MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv1dd Structured version   Unicode version

Theorem lediv1dd 11310
Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltmul1d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltmul1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
lediv1dd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lediv1dd  |-  ( ph  ->  ( A  /  C
)  <_  ( B  /  C ) )

Proof of Theorem lediv1dd
StepHypRef Expression
1 lediv1dd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 ltmul1d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltmul1d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltmul1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
52, 3, 4lediv1d 11298 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  /  C )  <_  ( B  /  C ) ) )
61, 5mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  C
)  <_  ( B  /  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6284   RRcr 9491    <_ cle 9629    / cdiv 10206   RR+crp 11220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-rp 11221
This theorem is referenced by:  aalioulem5  22494  aalioulem6  22495  cxp2lim  23062  cxploglim2  23064  fsumharmonic  23097  chpchtlim  23420  dchrmusum2  23435  dchrvmasumlem3  23440  dchrisum0fno1  23452  dchrisum0lem1  23457  dchrisum0lem2a  23458  mulogsumlem  23472  vmalogdivsum2  23479  2vmadivsumlem  23481  selberglem2  23487  selbergb  23490  selberg2b  23493  chpdifbndlem1  23494  logdivbnd  23497  selberg3lem1  23498  selberg4lem1  23501  pntrlog2bndlem1  23518  pntrlog2bndlem2  23519  pntrlog2bndlem3  23520  pntrlog2bndlem5  23522  pntrlog2bnd  23525  pntpbnd1a  23526  pntpbnd2  23528  pntibndlem2  23532  dya2icoseg  27916  sxbrsigalem2  27925  lgamgulmlem2  28240  lgamgulmlem5  28243  hashnzfzclim  30855  oddfl  31064  lefldiveq  31087  sumnnodd  31200  wallispilem5  31397  fourierdlem30  31465  fourierdlem39  31474  fourierdlem47  31482  fourierdlem65  31500
  Copyright terms: Public domain W3C validator