Theorem lebnumlem3OLD 21987

Description: Lemma for lebnum 21988. By the previous lemmas, F is continuous and positive on a compact set, so it has a positive minimum r. Then setting d = r / # ( U ), since for each u e. U we have ball ( x , d ) C_ u iff d <_ d ( x , X \ u ), if -. ball ( x , d ) C_ u for all u then summing over u yields sum_ u e. U d ( x , X \ u ) = F ( x ) < sum_ u e. U d = r, in contradiction to the assumption that r is the minimum of F. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) Obsolete version of lebnumlem3 21984 as of 20-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lebnum.j	|- J = ( MetOpen ` D )
lebnum.d	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
lebnum.c	|- ( ph -> J e. Comp )
lebnum.s	|- ( ph -> U C_ J )
lebnum.u	|- ( ph -> X = U. U )
lebnumlem1OLD.u	|- ( ph -> U e. Fin )
lebnumlem1OLD.n	|- ( ph -> -. X e. U )
lebnumlem1OLD.f	|- F = ( y e. X |-> sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
lebnumlem2OLD.k	|- K = ( topGen ` ran (,) )

Assertion

Ref	Expression
lebnumlem3OLD	|- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )

Distinct variable groups:   k, d, u, x, y, z, D   J, d, k, x, y, z   U, d, k, u, x, y, z   x, F   ph, d, k, x, y, z   X, d, k, u, x, y, z   x, K

Allowed substitution hints:   ph( u)   F( y, z, u, k, d)   J( u)   K( y, z, u, k, d)

Proof of Theorem lebnumlem3OLD

Dummy variables r w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 11303	. . . 4 |- 1 e. RR+
2	1	ne0ii 3737	. . 3 |- RR+ =/= (/)
3		ral0 3873	. . . . 5 |- A. x e. (/) E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u
4		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> X = (/) )
5	4	raleqdv 2992	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> A. x e. (/) E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
6	3, 5	mpbiri 237	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
7	6	ralrimivw 2802	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> A. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
8		r19.2z 3857	. . 3 |- ( ( RR+ =/= (/) /\ A. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
9	2, 7, 8	sylancr 668	. 2 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
10		lebnum.j	. . . . . . 7 |- J = ( MetOpen ` D )
11		lebnum.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
12		lebnum.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Comp )
13		lebnum.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> U C_ J )
14		lebnum.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> X = U. U )
15		lebnumlem1OLD.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. Fin )
16		lebnumlem1OLD.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. X e. U )
17		lebnumlem1OLD.f	. . . . . . 7 |- F = ( y e. X |-> sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
18	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	lebnumlem1OLD 21985	. . . . . 6 |- ( ph -> F : X --> RR+ )
19	18	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> F : X --> RR+ )
20		frn 5733	. . . . 5 |- ( F : X --> RR+ -> ran F C_ RR+ )
21	19, 20	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ran F C_ RR+ )
22		eqid 2450	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
23		lebnumlem2OLD.k	. . . . . . 7 |- K = ( topGen ` ran (,) )
24	12	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> J e. Comp )
25	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 23	lebnumlem2OLD 21986	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
26	25	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> F e. ( J Cn K ) )
27		metxmet 21342	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
28	10	mopnuni 21449	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
29	11, 27, 28	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X = U. J )
30	29	neeq1d 2682	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X =/= (/) <-> U. J =/= (/) ) )
31	30	biimpa 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> U. J =/= (/) )
32	22, 23, 24, 26, 31	evth2 21981	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> E. w e. U. J A. x e. U. J ( F ` w ) <_ ( F ` x ) )
33	29	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> X = U. J )
34		raleq 2986	. . . . . . . 8 |- ( X = U. J -> ( A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) <-> A. x e. U. J ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
35	34	rexeqbi1dv 2995	. . . . . . 7 |- ( X = U. J -> ( E. w e. X A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) <-> E. w e. U. J A. x e. U. J ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
36	33, 35	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( E. w e. X A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) <-> E. w e. U. J A. x e. U. J ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
37	32, 36	mpbird 236	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> E. w e. X A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) )
38		ffn 5726	. . . . . 6 |- ( F : X --> RR+ -> F Fn X )
39		breq1 4404	. . . . . . . 8 |- ( r = ( F ` w ) -> ( r <_ ( F ` x ) <-> ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
40	39	ralbidv 2826	. . . . . . 7 |- ( r = ( F ` w ) -> ( A. x e. X r <_ ( F ` x ) <-> A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
41	40	rexrn 6022	. . . . . 6 |- ( F Fn X -> ( E. r e. ran F A. x e. X r <_ ( F ` x ) <-> E. w e. X A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
42	19, 38, 41	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( E. r e. ran F A. x e. X r <_ ( F ` x ) <-> E. w e. X A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
43	37, 42	mpbird 236	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> E. r e. ran F A. x e. X r <_ ( F ` x ) )
44		ssrexv 3493	. . . 4 |- ( ran F C_ RR+ -> ( E. r e. ran F A. x e. X r <_ ( F ` x ) -> E. r e. RR+ A. x e. X r <_ ( F ` x ) ) )
45	21, 43, 44	sylc 62	. . 3 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> E. r e. RR+ A. x e. X r <_ ( F ` x ) )
46		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> r e. RR+ )
47	14	ad2antrr 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> X = U. U )
48		simplr 761	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> X =/= (/) )
49	47, 48	eqnetrrd 2691	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> U. U =/= (/) )
50		unieq 4205	. . . . . . . . . . 11 |- ( U = (/) -> U. U = U. (/) )
51		uni0 4224	. . . . . . . . . . 11 |- U. (/) = (/)
52	50, 51	syl6eq 2500	. . . . . . . . . 10 |- ( U = (/) -> U. U = (/) )
53	52	necon3i 2655	. . . . . . . . 9 |- ( U. U =/= (/) -> U =/= (/) )
54	49, 53	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> U =/= (/) )
55	15	ad2antrr 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> U e. Fin )
56		hashnncl 12544	. . . . . . . . 9 |- ( U e. Fin -> ( ( # ` U ) e. NN <-> U =/= (/) ) )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( # ` U ) e. NN <-> U =/= (/) ) )
58	54, 57	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> ( # ` U ) e. NN )
59	58	nnrpd 11336	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> ( # ` U ) e. RR+ )
60	46, 59	rpdivcld 11355	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> ( r / ( # ` U ) ) e. RR+ )
61		ralnex 2833	. . . . . . . 8 |- ( A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u <-> -. E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u )
62	55	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> U e. Fin )
63	54	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> U =/= (/) )
64		simprl 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> x e. X )
65	64	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> x e. X )
66		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) = ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
67	66	metdsvalOLD 21872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X -> ( ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` x ) = sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , `' < ) )
68	65, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` x ) = sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , `' < ) )
69	11	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> D e. ( Met ` X ) )
70	69	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> D e. ( Met ` X ) )
71		difssd 3560	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( X \ k ) C_ X )
72		elssuni 4226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. U -> k C_ U. U )
73	72	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> k C_ U. U )
74	47	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> X = U. U )
75	73, 74	sseqtr4d 3468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> k C_ X )
76		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = X -> ( k e. U <-> X e. U ) )
77	76	notbid 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = X -> ( -. k e. U <-> -. X e. U ) )
78	16, 77	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( k = X -> -. k e. U ) )
79	78	necon2ad 2638	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( k e. U -> k =/= X ) )
80	79	ad3antrrr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( k e. U -> k =/= X ) )
81	80	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> k =/= X )
82		pssdifn0 3826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k C_ X /\ k =/= X ) -> ( X \ k ) =/= (/) )
83	75, 81, 82	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( X \ k ) =/= (/) )
84	66	metdsreOLD 21878	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( X \ k ) C_ X /\ ( X \ k ) =/= (/) ) -> ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> RR )
85	70, 71, 83, 84	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> RR )
86	85, 65	ffvelrnd 6021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` x ) e. RR )
87	68, 86	eqeltrrd 2529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR )
88	60	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( r / ( # ` U ) ) e. RR+ )
