Theorem lecasei 9476

Description: Ordering elimination by cases. (Contributed by NM, 6-Jul-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
lecase.1	|- ( ph -> A e. RR )
lecase.2	|- ( ph -> B e. RR )
lecase.3	|- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ps )
lecase.4	|- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ps )

Assertion

Ref	Expression
lecasei	|- ( ph -> ps )

Proof of Theorem lecasei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lecase.3	. 2 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ps )
2		lecase.4	. 2 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ps )
3		lecase.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		lecase.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letric 9471	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 656	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
7	1, 2, 6	mpjaodan 779	1 |- ( ph -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   e. wcel 1761   class class class wbr 4289   RRcr 9277   <_ cle 9415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-pre-lttri 9352

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420

This theorem is referenced by:  wloglei  9868  nn2ge  10343  max0sub  11162  leabs  12784  max0add  12795  limsupgre  12955  1arithlem4  13983  mndodcong  16038  metusttoOLD  20091  metustto  20092  reconn  20364  dyaddisj  21035  volcn  21045  ditgcl  21292  ditgswap  21293  ditgsplit  21295  dvfsumlem3  21459  ftc2ditg  21477  coseq0negpitopi  21924  asinlem3  22225  atanlogaddlem  22267  atanlogadd  22268  ppiub  22502  dchrisum0  22728  pntrmax  22772  padicabv  22838  ntrivcvgmul  27346  nacsfix  28973  acongrep  29248  hbt  29411