MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lefld Structured version   Unicode version

Theorem lefld 16460
Description: The field of the 'less or equal to' relationship on the extended real. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
lefld  |-  RR*  =  U. U.  <_

Proof of Theorem lefld
StepHypRef Expression
1 lerel 9699 . . 3  |-  Rel  <_
2 relfld 5377 . . 3  |-  ( Rel 
<_  ->  U. U.  <_  =  ( dom  <_  u.  ran  <_  ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  U. U.  <_  =  ( dom  <_  u. 
ran  <_  )
4 ledm 16458 . . 3  |-  RR*  =  dom  <_
5 lern 16459 . . 3  |-  RR*  =  ran  <_
64, 5uneq12i 3618 . 2  |-  ( RR*  u. 
RR* )  =  ( dom  <_  u.  ran  <_  )
7 unidm 3609 . 2  |-  ( RR*  u. 
RR* )  =  RR*
83, 6, 73eqtr2ri 2458 1  |-  RR*  =  U. U.  <_
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    u. cun 3434   U.cuni 4216   dom cdm 4850   ran crn 4851   Rel wrel 4855   RR*cxr 9675    <_ cle 9677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682
This theorem is referenced by:  letsr  16461
  Copyright terms: Public domain W3C validator