89	88	rpred 11338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( r / ( # ` U ) ) e. RR )
90		simprr 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u )
91		sseq2 3453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = k -> ( ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u <-> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k ) )
92	91	notbid 296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = k -> ( -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u <-> -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k ) )
93	92	rspccva 3148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u /\ k e. U ) -> -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k )
94	90, 93	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k )
95	70, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> D e. ( *Met ` X ) )
96	88	rpxrd 11339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( r / ( # ` U ) ) e. RR* )
97	66	metdsgeOLD 21874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( X \ k ) C_ X /\ x e. X ) /\ ( r / ( # ` U ) ) e. RR* ) -> ( ( r / ( # ` U ) ) <_ ( ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` x ) <-> ( ( X \ k ) i^i ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) ) = (/) ) )
98	95, 71, 65, 96, 97	syl31anc 1270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( r / ( # ` U ) ) <_ ( ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` x ) <-> ( ( X \ k ) i^i ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) ) = (/) ) )
99		blssm 21426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ ( r / ( # ` U ) ) e. RR* ) -> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ X )
100	95, 65, 96, 99	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ X )
101		difin0ss 3832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X \ k ) i^i ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) ) = (/) -> ( ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ X -> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k ) )
102	100, 101	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( ( X \ k ) i^i ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) ) = (/) -> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k ) )
103	98, 102	sylbid 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( r / ( # ` U ) ) <_ ( ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` x ) -> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k ) )
104	94, 103	mtod 181	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> -. ( r / ( # ` U ) ) <_ ( ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` x ) )
105	86, 89	ltnled 9779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` x ) < ( r / ( # ` U ) ) <-> -. ( r / ( # ` U ) ) <_ ( ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` x ) ) )
106	104, 105	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` x ) < ( r / ( # ` U ) ) )
107	68, 106	eqbrtrrd 4424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , `' < ) < ( r / ( # ` U ) ) )
108	62, 63, 87, 89, 107	fsumlt 13853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , `' < ) < sum_ k e. U ( r / ( # ` U ) ) )
109		oveq1 6295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> ( y D z ) = ( x D z ) )
110	109	mpteq2dv 4489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = x -> ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) = ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) )
111	110	rneqd 5061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) = ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) )
112	111	supeq1d 7957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) = sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , `' < ) )
113	112	sumeq2sdv 13763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) = sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , `' < ) )
114		sumex 13747	. . . . . . . . . . . . 13 |- sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , `' < ) e. _V
115	113, 17, 114	fvmpt 5946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X -> ( F ` x ) = sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , `' < ) )
116	64, 115	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( F ` x ) = sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , `' < ) )
117	60	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( r / ( # ` U ) ) e. RR+ )
118	117	rpcnd 11340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( r / ( # ` U ) ) e. CC )
119		fsumconst 13844	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. Fin /\ ( r / ( # ` U ) ) e. CC ) -> sum_ k e. U ( r / ( # ` U ) ) = ( ( # ` U ) x. ( r / ( # ` U ) ) ) )
120	62, 118, 119	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> sum_ k e. U ( r / ( # ` U ) ) = ( ( # ` U ) x. ( r / ( # ` U ) ) ) )
121		simplr 761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> r e. RR+ )
122	121	rpcnd 11340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> r e. CC )
123	58	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( # ` U ) e. NN )
124	123	nncnd 10622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( # ` U ) e. CC )
125	123	nnne0d 10651	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( # ` U ) =/= 0 )
126	122, 124, 125	divcan2d 10382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( ( # ` U ) x. ( r / ( # ` U ) ) ) = r )
127	120, 126	eqtr2d 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> r = sum_ k e. U ( r / ( # ` U ) ) )
128	108, 116, 127	3brtr4d 4432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( F ` x ) < r )
129	19	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> F : X --> RR+ )
130	129, 64	ffvelrnd 6021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( F ` x ) e. RR+ )
131	130	rpred 11338	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
132	121	rpred 11338	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> r e. RR )
133	131, 132	ltnled 9779	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( ( F ` x ) < r <-> -. r <_ ( F ` x ) ) )
134	128, 133	mpbid 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> -. r <_ ( F ` x ) )
135	134	expr 619	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u -> -. r <_ ( F ` x ) ) )
136	61, 135	syl5bir 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( -. E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u -> -. r <_ ( F ` x ) ) )
137	136	con4d 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( r <_ ( F ` x ) -> E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) )
138	137	ralimdva 2795	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. X r <_ ( F ` x ) -> A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) )
139		oveq2 6296	. . . . . . . . 9 |- ( d = ( r / ( # ` U ) ) -> ( x ( ball ` D ) d ) = ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) )
140	139	sseq1d 3458	. . . . . . . 8 |- ( d = ( r / ( # ` U ) ) -> ( ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) )
141	140	rexbidv 2900	. . . . . . 7 |- ( d = ( r / ( # ` U ) ) -> ( E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) )
142	141	ralbidv 2826	. . . . . 6 |- ( d = ( r / ( # ` U ) ) -> ( A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) )
143	142	rspcev 3149	. . . . 5 |- ( ( ( r / ( # ` U ) ) e. RR+ /\ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
144	60, 138, 143	syl6an 548	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. X r <_ ( F ` x ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
145	144	rexlimdva 2878	. . 3 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( E. r e. RR+ A. x e. X r <_ ( F ` x ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
146	45, 145	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
147	9, 146	pm2.61dane 2710	1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   \ cdif 3400   i^i cin 3402   C_ wss 3403   (/)c0 3730   U.cuni 4197   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   `'ccnv 4832   ran crn 4834   Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   supcsup 7951   CCcc 9534   RRcr 9535   1c1 9537   x. cmul 9541   RR*cxr 9671   < clt 9672   <_ cle 9673   / cdiv 10266   NNcn 10606   RR+crp 11299   (,)cioo 11632   #chash 12512   sum_csu 13745   topGenctg 15329   *Metcxmt 18948   Metcme 18949   ballcbl 18950   MetOpencmopn 18953   Cn ccn 20233   Compccmp 20394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-ec 7362  df-map 7471  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330

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