MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leexp2 Structured version   Unicode version

Theorem leexp2 12039
Description: Ordering law for exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
leexp2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  ( M  <_  N 
<->  ( A ^ M
)  <_  ( A ^ N ) ) )

Proof of Theorem leexp2
StepHypRef Expression
1 3ancomb 974 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
2 ltexp2 12038 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  ( N  < 
M  <->  ( A ^ N )  <  ( A ^ M ) ) )
31, 2sylanb 472 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  ( N  < 
M  <->  ( A ^ N )  <  ( A ^ M ) ) )
43notbid 294 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  ( -.  N  <  M  <->  -.  ( A ^ N )  <  ( A ^ M ) ) )
5 simpl2 992 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  M  e.  ZZ )
6 simpl3 993 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  N  e.  ZZ )
7 zre 10765 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
8 zre 10765 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
9 lenlt 9568 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
107, 8, 9syl2an 477 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
115, 6, 10syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  ( M  <_  N 
<->  -.  N  <  M
) )
12 simpl1 991 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  A  e.  RR )
13 0red 9502 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  0  e.  RR )
14 1red 9516 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  1  e.  RR )
15 0lt1 9977 . . . . . . 7  |-  0  <  1
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  0  <  1
)
17 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  1  <  A
)
1813, 14, 12, 16, 17lttrd 9647 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  0  <  A
)
1918gt0ne0d 10019 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  A  =/=  0
)
20 reexpclz 12006 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A ^ M )  e.  RR )
2112, 19, 5, 20syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  ( A ^ M )  e.  RR )
22 reexpclz 12006 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR )
2312, 19, 6, 22syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  ( A ^ N )  e.  RR )
2421, 23lenltd 9635 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  ( ( A ^ M )  <_ 
( A ^ N
)  <->  -.  ( A ^ N )  <  ( A ^ M ) ) )
254, 11, 243bitr4d 285 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  ( M  <_  N 
<->  ( A ^ M
)  <_  ( A ^ N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758    =/= wne 2648   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   RRcr 9396   0cc0 9397   1c1 9398    < clt 9533    <_ cle 9534   ZZcz 10761   ^cexp 11986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-rp 11107  df-seq 11928  df-exp 11987
This theorem is referenced by:  leexp2d  12159
  Copyright terms: Public domain W3C validator