Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lecldbas Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lecldbas 20247
 Description: The set of closed intervals forms a closed subbasis for the topology on the extended reals. Since our definition of a basis is in terms of open sets, we express this by showing that the complements of closed intervals form an open subbasis for the topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lecldbas.1
Assertion
Ref Expression
lecldbas ordTop

Proof of Theorem lecldbas
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2453 . . . 4
2 eqid 2453 . . . 4
31, 2leordtval2 20240 . . 3 ordTop
4 fvex 5880 . . . 4
5 fvex 5880 . . . . . 6 ordTop
6 lecldbas.1 . . . . . . . 8
7 iccf 11740 . . . . . . . . . . 11
8 ffn 5733 . . . . . . . . . . 11
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
10 ovelrn 6450 . . . . . . . . . 10
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . 9
12 difeq2 3547 . . . . . . . . . . . 12
13 iccordt 20242 . . . . . . . . . . . . 13 ordTop
14 letopuni 20235 . . . . . . . . . . . . . 14 ordTop
1514cldopn 20058 . . . . . . . . . . . . 13 ordTop ordTop
1613, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ordTop
1712, 16syl6eqel 2539 . . . . . . . . . . 11 ordTop
1817rexlimivw 2878 . . . . . . . . . 10 ordTop
1918rexlimivw 2878 . . . . . . . . 9 ordTop
2011, 19sylbi 199 . . . . . . . 8 ordTop
216, 20fmpti 6050 . . . . . . 7 ordTop
22 frn 5740 . . . . . . 7 ordTop ordTop
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6 ordTop
245, 23ssexi 4551 . . . . 5
25 eqid 2453 . . . . . . . 8
26 mnfxr 11421 . . . . . . . . . . 11
27 fnovrn 6449 . . . . . . . . . . 11
289, 26, 27mp3an12 1356 . . . . . . . . . 10
2926a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
31 pnfxr 11419 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
33 mnfle 11442 . . . . . . . . . . . . . 14
34 pnfge 11439 . . . . . . . . . . . . . 14
35 df-icc 11649 . . . . . . . . . . . . . . 15
36 df-ioc 11647 . . . . . . . . . . . . . . 15
37 xrltnle 9706 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 xrletr 11462 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 xrlelttr 11460 . . . . . . . . . . . . . . . 16
40 xrltle 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
41403adant2 1028 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4239, 41syld 45 . . . . . . . . . . . . . . 15
4335, 36, 37, 35, 38, 42ixxun 11658 . . . . . . . . . . . . . 14
4429, 30, 32, 33, 34, 43syl32anc 1277 . . . . . . . . . . . . 13
45 iccmax 11717 . . . . . . . . . . . . 13
4644, 45syl6eq 2503 . . . . . . . . . . . 12
47 iccssxr 11724 . . . . . . . . . . . . 13
4835, 36, 37ixxdisj 11657 . . . . . . . . . . . . . 14
4926, 31, 48mp3an13 1357 . . . . . . . . . . . . 13
50 uneqdifeq 3858 . . . . . . . . . . . . 13
5147, 49, 50sylancr 670 . . . . . . . . . . . 12
5246, 51mpbid 214 . . . . . . . . . . 11
5352eqcomd 2459 . . . . . . . . . 10
54 difeq2 3547 . . . . . . . . . . . 12
5554eqeq2d 2463 . . . . . . . . . . 11
5655rspcev 3152 . . . . . . . . . 10
5728, 53, 56syl2anc 667 . . . . . . . . 9
58 xrex 11306 . . . . . . . . . . 11
59 difexg 4554 . . . . . . . . . . 11
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
616, 60elrnmpti 5088 . . . . . . . . 9
6257, 61sylibr 216 . . . . . . . 8
6325, 62fmpti 6050 . . . . . . 7
64 frn 5740 . . . . . . 7
6563, 64ax-mp 5 . . . . . 6
66 eqid 2453 . . . . . . . 8
67 fnovrn 6449 . . . . . . . . . . 11
689, 31, 67mp3an13 1357 . . . . . . . . . 10
69 df-ico 11648 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 xrlenlt 9704 . . . . . . . . . . . . . . 15
71 xrltletr 11461 . . . . . . . . . . . . . . . 16
72 xrltle 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
73723adant2 1028 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7471, 73syld 45 . . . . . . . . . . . . . . 15
75 xrletr 11462 . . . . . . . . . . . . . . 15
7669, 35, 70, 35, 74, 75ixxun 11658 . . . . . . . . . . . . . 14
7729, 30, 32, 33, 34, 76syl32anc 1277 . . . . . . . . . . . . 13
78 uncom 3580 . . . . . . . . . . . . 13
7977, 78, 453eqtr3g 2510 . . . . . . . . . . . 12
80 iccssxr 11724 . . . . . . . . . . . . 13
81 incom 3627 . . . . . . . . . . . . . 14
8269, 35, 70ixxdisj 11657 . . . . . . . . . . . . . . 15
8326, 31, 82mp3an13 1357 . . . . . . . . . . . . . 14
8481, 83syl5eq 2499 . . . . . . . . . . . . 13
85 uneqdifeq 3858 . . . . . . . . . . . . 13
8680, 84, 85sylancr 670 . . . . . . . . . . . 12
8779, 86mpbid 214 . . . . . . . . . . 11
8887eqcomd 2459 . . . . . . . . . 10
89 difeq2 3547 . . . . . . . . . . . 12
9089eqeq2d 2463 . . . . . . . . . . 11
9190rspcev 3152 . . . . . . . . . 10
9268, 88, 91syl2anc 667 . . . . . . . . 9
936, 60elrnmpti 5088 . . . . . . . . 9
9492, 93sylibr 216 . . . . . . . 8
9566, 94fmpti 6050 . . . . . . 7
96 frn 5740 . . . . . . 7
9795, 96ax-mp 5 . . . . . 6
9865, 97unssi 3611 . . . . 5
99 fiss 7943 . . . . 5
10024, 98, 99mp2an 679 . . . 4
101 tgss 19996 . . . 4
1024, 100, 101mp2an 679 . . 3
1033, 102eqsstri 3464 . 2 ordTop
104 letop 20234 . . 3 ordTop
105 tgfiss 20019 . . 3 ordTop ordTop ordTop
106104, 23, 105mp2an 679 . 2 ordTop
107103, 106eqssi 3450 1 ordTop
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 986   wceq 1446   wcel 1889  wrex 2740  cvv 3047   cdif 3403   cun 3404   cin 3405   wss 3406  c0 3733  cpw 3953   class class class wbr 4405   cmpt 4464   cxp 4835   crn 4838   wfn 5580  wf 5581  cfv 5585  (class class class)co 6295  cfi 7929   cpnf 9677   cmnf 9678  cxr 9679   clt 9680   cle 9681  cioc 11643  cico 11644  cicc 11645  ctg 15348  ordTopcordt 15409  ctop 19929  ccld 20043 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7930  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-topgen 15354  df-ordt 15411  df-ps 16458  df-tsr 16459  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-cld 20046 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator