MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv12a Structured version   Unicode version

Theorem lediv12a 10354
Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 31-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
lediv12a  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  <_  ( B  /  C ) )

Proof of Theorem lediv12a
StepHypRef Expression
1 simplr 753 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  D  e.  RR )
2 0re 9507 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3 ltletr 9587 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  (
( 0  <  C  /\  C  <_  D )  ->  0  <  D
) )
42, 3mp3an1 1309 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
C  /\  C  <_  D )  ->  0  <  D ) )
54imp 427 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  0  <  D )
65gt0ne0d 10034 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  D  =/=  0 )
71, 6rereccld 10288 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
1  /  D )  e.  RR )
8 gt0ne0 9935 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <  C )  ->  C  =/=  0 )
9 rereccl 10179 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR  /\  C  =/=  0 )  -> 
( 1  /  C
)  e.  RR )
108, 9syldan 468 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <  C )  -> 
( 1  /  C
)  e.  RR )
1110ad2ant2r 744 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
1  /  C )  e.  RR )
12 recgt0 10303 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  RR  /\  0  <  D )  -> 
0  <  ( 1  /  D ) )
131, 5, 12syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  0  <  ( 1  /  D
) )
14 ltle 9584 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  D
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  D
)  ->  0  <_  ( 1  /  D ) ) )
152, 7, 14sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
0  <  ( 1  /  D )  -> 
0  <_  ( 1  /  D ) ) )
1613, 15mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  0  <_  ( 1  /  D
) )
17 simprr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  C  <_  D )
18 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <  C )  -> 
( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
1918ad2ant2r 744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
20 lerec 10343 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  0  <  C )  /\  ( D  e.  RR  /\  0  < 
D ) )  -> 
( C  <_  D  <->  ( 1  /  D )  <_  ( 1  /  C ) ) )
2119, 1, 5, 20syl12anc 1224 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  ( C  <_  D  <->  ( 1  /  D )  <_ 
( 1  /  C
) ) )
2217, 21mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
1  /  D )  <_  ( 1  /  C ) )
2316, 22jca 530 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
0  <_  ( 1  /  D )  /\  ( 1  /  D
)  <_  ( 1  /  C ) ) )
247, 11, 23jca31 532 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  ( 1  /  C
)  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( 1  /  D
)  /\  ( 1  /  D )  <_ 
( 1  /  C
) ) ) )
25 simplll 757 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
26 simplrl 759 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
0  <_  A )
27 simpllr 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
2825, 26, 27jca31 532 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR ) )
29 simprll 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( 1  /  D
)  e.  RR )
30 simprrl 763 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  D ) )
3129, 30jca 530 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  D ) ) )
32 simprlr 762 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( 1  /  C
)  e.  RR )
3328, 31, 32jca32 533 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  D ) )  /\  ( 1  /  C )  e.  RR ) ) )
34 simplrr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  ->  A  <_  B )
35 simprrr 764 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( 1  /  D
)  <_  ( 1  /  C ) )
3634, 35jca 530 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( A  <_  B  /\  ( 1  /  D
)  <_  ( 1  /  C ) ) )
37 lemul12a 10317 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  D ) )  /\  ( 1  /  C )  e.  RR ) )  ->  (
( A  <_  B  /\  ( 1  /  D
)  <_  ( 1  /  C ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  D
) )  <_  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) ) )
3833, 36, 37sylc 60 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( A  x.  (
1  /  D ) )  <_  ( B  x.  ( 1  /  C
) ) )
3924, 38sylan2 472 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  D
) )  <_  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) )
40 recn 9493 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
4140adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  A  e.  CC )
42 recn 9493 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR  ->  D  e.  CC )
4342ad2antlr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  D  e.  CC )
4443adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  D  e.  CC )
456adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  D  =/=  0 )
4641, 44, 45divrecd 10240 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  =  ( A  x.  ( 1  /  D ) ) )
4746adantlr 712 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  =  ( A  x.  ( 1  /  D ) ) )
4847adantlr 712 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  =  ( A  x.  ( 1  /  D ) ) )
49 recn 9493 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
5049adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  ->  B  e.  CC )
51 recn 9493 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  CC )
5251ad2antrl 725 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  ->  C  e.  CC )
538adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  ->  C  =/=  0 )
5450, 52, 53divrecd 10240 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) )
5554adantrrr 722 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  ( 0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  (
1  /  C ) ) )
5655adantrlr 720 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) )
5756adantll 711 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) )
5857adantlr 712 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) )
5939, 48, 583brtr4d 4397 1  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  <_  ( B  /  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   class class class wbr 4367  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    x. cmul 9408    < clt 9539    <_ cle 9540    / cdiv 10123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124
This theorem is referenced by:  lediv2a  10355  lediv12ad  11232  stoweidlem1  31949
  Copyright terms: Public domain W3C validator