Theorem lebnumlem3OLD 22072

Description: Lemma for lebnum 22073. By the previous lemmas, F is continuous and positive on a compact set, so it has a positive minimum r. Then setting d = r / # ( U ), since for each u e. U we have ball ( x , d ) C_ u iff d <_ d ( x , X \ u ), if -. ball ( x , d ) C_ u for all u then summing over u yields sum_ u e. U d ( x , X \ u ) = F ( x ) < sum_ u e. U d = r, in contradiction to the assumption that r is the minimum of F. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) Obsolete version of lebnumlem3 22069 as of 20-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lebnum.j	|- J = ( MetOpen ` D )
lebnum.d	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
lebnum.c	|- ( ph -> J e. Comp )
lebnum.s	|- ( ph -> U C_ J )
lebnum.u	|- ( ph -> X = U. U )
lebnumlem1OLD.u	|- ( ph -> U e. Fin )
lebnumlem1OLD.n	|- ( ph -> -. X e. U )
lebnumlem1OLD.f	|- F = ( y e. X |-> sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
lebnumlem2OLD.k	|- K = ( topGen ` ran (,) )

Assertion

Ref	Expression
lebnumlem3OLD	|- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )

Distinct variable groups:   k, d, u, x, y, z, D   J, d, k, x, y, z   U, d, k, u, x, y, z   x, F   ph, d, k, x, y, z   X, d, k, u, x, y, z   x, K

Allowed substitution hints:   ph( u)   F( y, z, u, k, d)   J( u)   K( y, z, u, k, d)

