HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem ledivp1 7088
Description: Less-than-or-equal-to and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.)
Assertion
Ref Expression
ledivp1 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> ((A / (B + 1)) x. B) <_ A)
Proof of Theorem ledivp1
StepHypRef Expression
1 simprl 450 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> B e. RR)
2 peano2re 6599 . . . 4 |- (B e. RR -> (B + 1) e. RR)
32ad2antrl 442 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> (B + 1) e. RR)
4 simpl 346 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> A e. RR)
52ad2antrl 442 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> (B + 1) e. RR)
62adantr 425 . . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ 0 <_ B) -> (B + 1) e. RR)
7 ltp1 6989 . . . . . . . . 9 |- (B e. RR -> B < (B + 1))
8 0re 6603 . . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
9 lelttr 6693 . . . . . . . . . . 11 |- ((0 e. RR /\ B e. RR /\ (B + 1) e. RR) -> ((0 <_ B /\ B < (B + 1)) -> 0 < (B + 1)))
108, 9mp3an1 1178 . . . . . . . . . 10 |- ((B e. RR /\ (B + 1) e. RR) -> ((0 <_ B /\ B < (B + 1)) -> 0 < (B + 1)))
112, 10mpdan 768 . . . . . . . . 9 |- (B e. RR -> ((0 <_ B /\ B < (B + 1)) -> 0 < (B + 1)))
127, 11mpan2d 766 . . . . . . . 8 |- (B e. RR -> (0 <_ B -> 0 < (B + 1)))
1312imp 377 . . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ 0 <_ B) -> 0 < (B + 1))
14 gt0ne0 6800 . . . . . . 7 |- (((B + 1) e. RR /\ 0 < (B + 1)) -> (B + 1) =/= 0)
156, 13, 14syl11anc 524 . . . . . 6 |- ((B e. RR /\ 0 <_ B) -> (B + 1) =/= 0)
1615adantl 424 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> (B + 1) =/= 0)
17 redivcl 6978 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ (B + 1) e. RR /\ (B + 1) =/= 0) -> (A / (B + 1)) e. RR)
184, 5, 16, 17syl111anc 1100 . . . 4 |- ((A e. RR /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> (A / (B + 1)) e. RR)
1918adantlr 429 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> (A / (B + 1)) e. RR)
20 divge0 7038 . . . 4 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ ((B + 1) e. RR /\ 0 < (B + 1))) -> 0 <_ (A / (B + 1)))
216, 13jca 310 . . . 4 |- ((B e. RR /\ 0 <_ B) -> ((B + 1) e. RR /\ 0 < (B + 1)))
2220, 21sylan2 500 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> 0 <_ (A / (B + 1)))
237adantr 425 . . . . 5 |- ((B e. RR /\ 0 <_ B) -> B < (B + 1))
24 ltle 6690 . . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ (B + 1) e. RR) -> (B < (B + 1) -> B <_ (B + 1)))
252, 24mpdan 768 . . . . . 6 |- (B e. RR -> (B < (B + 1) -> B <_ (B + 1)))
2625adantr 425 . . . . 5 |- ((B e. RR /\ 0 <_ B) -> (B < (B + 1) -> B <_ (B + 1)))
2723, 26mpd 29 . . . 4 |- ((B e. RR /\ 0 <_ B) -> B <_ (B + 1))
2827adantl 424 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> B <_ (B + 1))
29 lemul2aOLD 7022 . . 3 |- (((B e. RR /\ (B + 1) e. RR /\ (A / (B + 1)) e. RR) /\ (0 <_ (A / (B + 1)) /\ B <_ (B + 1))) -> ((A / (B + 1)) x. B) <_ ((A / (B + 1)) x. (B + 1)))
301, 3, 19, 22, 28, 29syl32anc 1108 . 2 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> ((A / (B + 1)) x. B) <_ ((A / (B + 1)) x. (B + 1)))
31 recn 6466 . . . 4 |- (A e. RR -> A e. CC)
3231ad2antrr 440 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> A e. CC)
332recnd 6468 . . . 4 |- (B e. RR -> (B + 1) e. CC)
3433ad2antrl 442 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> (B + 1) e. CC)
3515adantl 424 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> (B + 1) =/= 0)
36 divcan1 6909 . . 3 |- ((A e. CC /\ (B + 1) e. CC /\ (B + 1) =/= 0) -> ((A / (B + 1)) x. (B + 1)) = A)
3732, 34, 35, 36syl111anc 1100 . 2 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> ((A / (B + 1)) x. (B + 1)) = A)
3830, 37breqtrd 3361 1 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> ((A / (B + 1)) x. B) <_ A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   / cdiv 6447   <_ cle 6448   < clt 6653
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892
Copyright terms: Public domain