MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv1dd Structured version   Unicode version

Theorem lediv1dd 11086
Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltmul1d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltmul1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
lediv1dd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lediv1dd  |-  ( ph  ->  ( A  /  C
)  <_  ( B  /  C ) )

Proof of Theorem lediv1dd
StepHypRef Expression
1 lediv1dd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 ltmul1d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltmul1d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltmul1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
52, 3, 4lediv1d 11074 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  /  C )  <_  ( B  /  C ) ) )
61, 5mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  C
)  <_  ( B  /  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   class class class wbr 4297  (class class class)co 6096   RRcr 9286    <_ cle 9424    / cdiv 9998   RR+crp 10996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-rp 10997
This theorem is referenced by:  aalioulem5  21807  aalioulem6  21808  cxp2lim  22375  cxploglim2  22377  fsumharmonic  22410  chpchtlim  22733  dchrmusum2  22748  dchrvmasumlem3  22753  dchrisum0fno1  22765  dchrisum0lem1  22770  dchrisum0lem2a  22771  mulogsumlem  22785  vmalogdivsum2  22792  2vmadivsumlem  22794  selberglem2  22800  selbergb  22803  selberg2b  22806  chpdifbndlem1  22807  logdivbnd  22810  selberg3lem1  22811  selberg4lem1  22814  pntrlog2bndlem1  22831  pntrlog2bndlem2  22832  pntrlog2bndlem3  22833  pntrlog2bndlem5  22835  pntrlog2bnd  22838  pntpbnd1a  22839  pntpbnd2  22841  pntibndlem2  22845  dya2icoseg  26697  sxbrsigalem2  26706  lgamgulmlem2  27021  lgamgulmlem5  27024  wallispilem5  29869
  Copyright terms: Public domain W3C validator