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Theorem leexp2r 12022
Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by Paul Chapman, 14-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2r  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) )

Proof of Theorem leexp2r
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6198 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  M  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ M
) )
21breq1d 4400 . . . . . . 7  |-  ( j  =  M  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( A ^ M )  <->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ M ) ) )
32imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( A ^ M ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ M ) ) ) )
4 oveq2 6198 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ k
) )
54breq1d 4400 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( A ^ M )  <->  ( A ^ k )  <_ 
( A ^ M
) ) )
65imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( A ^ M ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
k )  <_  ( A ^ M ) ) ) )
7 oveq2 6198 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )
87breq1d 4400 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( A ^ M )  <->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( A ^ M
) ) )
98imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( A ^ M ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  <_  ( A ^ M ) ) ) )
10 oveq2 6198 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  N  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ N
) )
1110breq1d 4400 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( A ^ M )  <->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) ) )
1211imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( A ^ M ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) ) ) )
13 reexpcl 11983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( A ^ M
)  e.  RR )
1413adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ M )  e.  RR )
1514leidd 10007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ M ) )
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ M ) ) )
17 simprll 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  A  e.  RR )
18 1red 9502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
19 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
20 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
21 eluznn0 11025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
2219, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
23 reexpcl 11983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  RR )
2417, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ k )  e.  RR )
25 simprrl 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  0  <_  A )
26 expge0 12001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  0  <_  ( A ^ k
) )
2717, 22, 25, 26syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  0  <_  ( A ^ k
) )
28 simprrr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  A  <_  1 )
2917, 18, 24, 27, 28lemul2ad 10374 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  (
( A ^ k
)  x.  A )  <_  ( ( A ^ k )  x.  1 ) )
3017recnd 9513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
31 expp1 11973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k )  x.  A ) )
3230, 22, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^
k )  x.  A
) )
3324recnd 9513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ k )  e.  CC )
3433mulid1d 9504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  (
( A ^ k
)  x.  1 )  =  ( A ^
k ) )
3534eqcomd 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ k )  =  ( ( A ^
k )  x.  1 ) )
3629, 32, 353brtr4d 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( A ^ k
) )
37 peano2nn0 10721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
3822, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN0 )
39 reexpcl 11983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
k  +  1 ) )  e.  RR )
4017, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR )
4113ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ M )  e.  RR )
42 letr 9569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A ^ (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( A ^ k )  e.  RR  /\  ( A ^ M )  e.  RR )  ->  (
( ( A ^
( k  +  1 ) )  <_  ( A ^ k )  /\  ( A ^ k )  <_  ( A ^ M ) )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  <_  ( A ^ M ) ) )
4340, 24, 41, 42syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  (
( ( A ^
( k  +  1 ) )  <_  ( A ^ k )  /\  ( A ^ k )  <_  ( A ^ M ) )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  <_  ( A ^ M ) ) )
4436, 43mpand 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  (
( A ^ k
)  <_  ( A ^ M )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( A ^ M
) ) )
4544ex 434 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( ( A ^ k )  <_ 
( A ^ M
)  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( A ^ M
) ) ) )
4645a2d 26 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ( A  e.  RR  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
k )  <_  ( A ^ M ) )  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( A ^ M
) ) ) )
473, 6, 9, 12, 16, 46uzind4 11013 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) ) )
4847expd 436 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <_  1 )  ->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) ) ) )
4948com12 31 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  M )  -> 
( ( 0  <_  A  /\  A  <_  1
)  ->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) ) ) )
50493impia 1185 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
0  <_  A  /\  A  <_  1 )  -> 
( A ^ N
)  <_  ( A ^ M ) ) )
5150imp 429 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4390   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384    + caddc 9386    x. cmul 9388    <_ cle 9520   NN0cn0 10680   ZZcz 10747   ZZ>=cuz 10962   ^cexp 11966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-seq 11908  df-exp 11967
This theorem is referenced by:  exple1  12024  leexp2rd  12142
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