MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lefld Structured version   Unicode version

Theorem lefld 16058
Description: The field of the 'less or equal to' relationship on the extended real. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
lefld  |-  RR*  =  U. U.  <_

Proof of Theorem lefld
StepHypRef Expression
1 lerel 9640 . . 3  |-  Rel  <_
2 relfld 5516 . . 3  |-  ( Rel 
<_  ->  U. U.  <_  =  ( dom  <_  u.  ran  <_  ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  U. U.  <_  =  ( dom  <_  u. 
ran  <_  )
4 ledm 16056 . . 3  |-  RR*  =  dom  <_
5 lern 16057 . . 3  |-  RR*  =  ran  <_
64, 5uneq12i 3642 . 2  |-  ( RR*  u. 
RR* )  =  ( dom  <_  u.  ran  <_  )
7 unidm 3633 . 2  |-  ( RR*  u. 
RR* )  =  RR*
83, 6, 73eqtr2ri 2490 1  |-  RR*  =  U. U.  <_
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1398    u. cun 3459   U.cuni 4235   dom cdm 4988   ran crn 4989   Rel wrel 4993   RR*cxr 9616    <_ cle 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623
This theorem is referenced by:  letsr  16059
  Copyright terms: Public domain W3C validator