Proof of Theorem lebnumlem3OLD

Dummy variables r w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 11329	. . . 4 |- 1 e. RR+
2	1	ne0ii 3729	. . 3 |- RR+ =/= (/)
3		ral0 3865	. . . . 5 |- A. x e. (/) E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u
4		simpr 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> X = (/) )
5	4	raleqdv 2979	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> A. x e. (/) E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
6	3, 5	mpbiri 241	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
7	6	ralrimivw 2810	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> A. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
8		r19.2z 3849	. . 3 |- ( ( RR+ =/= (/) /\ A. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
9	2, 7, 8	sylancr 676	. 2 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
10		lebnum.j	. . . . . . 7 |- J = ( MetOpen ` D )
11		lebnum.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
12		lebnum.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Comp )
13		lebnum.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> U C_ J )
14		lebnum.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> X = U. U )
15		lebnumlem1OLD.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. Fin )
16		lebnumlem1OLD.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. X e. U )
17		lebnumlem1OLD.f	. . . . . . 7 |- F = ( y e. X |-> sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
18	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	lebnumlem1OLD 22070	. . . . . 6 |- ( ph -> F : X --> RR+ )
19	18	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> F : X --> RR+ )
20		frn 5747	. . . . 5 |- ( F : X --> RR+ -> ran F C_ RR+ )
21	19, 20	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ran F C_ RR+ )
22		eqid 2471	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
23		lebnumlem2OLD.k	. . . . . . 7 |- K = ( topGen ` ran (,) )
24	12	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> J e. Comp )
25	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 23	lebnumlem2OLD 22071	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
26	25	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> F e. ( J Cn K ) )
27		metxmet 21427	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
28	10	mopnuni 21534	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
29	11, 27, 28	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X = U. J )
30	29	neeq1d 2702	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X =/= (/) <-> U. J =/= (/) ) )
31	30	biimpa 492	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> U. J =/= (/) )
32	22, 23, 24, 26, 31	evth2 22066	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> E. w e. U. J A. x e. U. J ( F ` w ) <_ ( F ` x ) )
33	29	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> X = U. J )
34		raleq 2973	. . . . . . . 8 |- ( X = U. J -> ( A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) <-> A. x e. U. J ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
35	34	rexeqbi1dv 2982	. . . . . . 7 |- ( X = U. J -> ( E. w e. X A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) <-> E. w e. U. J A. x e. U. J ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
36	33, 35	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( E. w e. X A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) <-> E. w e. U. J A. x e. U. J ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
37	32, 36	mpbird 240	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> E. w e. X A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) )
38		ffn 5739	. . . . . 6 |- ( F : X --> RR+ -> F Fn X )
39		breq1 4398	. . . . . . . 8 |- ( r = ( F ` w ) -> ( r <_ ( F ` x ) <-> ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
40	39	ralbidv 2829	. . . . . . 7 |- ( r = ( F ` w ) -> ( A. x e. X r <_ ( F ` x ) <-> A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
41	40	rexrn 6039	. . . . . 6 |- ( F Fn X -> ( E. r e. ran F A. x e. X r <_ ( F ` x ) <-> E. w e. X A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
42	19, 38, 41	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( E. r e. ran F A. x e. X r <_ ( F ` x ) <-> E. w e. X A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
43	37, 42	mpbird 240	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> E. r e. ran F A. x e. X r <_ ( F ` x ) )
44		ssrexv 3480	. . . 4 |- ( ran F C_ RR+ -> ( E. r e. ran F A. x e. X r <_ ( F ` x ) -> E. r e. RR+ A. x e. X r <_ ( F ` x ) ) )
45	21, 43, 44	sylc 61	. . 3 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> E. r e. RR+ A. x e. X r <_ ( F ` x ) )
46		simpr 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> r e. RR+ )
47	14	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> X = U. U )
48		simplr 770	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> X =/= (/) )
49	47, 48	eqnetrrd 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> U. U =/= (/) )
50		unieq 4198	. . . . . . . . . . 11 |- ( U = (/) -> U. U = U. (/) )
51		uni0 4217	. . . . . . . . . . 11 |- U. (/) = (/)
52	50, 51	syl6eq 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( U = (/) -> U. U = (/) )
53	52	necon3i 2675	. . . . . . . . 9 |- ( U. U =/= (/) -> U =/= (/) )
54	49, 53	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> U =/= (/) )
55	15	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> U e. Fin )
56		hashnncl 12585	. . . . . . . . 9 |- ( U e. Fin -> ( ( # ` U ) e. NN <-> U =/= (/) ) )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( # ` U ) e. NN <-> U =/= (/) ) )
58	54, 57	mpbird 240	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> ( # ` U ) e. NN )
59	58	nnrpd 11362	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> ( # ` U ) e. RR+ )
60	46, 59	rpdivcld 11381	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> ( r / ( # ` U ) ) e. RR+ )
61		ralnex 2834	. . . . . . . 8 |- ( A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u <-> -. E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u )
62	55	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> U e. Fin )
63	54	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> U =/= (/) )
64		simprl 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> x e. X )
65	64	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> x e. X )
66		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) = ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
67	66	metdsvalOLD 21957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X -> ( ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` x ) = sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , `' < ) )
68	65, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` x ) = sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , `' < ) )
69	11	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> D e. ( Met ` X ) )
70	69	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> D e. ( Met ` X ) )
71		difssd 3550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( X \ k ) C_ X )
72		elssuni 4219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. U -> k C_ U. U )
73	72	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> k C_ U. U )
74	47	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> X = U. U )
75	73, 74	sseqtr4d 3455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> k C_ X )
76		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = X -> ( k e. U <-> X e. U ) )
77	76	notbid 301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = X -> ( -. k e. U <-> -. X e. U ) )
78	16, 77	syl5ibrcom 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( k = X -> -. k e. U ) )
79	78	necon2ad 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( k e. U -> k =/= X ) )
80	79	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( k e. U -> k =/= X ) )
81	80	imp 436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> k =/= X )
82		pssdifn0 3743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k C_ X /\ k =/= X ) -> ( X \ k ) =/= (/) )
83	75, 81, 82	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( X \ k ) =/= (/) )
84	66	metdsreOLD 21963	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( X \ k ) C_ X /\ ( X \ k ) =/= (/) ) -> ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> RR )
85	70, 71, 83, 84	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> RR )
86	85, 65	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` x ) e. RR )
