MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legid Structured version   Unicode version

Theorem legid 23030
Description: Reflexivity of the less-than relationship. Proposition 5.7 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
legid.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
Assertion
Ref Expression
legid  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  .<_  ( A  .-  B ) )

Proof of Theorem legid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legid.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
2 legval.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
3 legval.d . . . 4  |-  .-  =  ( dist `  G )
4 legval.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
5 legval.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
6 legid.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
72, 3, 4, 5, 6, 1tgbtwntriv2 22953 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I B ) )
8 eqidd 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  =  ( A 
.-  B ) )
9 eleq1 2503 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  ( A I B )  <->  B  e.  ( A I B ) ) )
10 oveq2 6111 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  .-  x )  =  ( A  .-  B
) )
1110eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  .-  B
)  =  ( A 
.-  x )  <->  ( A  .-  B )  =  ( A  .-  B ) ) )
129, 11anbi12d 710 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  B )  =  ( A  .-  x ) )  <->  ( B  e.  ( A I B )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( A  .-  B
) ) ) )
1312rspcev 3085 . . 3  |-  ( ( B  e.  P  /\  ( B  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  B )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( A I B )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( A  .-  x
) ) )
141, 7, 8, 13syl12anc 1216 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  B )  =  ( A  .-  x ) ) )
15 legval.l . . 3  |-  .<_  =  (≤G `  G )
162, 3, 4, 15, 5, 6, 1, 6, 1legov 23028 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( A 
.-  B )  <->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( A I B )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( A  .-  x
) ) ) )
1714, 16mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  .<_  ( A  .-  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2728   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186   distcds 14259  TarskiGcstrkg 22901  Itvcitv 22909  ≤Gcleg 23025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-pm 7229  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-hash 12116  df-word 12241  df-concat 12243  df-s1 12244  df-s2 12487  df-s3 12488  df-trkgc 22921  df-trkgb 22922  df-trkgcb 22923  df-trkg 22928  df-cgrg 22976  df-leg 23026
This theorem is referenced by:  legtrid  23034
  Copyright terms: Public domain W3C validator