Theorem lecasei 9483

Description: Ordering elimination by cases. (Contributed by NM, 6-Jul-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
lecase.1	|- ( ph -> A e. RR )
lecase.2	|- ( ph -> B e. RR )
lecase.3	|- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ps )
lecase.4	|- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ps )

Assertion

Ref	Expression
lecasei	|- ( ph -> ps )

Proof of Theorem lecasei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lecase.3	. 2 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ps )
2		lecase.4	. 2 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ps )
3		lecase.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		lecase.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letric 9478	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
7	1, 2, 6	mpjaodan 784	1 |- ( ph -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   e. wcel 1756   class class class wbr 4295   RRcr 9284   <_ cle 9422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-resscn 9342  ax-pre-lttri 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-uni 4095  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-id 4639  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427

This theorem is referenced by:  wloglei  9875  nn2ge  10350  max0sub  11169  leabs  12791  max0add  12802  limsupgre  12962  1arithlem4  13990  mndodcong  16048  metusttoOLD  20135  metustto  20136  reconn  20408  dyaddisj  21079  volcn  21089  ditgcl  21336  ditgswap  21337  ditgsplit  21339  dvfsumlem3  21503  ftc2ditg  21521  coseq0negpitopi  21968  asinlem3  22269  atanlogaddlem  22311  atanlogadd  22312  ppiub  22546  dchrisum0  22772  pntrmax  22816  padicabv  22882  ntrivcvgmul  27420  nacsfix  29051  acongrep  29326  hbt  29489