HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem lediv2 7074
Description: Division of a positive number by both sides of 'less than or equal to'.
Assertion
Ref Expression
lediv2 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 < C)) -> (A <_ B <-> (C / B) <_ (C / A)))
Proof of Theorem lediv2
StepHypRef Expression
1 gt0ne0 6800 . . . . 5 |- ((B e. RR /\ 0 < B) -> B =/= 0)
2 rereccl 6981 . . . . 5 |- ((B e. RR /\ B =/= 0) -> (1 / B) e. RR)
31, 2syldan 516 . . . 4 |- ((B e. RR /\ 0 < B) -> (1 / B) e. RR)
433ad2ant2 898 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 < C)) -> (1 / B) e. RR)
5 gt0ne0 6800 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> A =/= 0)
6 rereccl 6981 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> (1 / A) e. RR)
75, 6syldan 516 . . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (1 / A) e. RR)
873ad2ant1 897 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 < C)) -> (1 / A) e. RR)
9 simp3l 904 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 < C)) -> C e. RR)
10 simp3r 905 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 < C)) -> 0 < C)
11 lemul2OLD 7014 . . 3 |- ((((1 / B) e. RR /\ (1 / A) e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> ((1 / B) <_ (1 / A) <-> (C x. (1 / B)) <_ (C x. (1 / A))))
124, 8, 9, 10, 11syl31anc 1103 . 2 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 < C)) -> ((1 / B) <_ (1 / A) <-> (C x. (1 / B)) <_ (C x. (1 / A))))
13 lerec 7068 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> (A <_ B <-> (1 / B) <_ (1 / A)))
14133adant3 896 . 2 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 < C)) -> (A <_ B <-> (1 / B) <_ (1 / A)))
15 divrec 6922 . . . . . . . 8 |- ((C e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (C / B) = (C x. (1 / B)))
16153expb 1068 . . . . . . 7 |- ((C e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (C / B) = (C x. (1 / B)))
17 recn 6466 . . . . . . 7 |- (C e. RR -> C e. CC)
18 recn 6466 . . . . . . . . 9 |- (B e. RR -> B e. CC)
1918adantr 425 . . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ 0 < B) -> B e. CC)
2019, 1jca 310 . . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ 0 < B) -> (B e. CC /\ B =/= 0))
2116, 17, 20syl2an 503 . . . . . 6 |- ((C e. RR /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> (C / B) = (C x. (1 / B)))
22213adant2 895 . . . . 5 |- ((C e. RR /\ (A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> (C / B) = (C x. (1 / B)))
23 divrec 6922 . . . . . . . 8 |- ((C e. CC /\ A e. CC /\ A =/= 0) -> (C / A) = (C x. (1 / A)))
24233expb 1068 . . . . . . 7 |- ((C e. CC /\ (A e. CC /\ A =/= 0)) -> (C / A) = (C x. (1 / A)))
25 recn 6466 . . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> A e. CC)
2625adantr 425 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> A e. CC)
2726, 5jca 310 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (A e. CC /\ A =/= 0))
2824, 17, 27syl2an 503 . . . . . 6 |- ((C e. RR /\ (A e. RR /\ 0 < A)) -> (C / A) = (C x. (1 / A)))
29283adant3 896 . . . . 5 |- ((C e. RR /\ (A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> (C / A) = (C x. (1 / A)))
3022, 29breq12d 3351 . . . 4 |- ((C e. RR /\ (A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> ((C / B) <_ (C / A) <-> (C x. (1 / B)) <_ (C x. (1 / A))))
31303coml 1075 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ C e. RR) -> ((C / B) <_ (C / A) <-> (C x. (1 / B)) <_ (C x. (1 / A))))
32313adant3r 1095 . 2 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 < C)) -> ((C / B) <_ (C / A) <-> (C x. (1 / B)) <_ (C x. (1 / A))))
3312, 14, 323bitr4d 609 1 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 < C)) -> (A <_ B <-> (C / B) <_ (C / A)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   x. cmul 6391   / cdiv 6447   <_ cle 6448   < clt 6653
This theorem is referenced by:  efaddlem22 8621  nndivlub 14259
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892
Copyright terms: Public domain