MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv12a Structured version   Unicode version

Theorem lediv12a 10326
Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 31-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
lediv12a  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  <_  ( B  /  C ) )

Proof of Theorem lediv12a
StepHypRef Expression
1 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  D  e.  RR )
2 0re 9487 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3 ltletr 9567 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  (
( 0  <  C  /\  C  <_  D )  ->  0  <  D
) )
42, 3mp3an1 1302 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
C  /\  C  <_  D )  ->  0  <  D ) )
54imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  0  <  D )
65gt0ne0d 10005 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  D  =/=  0 )
71, 6rereccld 10259 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
1  /  D )  e.  RR )
8 gt0ne0 9905 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <  C )  ->  C  =/=  0 )
9 rereccl 10150 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR  /\  C  =/=  0 )  -> 
( 1  /  C
)  e.  RR )
108, 9syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <  C )  -> 
( 1  /  C
)  e.  RR )
1110ad2ant2r 746 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
1  /  C )  e.  RR )
12 recgt0 10274 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  RR  /\  0  <  D )  -> 
0  <  ( 1  /  D ) )
131, 5, 12syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  0  <  ( 1  /  D
) )
14 ltle 9564 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  D
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  D
)  ->  0  <_  ( 1  /  D ) ) )
152, 7, 14sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
0  <  ( 1  /  D )  -> 
0  <_  ( 1  /  D ) ) )
1613, 15mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  0  <_  ( 1  /  D
) )
17 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  C  <_  D )
18 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <  C )  -> 
( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
1918ad2ant2r 746 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
20 lerec 10315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  0  <  C )  /\  ( D  e.  RR  /\  0  < 
D ) )  -> 
( C  <_  D  <->  ( 1  /  D )  <_  ( 1  /  C ) ) )
2119, 1, 5, 20syl12anc 1217 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  ( C  <_  D  <->  ( 1  /  D )  <_ 
( 1  /  C
) ) )
2217, 21mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
1  /  D )  <_  ( 1  /  C ) )
2316, 22jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
0  <_  ( 1  /  D )  /\  ( 1  /  D
)  <_  ( 1  /  C ) ) )
247, 11, 23jca31 534 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  ( 1  /  C
)  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( 1  /  D
)  /\  ( 1  /  D )  <_ 
( 1  /  C
) ) ) )
25 simplll 757 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
26 simplrl 759 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
0  <_  A )
27 simpllr 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
2825, 26, 27jca31 534 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR ) )
29 simprll 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( 1  /  D
)  e.  RR )
30 simprrl 763 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  D ) )
3129, 30jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  D ) ) )
32 simprlr 762 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( 1  /  C
)  e.  RR )
3328, 31, 32jca32 535 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  D ) )  /\  ( 1  /  C )  e.  RR ) ) )
34 simplrr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  ->  A  <_  B )
35 simprrr 764 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( 1  /  D
)  <_  ( 1  /  C ) )
3634, 35jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( A  <_  B  /\  ( 1  /  D
)  <_  ( 1  /  C ) ) )
37 lemul12a 10288 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  D ) )  /\  ( 1  /  C )  e.  RR ) )  ->  (
( A  <_  B  /\  ( 1  /  D
)  <_  ( 1  /  C ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  D
) )  <_  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) ) )
3833, 36, 37sylc 60 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( A  x.  (
1  /  D ) )  <_  ( B  x.  ( 1  /  C
) ) )
3924, 38sylan2 474 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  D
) )  <_  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) )
40 recn 9473 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
4140adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  A  e.  CC )
42 recn 9473 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR  ->  D  e.  CC )
4342ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  D  e.  CC )
4443adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  D  e.  CC )
456adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  D  =/=  0 )
4641, 44, 45divrecd 10211 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  =  ( A  x.  ( 1  /  D ) ) )
4746adantlr 714 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  =  ( A  x.  ( 1  /  D ) ) )
4847adantlr 714 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  =  ( A  x.  ( 1  /  D ) ) )
49 recn 9473 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
5049adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  ->  B  e.  CC )
51 recn 9473 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  CC )
5251ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  ->  C  e.  CC )
538adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  ->  C  =/=  0 )
5450, 52, 53divrecd 10211 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) )
5554adantrrr 724 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  ( 0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  (
1  /  C ) ) )
5655adantrlr 722 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) )
5756adantll 713 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) )
5857adantlr 714 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) )
5939, 48, 583brtr4d 4420 1  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  <_  ( B  /  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   class class class wbr 4390  (class class class)co 6190   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384    x. cmul 9388    < clt 9519    <_ cle 9520    / cdiv 10094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095
This theorem is referenced by:  lediv2a  10327  lediv12ad  11183  stoweidlem1  29934
  Copyright terms: Public domain W3C validator