MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leexp2d Structured version   Unicode version

Theorem leexp2d 12322
Description: Ordering law for exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
resqcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltexp2d.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ltexp2d.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
ltexp2d.4  |-  ( ph  ->  1  <  A )
Assertion
Ref Expression
leexp2d  |-  ( ph  ->  ( M  <_  N  <->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ N ) ) )

Proof of Theorem leexp2d
StepHypRef Expression
1 resqcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltexp2d.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 ltexp2d.3 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
4 ltexp2d.4 . 2  |-  ( ph  ->  1  <  A )
5 leexp2 12202 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  ( M  <_  N 
<->  ( A ^ M
)  <_  ( A ^ N ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl31anc 1229 1  |-  ( ph  ->  ( M  <_  N  <->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   RRcr 9480   1c1 9482    < clt 9617    <_ cle 9618   ZZcz 10860   ^cexp 12148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-seq 12090  df-exp 12149
This theorem is referenced by:  pcpre1  14450  pcidlem  14479  gexexlem  17057  dyadss  22169  logbpw2m1  33442  blenpw2m1  33454
  Copyright terms: Public domain W3C validator