MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv1dd Structured version   Unicode version

Theorem lediv1dd 11313
Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltmul1d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltmul1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
lediv1dd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lediv1dd  |-  ( ph  ->  ( A  /  C
)  <_  ( B  /  C ) )

Proof of Theorem lediv1dd
StepHypRef Expression
1 lediv1dd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 ltmul1d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltmul1d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltmul1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
52, 3, 4lediv1d 11301 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  /  C )  <_  ( B  /  C ) ) )
61, 5mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  C
)  <_  ( B  /  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   RRcr 9480    <_ cle 9618    / cdiv 10202   RR+crp 11221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-rp 11222
This theorem is referenced by:  aalioulem5  22898  aalioulem6  22899  cxp2lim  23504  cxploglim2  23506  fsumharmonic  23539  chpchtlim  23862  dchrmusum2  23877  dchrvmasumlem3  23882  dchrisum0fno1  23894  dchrisum0lem1  23899  dchrisum0lem2a  23900  mulogsumlem  23914  vmalogdivsum2  23921  2vmadivsumlem  23923  selberglem2  23929  selbergb  23932  selberg2b  23935  chpdifbndlem1  23936  logdivbnd  23939  selberg3lem1  23940  selberg4lem1  23943  pntrlog2bndlem1  23960  pntrlog2bndlem2  23961  pntrlog2bndlem3  23962  pntrlog2bndlem5  23964  pntrlog2bnd  23967  pntpbnd1a  23968  pntpbnd2  23970  pntibndlem2  23974  dya2icoseg  28485  sxbrsigalem2  28494  lgamgulmlem2  28836  lgamgulmlem5  28839  hashnzfzclim  31468  oddfl  31699  lefldiveq  31722  sumnnodd  31875  wallispilem5  32090  dirkertrigeqlem3  32121  fourierdlem6  32134  fourierdlem7  32135  fourierdlem10  32138  fourierdlem30  32158  fourierdlem39  32167  fourierdlem47  32175  fourierdlem65  32193  fourierdlem79  32207  etransclem23  32279  flnn0div2ge  33404  dignn0flhalflem2  33491
  Copyright terms: Public domain W3C validator