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Theorem leexp1a 11927
Description: Weak mantissa ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 18-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
leexp1a  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) )

Proof of Theorem leexp1a
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ 0 ) )
2 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  ( B ^ j )  =  ( B ^ 0 ) )
31, 2breq12d 4310 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( B ^ j )  <->  ( A ^ 0 )  <_ 
( B ^ 0 ) ) )
43imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( B ^ j ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
0 )  <_  ( B ^ 0 ) ) ) )
5 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ k
) )
6 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( B ^ j )  =  ( B ^ k
) )
75, 6breq12d 4310 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( B ^ j )  <->  ( A ^ k )  <_ 
( B ^ k
) ) )
87imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( B ^ j ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) ) ) )
9 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )
10 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( B ^ j )  =  ( B ^ (
k  +  1 ) ) )
119, 10breq12d 4310 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( B ^ j )  <->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( B ^ (
k  +  1 ) ) ) )
1211imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( B ^ j ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  <_  ( B ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
13 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ N
) )
14 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  ( B ^ j )  =  ( B ^ N
) )
1513, 14breq12d 4310 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( B ^ j )  <->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) ) )
1615imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( B ^ j ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) ) ) )
17 recn 9377 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
18 recn 9377 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
19 exp0 11874 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
2019adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
21 1le1 9969 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  1
2220, 21syl6eqbr 4334 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 0 )  <_  1 )
23 exp0 11874 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 0 )  =  1 )
2423adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 0 )  =  1 )
2522, 24breqtrrd 4323 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 0 )  <_  ( B ^ 0 ) )
2617, 18, 25syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A ^ 0 )  <_  ( B ^ 0 ) )
2726adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  ( A ^ 0 )  <_ 
( B ^ 0 ) )
28 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )
29 reexpcl 11887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  RR )
3028, 29sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A ^
k )  e.  RR )
31 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
33 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  A
)
34 expge0 11905 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  0  <_  ( A ^ k
) )
3531, 32, 33, 34syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( A ^ k ) )
36 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  B  e.  RR )
37 reexpcl 11887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ k
)  e.  RR )
3836, 37sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B ^
k )  e.  RR )
3930, 35, 38jca31 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( ( A ^ k )  e.  RR  /\  0  <_  ( A ^ k
) )  /\  ( B ^ k )  e.  RR ) )
40 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
41 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  <_  A  /\  A  <_  B )  -> 
0  <_  A )
4240, 41anim12i 566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
44 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  RR )
4539, 43, 44jca32 535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( A ^ k
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A ^
k ) )  /\  ( B ^ k )  e.  RR )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR ) ) )
4645adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( ( ( ( A ^ k
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A ^
k ) )  /\  ( B ^ k )  e.  RR )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR ) ) )
47 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )
48 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  <_  B
)
4948adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  A  <_  B
)
5047, 49jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( ( A ^ k )  <_ 
( B ^ k
)  /\  A  <_  B ) )
51 lemul12a 10192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A ^ k )  e.  RR  /\  0  <_ 
( A ^ k
) )  /\  ( B ^ k )  e.  RR )  /\  (
( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR ) )  ->  (
( ( A ^
k )  <_  ( B ^ k )  /\  A  <_  B )  -> 
( ( A ^
k )  x.  A
)  <_  ( ( B ^ k )  x.  B ) ) )
5246, 50, 51sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  A )  <_  (
( B ^ k
)  x.  B ) )
53 expp1 11877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k )  x.  A ) )
5417, 53sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k )  x.  A ) )
5554adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k
)  x.  A ) )
5655adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k
)  x.  A ) )
5756adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k
)  x.  A ) )
58 expp1 11877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( B ^ k )  x.  B ) )
5918, 58sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( B ^ k )  x.  B ) )
6059adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( B ^ k
)  x.  B ) )
6160adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( B ^ k
)  x.  B ) )
6261adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( B ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( B ^ k
)  x.  B ) )
6352, 57, 623brtr4d 4327 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  <_  ( B ^ ( k  +  1 ) ) )
6463ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A ^ k )  <_ 
( B ^ k
)  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( B ^ (
k  +  1 ) ) ) )
6564expcom 435 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  (
( A ^ k
)  <_  ( B ^ k )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  <_  ( B ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
6665a2d 26 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( B ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )
674, 8, 12, 16, 27, 66nn0ind 10743 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  ( A ^ N )  <_ 
( B ^ N
) ) )
6867exp4c 608 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) ) ) ) )
6968com3l 81 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) ) ) ) )
70693imp1 1200 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4297  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    <_ cle 9424   NN0cn0 10584   ^cexp 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-seq 11812  df-exp 11871
This theorem is referenced by:  expubnd  11929  facubnd  12081  pserulm  21892  logexprlim  22569  ostth2lem2  22888  ostth3  22892  stoweidlem1  29801  stoweidlem24  29824
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