MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ledivdivd Structured version   Unicode version

Theorem ledivdivd 11310
Description: Invert ratios of positive numbers and swap their ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
rpaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
ltdiv2d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ledivdivd.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
ledivdivd.5  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  <_  ( C  /  D ) )
Assertion
Ref Expression
ledivdivd  |-  ( ph  ->  ( D  /  C
)  <_  ( B  /  A ) )

Proof of Theorem ledivdivd
StepHypRef Expression
1 ledivdivd.5 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  <_  ( C  /  D ) )
2 rpred.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
32rpregt0d 11291 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
4 rpaddcld.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
54rpregt0d 11291 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
6 ltdiv2d.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
76rpregt0d 11291 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
8 ledivdivd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
98rpregt0d 11291 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )
10 ledivdiv 10439 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  < 
A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  0  < 
C )  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) ) )  ->  ( ( A  /  B )  <_ 
( C  /  D
)  <->  ( D  /  C )  <_  ( B  /  A ) ) )
113, 5, 7, 9, 10syl22anc 1265 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  <_  ( C  /  D )  <->  ( D  /  C )  <_  ( B  /  A ) ) )
121, 11mpbid 213 1  |-  ( ph  ->  ( D  /  C
)  <_  ( B  /  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    e. wcel 1872   class class class wbr 4359  (class class class)co 6242   RRcr 9482   0cc0 9483    < clt 9619    <_ cle 9620    / cdiv 10213   RR+crp 11246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-op 3941  df-uni 4156  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-er 7311  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10214  df-rp 11247
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator