MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv2ad Structured version   Unicode version

Theorem lediv2ad 11070
Description: Division of both sides of 'less than or equal to' into a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
rpaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
lediv2ad.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lediv2ad.4  |-  ( ph  ->  0  <_  C )
lediv2ad.5  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lediv2ad  |-  ( ph  ->  ( C  /  B
)  <_  ( C  /  A ) )

Proof of Theorem lediv2ad
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpregt0d 11054 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
3 rpaddcld.1 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
43rpregt0d 11054 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
5 lediv2ad.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 lediv2ad.4 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  C )
75, 6jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
8 lediv2ad.5 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
9 lediv2a 10247 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  < 
A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( C  /  B
)  <_  ( C  /  A ) )
102, 4, 7, 8, 9syl31anc 1221 1  |-  ( ph  ->  ( C  /  B
)  <_  ( C  /  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4313  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303    < clt 9439    <_ cle 9440    / cdiv 10014   RR+crp 11012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-rp 11013
This theorem is referenced by:  rlimno1  13152  selberg3lem2  22829  pntrlog2bndlem2  22849  pntrlog2bndlem6a  22853  pntrlog2bnd  22855  lgamgulmlem2  27038  lgamgulmlem3  27039  lgamgulmlem5  27041  lgamcvg2  27063  stirlinglem1  29895  stirlinglem10  29904
  Copyright terms: Public domain W3C validator