MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lefld Structured version   Unicode version

Theorem lefld 15709
Description: The field of the 'less or equal to' relationship on the extended real. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
lefld  |-  RR*  =  U. U.  <_

Proof of Theorem lefld
StepHypRef Expression
1 lerel 9647 . . 3  |-  Rel  <_
2 relfld 5531 . . 3  |-  ( Rel 
<_  ->  U. U.  <_  =  ( dom  <_  u.  ran  <_  ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  U. U.  <_  =  ( dom  <_  u. 
ran  <_  )
4 ledm 15707 . . 3  |-  RR*  =  dom  <_
5 lern 15708 . . 3  |-  RR*  =  ran  <_
64, 5uneq12i 3656 . 2  |-  ( RR*  u. 
RR* )  =  ( dom  <_  u.  ran  <_  )
7 unidm 3647 . 2  |-  ( RR*  u. 
RR* )  =  RR*
83, 6, 73eqtr2ri 2503 1  |-  RR*  =  U. U.  <_
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    u. cun 3474   U.cuni 4245   dom cdm 4999   ran crn 5000   Rel wrel 5004   RR*cxr 9623    <_ cle 9625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630
This theorem is referenced by:  letsr  15710
  Copyright terms: Public domain W3C validator