Theorem lecasei 9686

Description: Ordering elimination by cases. (Contributed by NM, 6-Jul-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
lecase.1	|- ( ph -> A e. RR )
lecase.2	|- ( ph -> B e. RR )
lecase.3	|- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ps )
lecase.4	|- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ps )

Assertion

Ref	Expression
lecasei	|- ( ph -> ps )

Proof of Theorem lecasei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lecase.3	. 2 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ps )
2		lecase.4	. 2 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ps )
3		lecase.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		lecase.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letric 9681	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
7	1, 2, 6	mpjaodan 784	1 |- ( ph -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   e. wcel 1767   class class class wbr 4447   RRcr 9487   <_ cle 9625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630

This theorem is referenced by:  wloglei  10081  nn2ge  10557  max0sub  11391  leabs  13091  max0add  13102  limsupgre  13263  1arithlem4  14299  mndodcong  16362  metusttoOLD  20795  metustto  20796  reconn  21068  dyaddisj  21740  volcn  21750  ditgcl  21997  ditgswap  21998  ditgsplit  22000  dvfsumlem3  22164  ftc2ditg  22182  coseq0negpitopi  22629  asinlem3  22930  atanlogaddlem  22972  atanlogadd  22973  ppiub  23207  dchrisum0  23433  pntrmax  23477  padicabv  23543  ntrivcvgmul  28613  nacsfix  30248  acongrep  30522  hbt  30683