MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem3 Structured version   Unicode version

Theorem lebnumlem3 20435
Description: Lemma for lebnum 20436. By the previous lemmas,  F is continuous and positive on a compact set, so it has a positive minimum  r. Then setting  d  =  r  /  # ( U ), since for each  u  e.  U we have  ball ( x ,  d )  C_  u iff  d  <_  d ( x ,  X  \  u ), if  -.  ball (
x ,  d ) 
C_  u for all  u then summing over  u yields  sum_ u  e.  U
d ( x ,  X  \  u )  =  F ( x )  <  sum_ u  e.  U d  =  r, in contradiction to the assumption that  r is the minimum of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
lebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
lebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
lebnumlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
lebnumlem1.n  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
lebnumlem1.f  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
lebnumlem2.k  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
lebnumlem3  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Distinct variable groups:    k, d, u, x, y, z, D    J, d, k, x, y, z    U, d, k, u, x, y, z    x, F    ph, d, k, x, y, z    X, d, k, u, x, y, z    x, K
Allowed substitution hints:    ph( u)    F( y, z, u, k, d)    J( u)    K( y, z, u, k, d)

Proof of Theorem lebnumlem3
Dummy variables  r  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 10991 . . . 4  |-  1  e.  RR+
2 ne0i 3640 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR+  ->  RR+  =/=  (/) )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  RR+  =/=  (/)
4 ral0 3781 . . . . 5  |-  A. x  e.  (/)  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
5 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  X  =  (/) )
65raleqdv 2921 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u 
<-> 
A. x  e.  (/)  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D
) d )  C_  u ) )
74, 6mpbiri 233 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
d )  C_  u
)
87ralrimivw 2798 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  A. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
9 r19.2z 3766 . . 3  |-  ( (
RR+  =/=  (/)  /\  A. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
d )  C_  u
)  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
103, 8, 9sylancr 658 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
11 lebnum.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
12 lebnum.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
13 lebnum.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
14 lebnum.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
15 lebnum.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
16 lebnumlem1.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
17 lebnumlem1.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
18 lebnumlem1.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18lebnumlem1 20433 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : X --> RR+ )
2019adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  F : X
--> RR+ )
21 frn 5562 . . . . 5  |-  ( F : X --> RR+  ->  ran 
F  C_  RR+ )
2220, 21syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ran  F  C_  RR+ )
23 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
24 lebnumlem2.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
2513adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  J  e.  Comp )
2611, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 24lebnumlem2 20434 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
2726adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
28 metxmet 19809 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2911mopnuni 19916 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
3012, 28, 293syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
3130neeq1d 2619 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  =/=  (/)  <->  U. J  =/=  (/) ) )
3231biimpa 481 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  U. J  =/=  (/) )
3323, 24, 25, 27, 32evth2 20432 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  U. J A. x  e.  U. J ( F `
 w )  <_ 
( F `  x
) )
3430adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  X  =  U. J )
35 raleq 2915 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. J  -> 
( A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x )  <->  A. x  e.  U. J
( F `  w
)  <_  ( F `  x ) ) )
3635rexeqbi1dv 2924 . . . . . . 7  |-  ( X  =  U. J  -> 
( E. w  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x )  <->  E. w  e.  U. J A. x  e.  U. J
( F `  w
)  <_  ( F `  x ) ) )
3734, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. w  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x
)  <->  E. w  e.  U. J A. x  e.  U. J ( F `  w )  <_  ( F `  x )
) )
3833, 37mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x )
)
39 ffn 5556 . . . . . 6  |-  ( F : X --> RR+  ->  F  Fn  X )
40 breq1 4292 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( F `  w )  ->  (
r  <_  ( F `  x )  <->  ( F `  w )  <_  ( F `  x )
) )
4140ralbidv 2733 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( F `  w )  ->  ( A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )  <->  A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x )
) )
4241rexrn 5842 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  X  ->  ( E. r  e.  ran  F A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )  <->  E. w  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x )
) )
4320, 39, 423syl 20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. r  e.  ran  F A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x
)  <->  E. w  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x ) ) )
4438, 43mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. r  e.  ran  F A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x ) )
45 ssrexv 3414 . . . 4  |-  ( ran 
F  C_  RR+  ->  ( E. r  e.  ran  F A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )
) )
4622, 44, 45sylc 60 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )
)
47 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR+ )
4815ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  X  =  U. U )
49 simplr 749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  X  =/=  (/) )
