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Theorem leexp2r 12187
Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by Paul Chapman, 14-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2r  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) )

Proof of Theorem leexp2r
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6290 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  M  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ M
) )
21breq1d 4457 . . . . . . 7  |-  ( j  =  M  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( A ^ M )  <->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ M ) ) )
32imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( A ^ M ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ M ) ) ) )
4 oveq2 6290 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ k
) )
54breq1d 4457 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( A ^ M )  <->  ( A ^ k )  <_ 
( A ^ M
) ) )
65imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( A ^ M ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
k )  <_  ( A ^ M ) ) ) )
7 oveq2 6290 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )
87breq1d 4457 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( A ^ M )  <->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( A ^ M
) ) )
98imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( A ^ M ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  <_  ( A ^ M ) ) ) )
10 oveq2 6290 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  N  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ N
) )
1110breq1d 4457 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( A ^ M )  <->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) ) )
1211imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( A ^ M ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) ) ) )
13 reexpcl 12147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( A ^ M
)  e.  RR )
1413adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ M )  e.  RR )
1514leidd 10115 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ M ) )
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ M ) ) )
17 simprll 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  A  e.  RR )
18 1red 9607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
19 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
20 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
21 eluznn0 11147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
2219, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
23 reexpcl 12147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  RR )
2417, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ k )  e.  RR )
25 simprrl 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  0  <_  A )
26 expge0 12166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  0  <_  ( A ^ k
) )
2717, 22, 25, 26syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  0  <_  ( A ^ k
) )
28 simprrr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  A  <_  1 )
2917, 18, 24, 27, 28lemul2ad 10482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  (
( A ^ k
)  x.  A )  <_  ( ( A ^ k )  x.  1 ) )
3017recnd 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
31 expp1 12137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k )  x.  A ) )
3230, 22, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^
k )  x.  A
) )
3324recnd 9618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ k )  e.  CC )
3433mulid1d 9609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  (
( A ^ k
)  x.  1 )  =  ( A ^
k ) )
3534eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ k )  =  ( ( A ^
k )  x.  1 ) )
3629, 32, 353brtr4d 4477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( A ^ k
) )
37 peano2nn0 10832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
3822, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN0 )
39 reexpcl 12147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
k  +  1 ) )  e.  RR )
4017, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR )
4113ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ M )  e.  RR )
42 letr 9674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A ^ (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( A ^ k )  e.  RR  /\  ( A ^ M )  e.  RR )  ->  (
( ( A ^
( k  +  1 ) )  <_  ( A ^ k )  /\  ( A ^ k )  <_  ( A ^ M ) )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  <_  ( A ^ M ) ) )
4340, 24, 41, 42syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  (
( ( A ^
( k  +  1 ) )  <_  ( A ^ k )  /\  ( A ^ k )  <_  ( A ^ M ) )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  <_  ( A ^ M ) ) )
4436, 43mpand 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  (
( A ^ k
)  <_  ( A ^ M )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( A ^ M
) ) )
4544ex 434 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( ( A ^ k )  <_ 
( A ^ M
)  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( A ^ M
) ) ) )
4645a2d 26 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ( A  e.  RR  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
k )  <_  ( A ^ M ) )  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( A ^ M
) ) ) )
473, 6, 9, 12, 16, 46uzind4 11135 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) ) )
4847expd 436 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <_  1 )  ->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) ) ) )
4948com12 31 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  M )  -> 
( ( 0  <_  A  /\  A  <_  1
)  ->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) ) ) )
50493impia 1193 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
0  <_  A  /\  A  <_  1 )  -> 
( A ^ N
)  <_  ( A ^ M ) ) )
5150imp 429 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    <_ cle 9625   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ^cexp 12130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-seq 12072  df-exp 12131
This theorem is referenced by:  exple1  12189  leexp2rd  12307
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