MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leg0 Structured version   Unicode version

Theorem leg0 24105
Description: Degenerated (zero-length) segments are minimal. Proposition 5.11 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
legid.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
legtrd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
legtrd.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
Assertion
Ref Expression
leg0  |-  ( ph  ->  ( A  .-  A
)  .<_  ( C  .-  D ) )

Proof of Theorem leg0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legtrd.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
2 legval.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
3 legval.d . . . 4  |-  .-  =  ( dist `  G )
4 legval.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
5 legval.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
6 legtrd.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
72, 3, 4, 5, 1, 6tgbtwntriv1 24008 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( C I D ) )
8 legid.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
92, 3, 4, 5, 8, 1tgcgrtriv 24001 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .-  A
)  =  ( C 
.-  C ) )
10 eleq1 2529 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  ( C I D )  <->  C  e.  ( C I D ) ) )
11 oveq2 6304 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( C  .-  x )  =  ( C  .-  C
) )
1211eqeq2d 2471 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .-  A
)  =  ( C 
.-  x )  <->  ( A  .-  A )  =  ( C  .-  C ) ) )
1310, 12anbi12d 710 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  A )  =  ( C  .-  x ) )  <->  ( C  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  A )  =  ( C  .-  C
) ) ) )
1413rspcev 3210 . . 3  |-  ( ( C  e.  P  /\  ( C  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  A )  =  ( C  .-  C ) ) )  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  A )  =  ( C  .-  x
) ) )
151, 7, 9, 14syl12anc 1226 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  A )  =  ( C  .-  x ) ) )
16 legval.l . . 3  |-  .<_  =  (≤G `  G )
172, 3, 4, 16, 5, 8, 8, 1, 6legov 24098 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  A )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  A )  =  ( C  .-  x
) ) ) )
1815, 17mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( A  .-  A
)  .<_  ( C  .-  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   distcds 14721  TarskiGcstrkg 23951  Itvcitv 23958  ≤Gcleg 24095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-word 12546  df-concat 12548  df-s1 12549  df-s2 12825  df-s3 12826  df-trkgc 23970  df-trkgb 23971  df-trkgcb 23972  df-trkg 23976  df-cgrg 24029  df-leg 24096
This theorem is referenced by:  legeq  24106
  Copyright terms: Public domain W3C validator