MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leexp2a Structured version   Unicode version

Theorem leexp2a 12200
Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2a  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ N ) )

Proof of Theorem leexp2a
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  RR )
2 0red 9600 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  e.  RR )
3 1red 9614 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  e.  RR )
4 0lt1 10081 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
54a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  <  1 )
6 simp2 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  <_  A )
72, 3, 1, 5, 6ltletrd 9745 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  <  A )
81, 7elrpd 11263 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  RR+ )
9 eluzel2 11095 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
1093ad2ant3 1020 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ZZ )
11 rpexpcl 12164 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A ^ M )  e.  RR+ )
128, 10, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  e.  RR+ )
1312rpred 11265 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  e.  RR )
1413recnd 9625 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  e.  CC )
1514mulid2d 9617 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  x.  ( A ^ M ) )  =  ( A ^ M
) )
16 uznn0sub 11121 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
17163ad2ant3 1020 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
18 expge1 12182 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0  /\  1  <_  A )  -> 
1  <_  ( A ^ ( N  -  M ) ) )
191, 17, 6, 18syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  <_  ( A ^ ( N  -  M ) ) )
201recnd 9625 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  CC )
217gt0ne0d 10123 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  =/=  0 )
22 eluzelz 11099 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
23223ad2ant3 1020 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  ZZ )
24 expsub 12192 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( A ^ ( N  -  M )
)  =  ( ( A ^ N )  /  ( A ^ M ) ) )
2520, 21, 23, 10, 24syl22anc 1230 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( N  -  M ) )  =  ( ( A ^ N )  /  ( A ^ M ) ) )
2619, 25breqtrd 4461 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  <_  ( ( A ^ N
)  /  ( A ^ M ) ) )
27 rpexpcl 12164 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
288, 23, 27syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
2928rpred 11265 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ N )  e.  RR )
303, 29, 12lemuldivd 11310 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
1  x.  ( A ^ M ) )  <_  ( A ^ N )  <->  1  <_  ( ( A ^ N
)  /  ( A ^ M ) ) ) )
3126, 30mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  x.  ( A ^ M ) )  <_ 
( A ^ N
) )
3215, 31eqbrtrrd 4459 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    x. cmul 9500    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810    / cdiv 10212   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090   RR+crp 11229   ^cexp 12145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-rp 11230  df-seq 12087  df-exp 12146
This theorem is referenced by:  expnlbnd2  12276  digit1  12279  leexp2ad  12321  faclbnd4lem1  12350  climcndslem1  13640  climcndslem2  13641  ef01bndlem  13796  aaliou3lem2  22611
  Copyright terms: Public domain W3C validator