MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leexp1a Unicode version

Theorem leexp1a 11393
Description: Weak mantissa ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 18-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
leexp1a  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) )

Proof of Theorem leexp1a
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ 0 ) )
2 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  ( B ^ j )  =  ( B ^ 0 ) )
31, 2breq12d 4185 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( B ^ j )  <->  ( A ^ 0 )  <_ 
( B ^ 0 ) ) )
43imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( B ^ j ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
0 )  <_  ( B ^ 0 ) ) ) )
5 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ k
) )
6 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( B ^ j )  =  ( B ^ k
) )
75, 6breq12d 4185 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( B ^ j )  <->  ( A ^ k )  <_ 
( B ^ k
) ) )
87imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( B ^ j ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) ) ) )
9 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )
10 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( B ^ j )  =  ( B ^ (
k  +  1 ) ) )
119, 10breq12d 4185 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( B ^ j )  <->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( B ^ (
k  +  1 ) ) ) )
1211imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( B ^ j ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  <_  ( B ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
13 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ N
) )
14 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  ( B ^ j )  =  ( B ^ N
) )
1513, 14breq12d 4185 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( B ^ j )  <->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) ) )
1615imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( B ^ j ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) ) ) )
17 recn 9036 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
18 recn 9036 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
19 exp0 11341 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
2019adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
21 1le1 9606 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  1
2220, 21syl6eqbr 4209 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 0 )  <_  1 )
23 exp0 11341 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 0 )  =  1 )
2423adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 0 )  =  1 )
2522, 24breqtrrd 4198 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 0 )  <_  ( B ^ 0 ) )
2617, 18, 25syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A ^ 0 )  <_  ( B ^ 0 ) )
2726adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  ( A ^ 0 )  <_ 
( B ^ 0 ) )
28 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )
29 reexpcl 11353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  RR )
3028, 29sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A ^
k )  e.  RR )
31 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
32 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
33 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  A
)
34 expge0 11371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  0  <_  ( A ^ k
) )
3531, 32, 33, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( A ^ k ) )
36 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  B  e.  RR )
37 reexpcl 11353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ k
)  e.  RR )
3836, 37sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B ^
k )  e.  RR )
3930, 35, 38jca31 521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( ( A ^ k )  e.  RR  /\  0  <_  ( A ^ k
) )  /\  ( B ^ k )  e.  RR ) )
40 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
41 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  <_  A  /\  A  <_  B )  -> 
0  <_  A )
4240, 41anim12i 550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
4342adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
44 simpllr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  RR )
4539, 43, 44jca32 522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( A ^ k
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A ^
k ) )  /\  ( B ^ k )  e.  RR )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR ) ) )
4645adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( ( ( ( A ^ k
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A ^
k ) )  /\  ( B ^ k )  e.  RR )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR ) ) )
47 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )
48 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  <_  B
)
4948adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  A  <_  B
)
5047, 49jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( ( A ^ k )  <_ 
( B ^ k
)  /\  A  <_  B ) )
51 lemul12a 9824 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A ^ k )  e.  RR  /\  0  <_ 
( A ^ k
) )  /\  ( B ^ k )  e.  RR )  /\  (
( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR ) )  ->  (
( ( A ^
k )  <_  ( B ^ k )  /\  A  <_  B )  -> 
( ( A ^
k )  x.  A
)  <_  ( ( B ^ k )  x.  B ) ) )
5246, 50, 51sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  A )  <_  (
( B ^ k
)  x.  B ) )
53 expp1 11343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k )  x.  A ) )
5417, 53sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k )  x.  A ) )
5554adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k
)  x.  A ) )
5655adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k
)  x.  A ) )
5756adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k
)  x.  A ) )
58 expp1 11343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( B ^ k )  x.  B ) )
5918, 58sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( B ^ k )  x.  B ) )
6059adantll 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( B ^ k
)  x.  B ) )
6160adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( B ^ k
)  x.  B ) )
6261adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( B ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( B ^ k
)  x.  B ) )
6352, 57, 623brtr4d 4202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  <_  ( B ^ ( k  +  1 ) ) )
6463ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A ^ k )  <_ 
( B ^ k
)  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( B ^ (
k  +  1 ) ) ) )
6564expcom 425 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  (
( A ^ k
)  <_  ( B ^ k )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  <_  ( B ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
6665a2d 24 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( B ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )
674, 8, 12, 16, 27, 66nn0ind 10322 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  ( A ^ N )  <_ 
( B ^ N
) ) )
6867exp4c 592 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) ) ) ) )
6968com3l 77 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) ) ) ) )
70693imp1 1166 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    <_ cle 9077   NN0cn0 10177   ^cexp 11337
This theorem is referenced by:  expubnd  11395  facubnd  11546  pserulm  20291  logexprlim  20962  ostth2lem2  21281  ostth3  21285  stoweidlem1  27617  stoweidlem24  27640
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-seq 11279  df-exp 11338
  Copyright terms: Public domain W3C validator