Theorem lecasei 9724

Description: Ordering elimination by cases. (Contributed by NM, 6-Jul-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
lecase.1	|- ( ph -> A e. RR )
lecase.2	|- ( ph -> B e. RR )
lecase.3	|- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ps )
lecase.4	|- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ps )

Assertion

Ref	Expression
lecasei	|- ( ph -> ps )

Proof of Theorem lecasei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lecase.3	. 2 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ps )
2		lecase.4	. 2 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ps )
3		lecase.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		lecase.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letric 9718	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
7	1, 2, 6	mpjaodan 789	1 |- ( ph -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   e. wcel 1844   class class class wbr 4397   RRcr 9523   <_ cle 9661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-resscn 9581  ax-pre-lttri 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666

This theorem is referenced by:  wloglei  10127  nn2ge  10603  max0sub  11450  leabs  13283  max0add  13294  limsupgre  13455  ntrivcvgmul  13865  1arithlem4  14655  mndodcong  16892  metusttoOLD  21354  metustto  21355  reconn  21627  dyaddisj  22299  volcn  22309  ditgcl  22556  ditgswap  22557  ditgsplit  22559  dvfsumlem3  22723  ftc2ditg  22741  coseq0negpitopi  23190  asinlem3  23529  atanlogaddlem  23571  atanlogadd  23572  ppiub  23862  dchrisum0  24088  pntrmax  24132  padicabv  24198  nacsfix  35019  acongrep  35292  hbt  35456