5048, 49eqnetrrd 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U. U  =/=  (/) )
51 unieq 4096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  =  (/)  ->  U. U  =  U. (/) )
52 uni0 4115 . . . . . . . . . . 11  |-  U. (/)  =  (/)
5351, 52syl6eq 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  =  (/)  ->  U. U  =  (/) )
5453necon3i 2648 . . . . . . . . 9  |-  ( U. U  =/=  (/)  ->  U  =/=  (/) )
5550, 54syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U  =/=  (/) )
5616ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U  e.  Fin )
57 hashnncl 12130 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  Fin  ->  (
( # `  U )  e.  NN  <->  U  =/=  (/) ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( # `  U )  e.  NN  <->  U  =/=  (/) ) )
5955, 58mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( # `
 U )  e.  NN )
6059nnrpd 11022 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( # `
 U )  e.  RR+ )
6147, 60rpdivcld 11040 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
r  /  ( # `  U ) )  e.  RR+ )
62 ralnex 2723 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u 
<->  -.  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  u )
6356adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  U  e.  Fin )
6455adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  U  =/=  (/) )
65 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  x  e.  X )
6665adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  x  e.  X )
67 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
6867metdsval 20323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  ->  (
( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x
)  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
6966, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x
)  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
7012ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
7170ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
72 difssd 3481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k
)  C_  X )
73 elssuni 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  U  ->  k  C_ 
U. U )
7473adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  k  C_  U. U )
7548ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  X  =  U. U
)
7674, 75sseqtr4d 3390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  k  C_  X )
77 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  X  ->  (
k  e.  U  <->  X  e.  U ) )
7877notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  X  ->  ( -.  k  e.  U  <->  -.  X  e.  U ) )
7917, 78syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( k  =  X  ->  -.  k  e.  U ) )
8079necon2ad 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  ->  k  =/=  X ) )
8180ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( k  e.  U  ->  k  =/=  X ) )
8281imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  k  =/=  X )
83 pssdifn0 3737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  C_  X  /\  k  =/=  X )  -> 
( X  \  k
)  =/=  (/) )
8476, 82, 83syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k
)  =/=  (/) )
8567metdsre 20329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( X  \  k )  C_  X  /\  ( X  \ 
k )  =/=  (/) )  -> 
( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
8671, 72, 84, 85syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
8786, 66ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x
)  e.  RR )
8869, 87eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
8961ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( r  /  ( # `
 U ) )  e.  RR+ )
9089rpred 11023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( r  /  ( # `
 U ) )  e.  RR )
91 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u )
92 sseq2 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  k  ->  (
( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u 
<->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  k ) )
9392notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  k  ->  ( -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u 
<->  -.  ( x (
ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  k )
)
9493rspccva 3069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u  /\  k  e.  U
)  ->  -.  (
x ( ball `  D
) ( r  / 
( # `  U ) ) )  C_  k
)
9591, 94sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  -.  ( x (
ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  k )
9671, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
9789rpxrd 11024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( r  /  ( # `
 U ) )  e.  RR* )
9867metdsge 20325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( X  \  k )  C_  X  /\  x  e.  X
)  /\  ( r  /  ( # `  U
) )  e.  RR* )  ->  ( ( r  /  ( # `  U
) )  <_  (
( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x
)  <->  ( ( X 
\  k )  i^i  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) ) )  =  (/) ) )
9996, 72, 66, 97, 98syl31anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( r  / 
( # `  U ) )  <_  ( (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x )  <-> 
( ( X  \ 
k )  i^i  (
x ( ball `  D
) ( r  / 
( # `  U ) ) ) )  =  (/) ) )
100 blssm 19893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  ( # `
 U ) )  e.  RR* )  ->  (
x ( ball `  D
) ( r  / 
( # `  U ) ) )  C_  X
)
10196, 66, 97, 100syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  X )
102 difin0ss 3742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  \  k
)  i^i  ( x
( ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) ) )  =  (/)  ->  ( ( x (
ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  X  ->  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
( # `  U ) ) )  C_  k
) )
103101, 102syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( ( X 
\  k )  i^i  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) ) )  =  (/)  ->  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
( # `  U ) ) )  C_  k
) )
10499, 103sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( r  / 
( # `  U ) )  <_  ( (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x )  ->  ( x (
ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  k )
)
10595, 104mtod 177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  -.  ( r  / 
