MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leexp2a Structured version   Unicode version

Theorem leexp2a 12185
Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2a  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ N ) )

Proof of Theorem leexp2a
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  RR )
2 0red 9593 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  e.  RR )
3 1red 9607 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  e.  RR )
4 0lt1 10071 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
54a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  <  1 )
6 simp2 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  <_  A )
72, 3, 1, 5, 6ltletrd 9737 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  <  A )
81, 7elrpd 11250 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  RR+ )
9 eluzel2 11083 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
1093ad2ant3 1019 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ZZ )
11 rpexpcl 12149 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A ^ M )  e.  RR+ )
128, 10, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  e.  RR+ )
1312rpred 11252 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  e.  RR )
1413recnd 9618 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  e.  CC )
1514mulid2d 9610 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  x.  ( A ^ M ) )  =  ( A ^ M
) )
16 uznn0sub 11109 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
17163ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
18 expge1 12167 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0  /\  1  <_  A )  -> 
1  <_  ( A ^ ( N  -  M ) ) )
191, 17, 6, 18syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  <_  ( A ^ ( N  -  M ) ) )
201recnd 9618 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  CC )
217gt0ne0d 10113 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  =/=  0 )
22 eluzelz 11087 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
23223ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  ZZ )
24 expsub 12177 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( A ^ ( N  -  M )
)  =  ( ( A ^ N )  /  ( A ^ M ) ) )
2520, 21, 23, 10, 24syl22anc 1229 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( N  -  M ) )  =  ( ( A ^ N )  /  ( A ^ M ) ) )
2619, 25breqtrd 4471 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  <_  ( ( A ^ N
)  /  ( A ^ M ) ) )
27 rpexpcl 12149 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
288, 23, 27syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
2928rpred 11252 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ N )  e.  RR )
303, 29, 12lemuldivd 11297 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
1  x.  ( A ^ M ) )  <_  ( A ^ N )  <->  1  <_  ( ( A ^ N
)  /  ( A ^ M ) ) ) )
3126, 30mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  x.  ( A ^ M ) )  <_ 
( A ^ N
) )
3215, 31eqbrtrrd 4469 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    x. cmul 9493    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801    / cdiv 10202   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   ^cexp 12130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-seq 12072  df-exp 12131
This theorem is referenced by:  expnlbnd2  12261  digit1  12264  leexp2ad  12306  faclbnd4lem1  12335  climcndslem1  13620  climcndslem2  13621  ef01bndlem  13776  aaliou3lem2  22473
  Copyright terms: Public domain W3C validator