A  .-  B ) { <. e ,  f
>.  |  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( f  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( x I y )  /\  e  =  ( x  .-  z ) ) ) }  ( C  .-  D )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
207, 19syl6bb 261 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
21 anass 649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P
)  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d ) )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) )  <->  ( (
( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) ) ) )
2221anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )  /\  x  e.  P
)  <->  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) ) )  /\  x  e.  P ) )
23 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  (cgrG `  G )  =  (cgrG `  G )
245ad5antr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  G  e. TarskiG )
26 simp-5r 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  c  e.  P
)
2726adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  c  e.  P
)
28 simpllr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  x  e.  P
)
29 simp-4r 768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  d  e.  P
)
3029adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  d  e.  P
)
31 legov.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
3231ad5antr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  C  e.  P
)
3332adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  C  e.  P
)
34 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  z  e.  P
)
35 legov.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
3635ad5antr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  D  e.  P
)
3736adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  D  e.  P
)
38 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  <" c d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> )
391, 2, 3, 23, 25, 27, 30, 28, 33, 37, 34, 38cgr3swap23 23893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  <" c x d "> (cgrG `  G ) <" C
z D "> )
40 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  x  e.  ( c I d ) )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  x  e.  ( c I d ) )
421, 2, 3, 23, 25, 27, 28, 30, 33, 34, 37, 39, 41tgbtwnxfr 23896 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  z  e.  ( C I D ) )
43 simplrr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) )
441, 2, 3, 23, 25, 27, 28, 30, 33, 34, 37, 39cgr3simp1 23889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  ( c  .-  x )  =  ( C  .-  z ) )
4543, 44eqtrd 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) )
4642, 45jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  /\  ( z  e.  P  /\  <" c
d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> ) )  ->  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )
47 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  (LineG `  G )  =  (LineG `  G )
48 simplr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  x  e.  P
)
491, 47, 3, 24, 26, 48, 29, 40btwncolg3 23922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  ( d  e.  ( c (LineG `  G ) x )  \/  c  =  x ) )
50 simpllr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d ) )
5150eqcomd 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  ( c  .-  d )  =  ( C  .-  D ) )
521, 47, 3, 24, 26, 29, 48, 23, 32, 36, 2, 49, 51lnext 23932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  E. z  e.  P  <" c d x "> (cgrG `  G ) <" C D z "> )
5346, 52reximddv 2919 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
5453adantllr 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
) )  /\  E. z  e.  P  (
z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )  /\  x  e.  P
)  /\  ( x  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  x
) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
5522, 54sylanbr 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P )  /\  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) ) )  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
56 simprr 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P
)  /\  ( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )
57 eleq1 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  ( c I d )  <->  z  e.  ( c I d ) ) )
58 oveq2 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
c  .-  x )  =  ( c  .-  z ) )
5958eqeq2d 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( A  .-  B
)  =  ( c 
.-  x )  <->  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )
6057, 59anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) )  <->  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )
6160cbvrexv 3071 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  P  ( x  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) )
6256, 61sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P
)  /\  ( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  (
c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  x ) ) )
6355, 62r19.29a 2985 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  P )  /\  d  e.  P
)  /\  ( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
6463adantl3r 749 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )  /\  c  e.  P
)  /\  d  e.  P )  /\  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )
65 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
66 oveq1 6288 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  (
c  .-  d )  =  ( x  .-  d ) )
6766eqeq2d 2457 . . . . . . 7  |-  ( c  =  x  ->  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  <->  ( C  .-  D )  =  ( x  .-  d ) ) )
68 oveq1 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  (
c I d )  =  ( x I d ) )
6968eleq2d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  (
z  e.  ( c I d )  <->  z  e.  ( x I d ) ) )
70 oveq1 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  (
c  .-  z )  =  ( x  .-  z ) )
7170eqeq2d 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  (
( A  .-  B
)  =  ( c 
.-  z )  <->  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) ) )
7269, 71anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  (
( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) )  <->  ( z  e.  ( x I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
7372rexbidv 2954 . . . . . . 7  |-  ( c  =  x  ->  ( E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) ) ) )
7467, 73anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( c  =  x  ->  (
( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) )  <->  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  d
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
75 oveq2 6289 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  y  ->  (
x  .-  d )  =  ( x  .-  y ) )
7675eqeq2d 2457 . . . . . . 7  |-  ( d  =  y  ->  (
( C  .-  D
)  =  ( x 
.-  d )  <->  ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y ) ) )
77 oveq2 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  y  ->  (
x I d )  =  ( x I y ) )
7877eleq2d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  y  ->  (
z  e.  ( x I d )  <->  z  e.  ( x I y ) ) )
7978anbi1d 704 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  y  ->  (
( z  e.  ( x I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) )  <->  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
8079rexbidv 2954 . . . . . . 7  |-  ( d  =  y  ->  ( E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) ) ) )
8176, 80anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( d  =  y  ->  (
( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) ) )
8274, 81cbvrex2v 3079 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  P  E. d  e.  P  (
( C  .-  D
)  =  ( c 
.-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A  .-  B )  =  ( c  .-  z ) ) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
8365, 82sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )  ->  E. c  e.  P  E. d  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( c  .-  d )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( c I d )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( c  .-  z
) ) ) )
8464, 83r19.29_2a 2987 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
8531adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  ->  C  e.  P )
8635adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  ->  D  e.  P )
87 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  -> 
( C  .-  D
)  =  ( C 
.-  D ) )
88 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  ->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
89 oveq1 6288 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
x  .-  y )  =  ( C  .-  y ) )
9089eqeq2d 2457 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( C  .-  D
)  =  ( x 
.-  y )  <->  ( C  .-  D )  =  ( C  .-  y ) ) )
91 oveq1 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
x I y )  =  ( C I y ) )
9291eleq2d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
z  e.  ( x I y )  <->  z  e.  ( C I y ) ) )
93 oveq1 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
x  .-  z )  =  ( C  .-  z ) )
9493eqeq2d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .-  B
)  =  ( x 
.-  z )  <->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) )
9592, 94anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
( z  e.  ( x I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) )  <->  ( z  e.  ( C I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
9695rexbidv 2954 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( x  .-  z ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) ) )
9790, 96anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  ( ( C  .-  D )  =  ( C  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) ) )
98 oveq2 6289 . . . . . . 7  |-  ( y  =  D  ->  ( C  .-  y )  =  ( C  .-  D
) )
9998eqeq2d 2457 . . . . . 6  |-  ( y  =  D  ->  (
( C  .-  D
)  =  ( C 
.-  y )  <->  ( C  .-  D )  =  ( C  .-  D ) ) )
100 oveq2 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  D  ->  ( C I y )  =  ( C I D ) )
101100eleq2d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  D  ->  (
z  e.  ( C I y )  <->  z  e.  ( C I D ) ) )
102101anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( y  =  D  ->  (
( z  e.  ( C I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) )  <->  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
103102rexbidv 2954 . . . . . 6  |-  ( y  =  D  ->  ( E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I y )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  z ) ) ) )
10499, 103anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( y  =  D  ->  (
( ( C  .-  D )  =  ( C  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  <->  ( ( C  .-  D )  =  ( C  .-  D
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) ) )
10597, 104rspc2ev 3207 . . . 4  |-  ( ( C  e.  P  /\  D  e.  P  /\  ( ( C  .-  D )  =  ( C  .-  D )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
10685, 86, 87, 88, 105syl112anc 1233 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C  .-  D )  =  ( x  .-  y )  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) ) )
10784, 106impbida 832 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( ( C 
.-  D )  =  ( x  .-  y
)  /\  E. z  e.  P  ( z  e.  ( x I y )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( x  .-  z
) ) )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
10820, 107bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. z  e.  P  ( z  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  z
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   E.wrex 2794   class class class wbr 4437   {copab 4494   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   <"cs3 12789   Basecbs 14614   distcds 14688  TarskiGcstrkg 23803  Itvcitv 23810  LineGclng 23811  cgrGccgrg 23880  ≤Gcleg 23947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-hash 12388  df-word 12524  df-concat 12526  df-s1 12527  df-s2 12795  df-s3 12796  df-trkgc 23822  df-trkgb 23823  df-trkgcb 23824  df-trkg 23828  df-cgrg 23881  df-leg 23948
This theorem is referenced by:  legov2  23951  legid  23952  btwnleg  23953  legtrd  23954  legtri3  23955  legtrid  23956  leg0  23957  mideulem  24088  opphllem3  24099
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