MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leexp2a Structured version   Unicode version

Theorem leexp2a 11924
Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2a  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ N ) )

Proof of Theorem leexp2a
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  RR )
2 0red 9392 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  e.  RR )
3 1red 9406 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  e.  RR )
4 0lt1 9867 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
54a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  <  1 )
6 simp2 989 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  <_  A )
72, 3, 1, 5, 6ltletrd 9536 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  <  A )
81, 7elrpd 11030 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  RR+ )
9 eluzel2 10871 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
1093ad2ant3 1011 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ZZ )
11 rpexpcl 11889 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A ^ M )  e.  RR+ )
128, 10, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  e.  RR+ )
1312rpred 11032 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  e.  RR )
1413recnd 9417 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  e.  CC )
1514mulid2d 9409 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  x.  ( A ^ M ) )  =  ( A ^ M
) )
16 uznn0sub 10897 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
17163ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
18 expge1 11906 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0  /\  1  <_  A )  -> 
1  <_  ( A ^ ( N  -  M ) ) )
191, 17, 6, 18syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  <_  ( A ^ ( N  -  M ) ) )
201recnd 9417 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  CC )
217gt0ne0d 9909 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  =/=  0 )
22 eluzelz 10875 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
23223ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  ZZ )
24 expsub 11916 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( A ^ ( N  -  M )
)  =  ( ( A ^ N )  /  ( A ^ M ) ) )
2520, 21, 23, 10, 24syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( N  -  M ) )  =  ( ( A ^ N )  /  ( A ^ M ) ) )
2619, 25breqtrd 4321 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  <_  ( ( A ^ N
)  /  ( A ^ M ) ) )
27 rpexpcl 11889 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
288, 23, 27syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
2928rpred 11032 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ N )  e.  RR )
303, 29, 12lemuldivd 11077 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
1  x.  ( A ^ M ) )  <_  ( A ^ N )  <->  1  <_  ( ( A ^ N
)  /  ( A ^ M ) ) ) )
3126, 30mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  x.  ( A ^ M ) )  <_ 
( A ^ N
) )
3215, 31eqbrtrrd 4319 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    x. cmul 9292    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600    / cdiv 9998   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   RR+crp 10996   ^cexp 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-seq 11812  df-exp 11871
This theorem is referenced by:  expnlbnd2  12000  digit1  12003  leexp2ad  12045  faclbnd4lem1  12074  climcndslem1  13317  climcndslem2  13318  ef01bndlem  13473  aaliou3lem2  21814
  Copyright terms: Public domain W3C validator