( # `  U ) )  <_  ( (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x ) )
10687, 90ltnled 9517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x )  <  (
r  /  ( # `  U ) )  <->  -.  (
r  /  ( # `  U ) )  <_ 
( ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x
) ) )
107105, 106mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x
)  <  ( r  /  ( # `  U
) ) )
10869, 107eqbrtrrd 4311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  <  ( r  /  ( # `  U
) ) )
10963, 64, 88, 90, 108fsumlt 13259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( x D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  <  sum_ k  e.  U  ( r  /  ( # `
 U ) ) )
110 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
y D z )  =  ( x D z ) )
111110mpteq2dv 4376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) )  =  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( x D z ) ) )
112111rneqd 5063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) )  =  ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( x D z ) ) )
113112supeq1d 7692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
114113sumeq2sdv 13177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  =  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( x D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  ) )
115 sumex 13161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  _V
116114, 18, 115fvmpt 5771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  ->  ( F `  x )  =  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
11765, 116syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( F `  x
)  =  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
11861adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( r  /  ( # `
 U ) )  e.  RR+ )
119118rpcnd 11025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( r  /  ( # `
 U ) )  e.  CC )
120 fsumconst 13253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  ( r  /  ( # `
 U ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  U  ( r  /  ( # `  U ) )  =  ( ( # `  U
)  x.  ( r  /  ( # `  U
) ) ) )
12163, 119, 120syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  sum_ k  e.  U  ( r  /  ( # `  U ) )  =  ( ( # `  U
)  x.  ( r  /  ( # `  U
) ) ) )
122 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
r  e.  RR+ )
123122rpcnd 11025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
r  e.  CC )
12459adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( # `  U )  e.  NN )
125124nncnd 10334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( # `  U )  e.  CC )
126124nnne0d 10362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( # `  U )  =/=  0 )
127123, 125, 126divcan2d 10105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( ( # `  U
)  x.  ( r  /  ( # `  U
) ) )  =  r )
128121, 127eqtr2d 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
r  =  sum_ k  e.  U  ( r  /  ( # `  U
) ) )
129109, 117, 1283brtr4d 4319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( F `  x
)  <  r )
13020ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  F : X --> RR+ )
131130, 65ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( F `  x
)  e.  RR+ )
132131rpred 11023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( F `  x
)  e.  RR )
133122rpred 11023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
r  e.  RR )
134132, 133ltnled 9517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( ( F `  x )  <  r  <->  -.  r  <_  ( F `  x ) ) )
135129, 134mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  -.  r  <_  ( F `
 x ) )
136135expr 612 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u  ->  -.  r  <_  ( F `  x ) ) )
13762, 136syl5bir 218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  ( -.  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u  ->  -.  r  <_  ( F `  x ) ) )
138137con4d 105 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
r  <_  ( F `  x )  ->  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  u )
)
139138ralimdva 2792 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  u )
)
140 oveq2 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( r  / 
( # `  U ) )  ->  ( x
( ball `  D )
d )  =  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
( # `  U ) ) ) )
141140sseq1d 3380 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( r  / 
( # `  U ) )  ->  ( (
x ( ball `  D
) d )  C_  u 
<->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )
142141rexbidv 2734 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( r  / 
( # `  U ) )  ->  ( E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u 
<->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )
143142ralbidv 2733 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( r  / 
( # `  U ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u 
<-> 
A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )
144143rspcev 3070 . . . . 5  |-  ( ( ( r  /  ( # `
 U ) )  e.  RR+  /\  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  u )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
14561, 139, 144syl6an 542 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
) )
146145rexlimdva 2839 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. r  e.  RR+  A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u ) )
14746, 146mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
14810, 147pm2.61dane 2687 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714    \ cdif 3322    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   U.cuni 4088   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   ran crn 4837    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   supcsup 7686   CCcc 9276   RRcr 9277   1c1 9279    x. cmul 9283   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415    / cdiv 9989   NNcn 10318   RR+crp 10987   (,)cioo 11296   #chash 12099   sum_csu 13159   topGenctg 14372   *Metcxmt 17701   Metcme 17702   ballcbl 17703   MetOpencmopn 17706    Cn ccn 18728   Compccmp 18889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ec 7099  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-cmp 18890  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797
This theorem is referenced by:  lebnum  20436
  Copyright terms: Public domain W3C validator