87	68, 86	eqeltrrd 2550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR )
88	60	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( r / ( # ` U ) ) e. RR+ )
89	88	rpred 11364	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( r / ( # ` U ) ) e. RR )
90		simprr 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u )
91		sseq2 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = k -> ( ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u <-> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k ) )
92	91	notbid 301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = k -> ( -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u <-> -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k ) )
93	92	rspccva 3135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u /\ k e. U ) -> -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k )
94	90, 93	sylan 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k )
95	70, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> D e. ( *Met ` X ) )
96	88	rpxrd 11365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( r / ( # ` U ) ) e. RR* )
97	66	metdsgeOLD 21959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( X \ k ) C_ X /\ x e. X ) /\ ( r / ( # ` U ) ) e. RR* ) -> ( ( r / ( # ` U ) ) <_ ( ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` x ) <-> ( ( X \ k ) i^i ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) ) = (/) ) )
98	95, 71, 65, 96, 97	syl31anc 1295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( r / ( # ` U ) ) <_ ( ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` x ) <-> ( ( X \ k ) i^i ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) ) = (/) ) )
99		blssm 21511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ ( r / ( # ` U ) ) e. RR* ) -> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ X )
100	95, 65, 96, 99	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ X )
101		difin0ss 3745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X \ k ) i^i ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) ) = (/) -> ( ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ X -> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k ) )
102	100, 101	syl5com 30	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( ( X \ k ) i^i ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) ) = (/) -> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k ) )
103	98, 102	sylbid 223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( r / ( # ` U ) ) <_ ( ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` x ) -> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k ) )
104	94, 103	mtod 182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> -. ( r / ( # ` U ) ) <_ ( ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` x ) )
105	86, 89	ltnled 9799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` x ) < ( r / ( # ` U ) ) <-> -. ( r / ( # ` U ) ) <_ ( ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` x ) ) )
106	104, 105	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` x ) < ( r / ( # ` U ) ) )
107	68, 106	eqbrtrrd 4418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , `' < ) < ( r / ( # ` U ) ) )
108	62, 63, 87, 89, 107	fsumlt 13937	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , `' < ) < sum_ k e. U ( r / ( # ` U ) ) )
109		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> ( y D z ) = ( x D z ) )
110	109	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = x -> ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) = ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) )
111	110	rneqd 5068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) = ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) )
112	111	supeq1d 7978	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) = sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , `' < ) )
113	112	sumeq2sdv 13847	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) = sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , `' < ) )
114		sumex 13831	. . . . . . . . . . . . 13 |- sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , `' < ) e. _V
115	113, 17, 114	fvmpt 5963	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X -> ( F ` x ) = sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , `' < ) )
116	64, 115	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( F ` x ) = sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , `' < ) )
117	60	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( r / ( # ` U ) ) e. RR+ )
118	117	rpcnd 11366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( r / ( # ` U ) ) e. CC )
119		fsumconst 13928	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. Fin /\ ( r / ( # ` U ) ) e. CC ) -> sum_ k e. U ( r / ( # ` U ) ) = ( ( # ` U ) x. ( r / ( # ` U ) ) ) )
120	62, 118, 119	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> sum_ k e. U ( r / ( # ` U ) ) = ( ( # ` U ) x. ( r / ( # ` U ) ) ) )
121		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> r e. RR+ )
122	121	rpcnd 11366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> r e. CC )
123	58	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( # ` U ) e. NN )
124	123	nncnd 10647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( # ` U ) e. CC )
125	123	nnne0d 10676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( # ` U ) =/= 0 )
126	122, 124, 125	divcan2d 10407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( ( # ` U ) x. ( r / ( # ` U ) ) ) = r )
127	120, 126	eqtr2d 2506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> r = sum_ k e. U ( r / ( # ` U ) ) )
128	108, 116, 127	3brtr4d 4426	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( F ` x ) < r )
129	19	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> F : X --> RR+ )
130	129, 64	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( F ` x ) e. RR+ )
131	130	rpred 11364	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
132	121	rpred 11364	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> r e. RR )
133	131, 132	ltnled 9799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( ( F ` x ) < r <-> -. r <_ ( F ` x ) ) )
134	128, 133	mpbid 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> -. r <_ ( F ` x ) )
135	134	expr 626	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u -> -. r <_ ( F ` x ) ) )
136	61, 135	syl5bir 226	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( -. E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u -> -. r <_ ( F ` x ) ) )
137	136	con4d 108	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( r <_ ( F ` x ) -> E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) )
138	137	ralimdva 2805	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. X r <_ ( F ` x ) -> A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) )
139		oveq2 6316	. . . . . . . . 9 |- ( d = ( r / ( # ` U ) ) -> ( x ( ball ` D ) d ) = ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) )
140	139	sseq1d 3445	. . . . . . . 8 |- ( d = ( r / ( # ` U ) ) -> ( ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) )
141	140	rexbidv 2892	. . . . . . 7 |- ( d = ( r / ( # ` U ) ) -> ( E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) )
142	141	ralbidv 2829	. . . . . 6 |- ( d = ( r / ( # ` U ) ) -> ( A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) )
143	142	rspcev 3136	. . . . 5 |- ( ( ( r / ( # ` U ) ) e. RR+ /\ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
144	60, 138, 143	syl6an 554	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. X r <_ ( F ` x ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
145	144	rexlimdva 2871	. . 3 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( E. r e. RR+ A. x e. X r <_ ( F ` x ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
146	45, 145	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
147	9, 146	pm2.61dane 2730	1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   \ cdif 3387   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   ran crn 4840   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   1c1 9558   x. cmul 9562   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   / cdiv 10291   NNcn 10631   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   #chash 12553   sum_csu 13829   topGenctg 15414   *Metcxmt 19032   Metcme 19033   ballcbl 19034   MetOpencmopn 19037   Cn ccn 20317   Compccmp 20478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415

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