Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem3OLD Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lebnumlem3OLD 22072
 Description: Lemma for lebnum 22073. By the previous lemmas, is continuous and positive on a compact set, so it has a positive minimum . Then setting , since for each we have iff , if for all then summing over yields , in contradiction to the assumption that is the minimum of . (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) Obsolete version of lebnumlem3 22069 as of 20-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j
lebnum.d
lebnum.c
lebnum.s
lebnum.u
lebnumlem1OLD.u
lebnumlem1OLD.n
lebnumlem1OLD.f
lebnumlem2OLD.k
Assertion
Ref Expression
lebnumlem3OLD
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,   ,,,,,   ,,,,,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,,)   ()   (,,,,)

Proof of Theorem lebnumlem3OLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 11329 . . . 4
21ne0ii 3729 . . 3
3 ral0 3865 . . . . 5
4 simpr 468 . . . . . 6
54raleqdv 2979 . . . . 5
63, 5mpbiri 241 . . . 4
76ralrimivw 2810 . . 3
8 r19.2z 3849 . . 3
92, 7, 8sylancr 676 . 2
10 lebnum.j . . . . . . 7
11 lebnum.d . . . . . . 7
12 lebnum.c . . . . . . 7
13 lebnum.s . . . . . . 7
14 lebnum.u . . . . . . 7
15 lebnumlem1OLD.u . . . . . . 7
16 lebnumlem1OLD.n . . . . . . 7
17 lebnumlem1OLD.f . . . . . . 7
1810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lebnumlem1OLD 22070 . . . . . 6
1918adantr 472 . . . . 5
20 frn 5747 . . . . 5
2119, 20syl 17 . . . 4
22 eqid 2471 . . . . . . 7
23 lebnumlem2OLD.k . . . . . . 7
2412adantr 472 . . . . . . 7
2510, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 23lebnumlem2OLD 22071 . . . . . . . 8
2625adantr 472 . . . . . . 7
27 metxmet 21427 . . . . . . . . . 10
2810mopnuni 21534 . . . . . . . . . 10
2911, 27, 283syl 18 . . . . . . . . 9
3029neeq1d 2702 . . . . . . . 8
3130biimpa 492 . . . . . . 7
3222, 23, 24, 26, 31evth2 22066 . . . . . 6
3329adantr 472 . . . . . . 7
34 raleq 2973 . . . . . . . 8
3534rexeqbi1dv 2982 . . . . . . 7
3633, 35syl 17 . . . . . 6
3732, 36mpbird 240 . . . . 5
38 ffn 5739 . . . . . 6
39 breq1 4398 . . . . . . . 8
4039ralbidv 2829 . . . . . . 7
4140rexrn 6039 . . . . . 6
4219, 38, 413syl 18 . . . . 5
4337, 42mpbird 240 . . . 4
44 ssrexv 3480 . . . 4
4521, 43, 44sylc 61 . . 3
46 simpr 468 . . . . . 6
4714ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
48 simplr 770 . . . . . . . . . 10
4947, 48eqnetrrd 2711 . . . . . . . . 9
50 unieq 4198 . . . . . . . . . . 11
51 uni0 4217 . . . . . . . . . . 11
5250, 51syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10
5352necon3i 2675 . . . . . . . . 9
5449, 53syl 17 . . . . . . . 8
5515ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
56 hashnncl 12585 . . . . . . . . 9
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8
5854, 57mpbird 240 . . . . . . 7
5958nnrpd 11362 . . . . . 6
6046, 59rpdivcld 11381 . . . . 5
61 ralnex 2834 . . . . . . . 8
6255adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
6354adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
64 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . 15
6564adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
66 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766metdsvalOLD 21957 . . . . . . . . . . . . . 14
6865, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
6911ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7069ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
71 difssd 3550 . . . . . . . . . . . . . . 15
72 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7372adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7447ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7573, 74sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . . . . . 16
76 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7776notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7816, 77syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7978necon2ad 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8079ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8180imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
82 pssdifn0 3743 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8375, 81, 82syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
8466metdsreOLD 21963 . . . . . . . . . . . . . . 15
8570, 71, 83, 84syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
8685, 65ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13
8768, 86eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . 12
8860ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
8988rpred 11364 . . . . . . . . . . . 12
90 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16
91 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9291notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9392rspccva 3135 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9490, 93sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . 15
9570, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9688rpxrd 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9766metdsgeOLD 21959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9895, 71, 65, 96, 97syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . . 16
99 blssm 21511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10095, 65, 96, 99syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
101 difin0ss 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102100, 101syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10398, 102sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15
10494, 103mtod 182 . . . . . . . . . . . . . 14
10586, 89ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . . 14
106104, 105mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13
10768, 106eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . . . . 12
10862, 63, 87, 89, 107fsumlt 13937 . . . . . . . . . . 11
109 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110109mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111110rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . . 15
112111supeq1d 7978 . . . . . . . . . . . . . 14
113112sumeq2sdv 13847 . . . . . . . . . . . . 13
114 sumex 13831 . . . . . . . . . . . . 13
115113, 17, 114fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . 12
11664, 115syl 17 . . . . . . . . . . 11
11760adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
118117rpcnd 11366 . . . . . . . . . . . . 13
119 fsumconst 13928 . . . . . . . . . . . . 13
12062, 118, 119syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
121 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14
122121rpcnd 11366 . . . . . . . . . . . . 13
12358adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
124123nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . 13
125123nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . 13
126122, 124, 125divcan2d 10407 . . . . . . . . . . . 12
127120, 126eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . 11
128108, 116, 1273brtr4d 4426 . . . . . . . . . 10
12919ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
130129, 64ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12
131130rpred 11364 . . . . . . . . . . 11
132121rpred 11364 . . . . . . . . . . 11
133131, 132ltnled 9799 . . . . . . . . . 10
134128, 133mpbid 215 . . . . . . . . 9
135134expr 626 . . . . . . . 8
13661, 135syl5bir 226 . . . . . . 7
137136con4d 108 . . . . . 6
138137ralimdva 2805 . . . . 5
139 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
140139sseq1d 3445 . . . . . . . 8
141140rexbidv 2892 . . . . . . 7
142141ralbidv 2829 . . . . . 6
143142rspcev 3136 . . . . 5
14460, 138, 143syl6an 554 . . . 4
145144rexlimdva 2871 . . 3
14645, 145mpd 15 . 2
1479, 146pm2.61dane 2730 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757   cdif 3387   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cuni 4190   class class class wbr 4395   cmpt 4454  ccnv 4838   crn 4840   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  csup 7972  cc 9555  cr 9556  c1 9558   cmul 9562  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cdiv 10291  cn 10631  crp 11325  cioo 11660  chash 12553  csu 13829  ctg 15414  cxmt 19032  cme 19033  cbl 19034  cmopn 19037   ccn 20317  ccmp 20478 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator