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Theorem lebnumlem3 21589
Description: Lemma for lebnum 21590. By the previous lemmas,  F is continuous and positive on a compact set, so it has a positive minimum  r. Then setting  d  =  r  /  # ( U ), since for each  u  e.  U we have  ball ( x ,  d )  C_  u iff  d  <_  d ( x ,  X  \  u ), if  -.  ball (
x ,  d ) 
C_  u for all  u then summing over  u yields  sum_ u  e.  U
d ( x ,  X  \  u )  =  F ( x )  <  sum_ u  e.  U d  =  r, in contradiction to the assumption that  r is the minimum of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
lebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
lebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
lebnumlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
lebnumlem1.n  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
lebnumlem1.f  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
lebnumlem2.k  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
lebnumlem3  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Distinct variable groups:    k, d, u, x, y, z, D    J, d, k, x, y, z    U, d, k, u, x, y, z    x, F    ph, d, k, x, y, z    X, d, k, u, x, y, z    x, K
Allowed substitution hints:    ph( u)    F( y, z, u, k, d)    J( u)    K( y, z, u, k, d)

Proof of Theorem lebnumlem3
Dummy variables  r  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 11249 . . . 4  |-  1  e.  RR+
21ne0ii 3800 . . 3  |-  RR+  =/=  (/)
3 ral0 3937 . . . . 5  |-  A. x  e.  (/)  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
4 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  X  =  (/) )
54raleqdv 3060 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u 
<-> 
A. x  e.  (/)  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D
) d )  C_  u ) )
63, 5mpbiri 233 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
d )  C_  u
)
76ralrimivw 2872 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  A. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
8 r19.2z 3921 . . 3  |-  ( (
RR+  =/=  (/)  /\  A. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
d )  C_  u
)  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
92, 7, 8sylancr 663 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
10 lebnum.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
11 lebnum.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
12 lebnum.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
13 lebnum.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
14 lebnum.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
15 lebnumlem1.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
16 lebnumlem1.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
17 lebnumlem1.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
1810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lebnumlem1 21587 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : X --> RR+ )
1918adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  F : X
--> RR+ )
20 frn 5743 . . . . 5  |-  ( F : X --> RR+  ->  ran 
F  C_  RR+ )
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ran  F  C_  RR+ )
22 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
23 lebnumlem2.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
2412adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  J  e.  Comp )
2510, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 23lebnumlem2 21588 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
2625adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
27 metxmet 20963 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2810mopnuni 21070 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
2911, 27, 283syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
3029neeq1d 2734 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  =/=  (/)  <->  U. J  =/=  (/) ) )
3130biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  U. J  =/=  (/) )
3222, 23, 24, 26, 31evth2 21586 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  U. J A. x  e.  U. J ( F `
 w )  <_ 
( F `  x
) )
3329adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  X  =  U. J )
34 raleq 3054 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. J  -> 
( A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x )  <->  A. x  e.  U. J
( F `  w
)  <_  ( F `  x ) ) )
3534rexeqbi1dv 3063 . . . . . . 7  |-  ( X  =  U. J  -> 
( E. w  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x )  <->  E. w  e.  U. J A. x  e.  U. J
( F `  w
)  <_  ( F `  x ) ) )
3633, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. w  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x
)  <->  E. w  e.  U. J A. x  e.  U. J ( F `  w )  <_  ( F `  x )
) )
3732, 36mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x )
)
38 ffn 5737 . . . . . 6  |-  ( F : X --> RR+  ->  F  Fn  X )
39 breq1 4459 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( F `  w )  ->  (
r  <_  ( F `  x )  <->  ( F `  w )  <_  ( F `  x )
) )
4039ralbidv 2896 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( F `  w )  ->  ( A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )  <->  A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x )
) )
4140rexrn 6034 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  X  ->  ( E. r  e.  ran  F A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )  <->  E. w  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x )
) )
4219, 38, 413syl 20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. r  e.  ran  F A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x
)  <->  E. w  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x ) ) )
4337, 42mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. r  e.  ran  F A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x ) )
44 ssrexv 3561 . . . 4  |-  ( ran 
F  C_  RR+  ->  ( E. r  e.  ran  F A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )
) )
4521, 43, 44sylc 60 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )
)
46 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR+ )
4714ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  X  =  U. U )
48 simplr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  X  =/=  (/) )
4947, 48eqnetrrd 2751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U. U  =/=  (/) )
50 unieq 4259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  =  (/)  ->  U. U  =  U. (/) )
51 uni0 4278 . . . . . . . . . . 11  |-  U. (/)  =  (/)
5250, 51syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  =  (/)  ->  U. U  =  (/) )
5352necon3i 2697 . . . . . . . . 9  |-  ( U. U  =/=  (/)  ->  U  =/=  (/) )
5449, 53syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U  =/=  (/) )
5515ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U  e.  Fin )
56 hashnncl 12439 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  Fin  ->  (
( # `  U )  e.  NN  <->  U  =/=  (/) ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( # `  U )  e.  NN  <->  U  =/=  (/) ) )
5854, 57mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( # `
 U )  e.  NN )
5958nnrpd 11280 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( # `
 U )  e.  RR+ )
6046, 59rpdivcld 11298 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
r  /  ( # `  U ) )  e.  RR+ )
61 ralnex 2903 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u 
<->  -.  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  u )
6255adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  U  e.  Fin )
6354adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  U  =/=  (/) )
64 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  x  e.  X )
6564adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  x  e.  X )
66 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
6766metdsval 21477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  ->  (
( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x
)  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
6865, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x
)  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
6911ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
7069ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
71 difssd 3628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k
)  C_  X )
72 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  U  ->  k  C_ 
U. U )
7372adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  k  C_  U. U )
7447ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  X  =  U. U
)
7573, 74sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  k  C_  X )
76 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  X  ->  (
k  e.  U  <->  X  e.  U ) )
7776notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  X  ->  ( -.  k  e.  U  <->  -.  X  e.  U ) )
7816, 77syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( k  =  X  ->  -.  k  e.  U ) )
7978necon2ad 2670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  ->  k  =/=  X ) )
8079ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( k  e.  U  ->  k  =/=  X ) )
8180imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  k  =/=  X )
82 pssdifn0 3891 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  C_  X  /\  k  =/=  X )  -> 
( X  \  k
)  =/=  (/) )
8375, 81, 82syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k
)  =/=  (/) )
8466metdsre 21483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( X  \  k )  C_  X  /\  ( X  \ 
k )  =/=  (/) )  -> 
( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
8570, 71, 83, 84syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
8685, 65ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x
)  e.  RR )
8768, 86eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
8860ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( r  /  ( # `
 U ) )  e.  RR+ )
8988rpred 11281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( r  /  ( # `
 U ) )  e.  RR )
90 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u )
91 sseq2 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  k  ->  (
( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u 
<->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  k ) )
9291notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  k  ->  ( -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u 
<->  -.  ( x (
ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  k )
)
9392rspccva 3209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u  /\  k  e.  U
)  ->  -.  (
x ( ball `  D
) ( r  / 
( # `  U ) ) )  C_  k
)
9490, 93sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  -.  ( x (
ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  k )
9570, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
9688rpxrd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( r  /  ( # `
 U ) )  e.  RR* )
9766metdsge 21479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( X  \  k )  C_  X  /\  x  e.  X
)  /\  ( r  /  ( # `  U
) )  e.  RR* )  ->  ( ( r  /  ( # `  U
) )  <_  (
( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x
)  <->  ( ( X 
\  k )  i^i  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) ) )  =  (/) ) )
9895, 71, 65, 96, 97syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( r  / 
( # `  U ) )  <_  ( (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x )  <-> 
( ( X  \ 
k )  i^i  (
x ( ball `  D
) ( r  / 
( # `  U ) ) ) )  =  (/) ) )
99 blssm 21047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  ( # `
 U ) )  e.  RR* )  ->  (
x ( ball `  D
) ( r  / 
( # `  U ) ) )  C_  X
)
10095, 65, 96, 99syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  X )
101 difin0ss 3897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  \  k
)  i^i  ( x
( ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) ) )  =  (/)  ->  ( ( x (
ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  X  ->  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
( # `  U ) ) )  C_  k
) )
102100, 101syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( ( X 
\  k )  i^i  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) ) )  =  (/)  ->  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
( # `  U ) ) )  C_  k
) )
10398, 102sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( r  / 
( # `  U ) )  <_  ( (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x )  ->  ( x (
ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  k )
)
10494, 103mtod 177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  -.  ( r  / 
( # `  U ) )  <_  ( (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x ) )
10586, 89ltnled 9749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x )  <  (
r  /  ( # `  U ) )  <->  -.  (
r  /  ( # `  U ) )  <_ 
( ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x
) ) )
106104, 105mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x
)  <  ( r  /  ( # `  U
) ) )
10768, 106eqbrtrrd 4478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  <  ( r  /  ( # `  U
) ) )
10862, 63, 87, 89, 107fsumlt 13626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( x D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  <  sum_ k  e.  U  ( r  /  ( # `
 U ) ) )
109 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
y D z )  =  ( x D z ) )
110109mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) )  =  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( x D z ) ) )
111110rneqd 5240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) )  =  ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( x D z ) ) )
112111supeq1d 7923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
113112sumeq2sdv 13538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  =  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( x D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  ) )
114 sumex 13522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  _V
115113, 17, 114fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  ->  ( F `  x )  =  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
11664, 115syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( F `  x
)  =  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
11760adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( r  /  ( # `
 U ) )  e.  RR+ )
118117rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( r  /  ( # `
 U ) )  e.  CC )
119 fsumconst 13617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  ( r  /  ( # `
 U ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  U  ( r  /  ( # `  U ) )  =  ( ( # `  U
)  x.  ( r  /  ( # `  U
) ) ) )
12062, 118, 119syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  sum_ k  e.  U  ( r  /  ( # `  U ) )  =  ( ( # `  U
)  x.  ( r  /  ( # `  U
) ) ) )
121 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
r  e.  RR+ )
122121rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
r  e.  CC )
12358adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( # `  U )  e.  NN )
124123nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( # `  U )  e.  CC )
125123nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( # `  U )  =/=  0 )
126122, 124, 125divcan2d 10343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( ( # `  U
)  x.  ( r  /  ( # `  U
) ) )  =  r )
127120, 126eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
r  =  sum_ k  e.  U  ( r  /  ( # `  U
) ) )
128108, 116, 1273brtr4d 4486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( F `  x
)  <  r )
12919ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  F : X --> RR+ )
130129, 64ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( F `  x
)  e.  RR+ )
131130rpred 11281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( F `  x
)  e.  RR )
132121rpred 11281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
r  e.  RR )
133131, 132ltnled 9749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( ( F `  x )  <  r  <->  -.  r  <_  ( F `  x ) ) )
134128, 133mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  -.  r  <_  ( F `
 x ) )
135134expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u  ->  -.  r  <_  ( F `  x ) ) )
13661, 135syl5bir 218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  ( -.  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u  ->  -.  r  <_  ( F `  x ) ) )
137136con4d 105 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
r  <_  ( F `  x )  ->  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  u )
)
138137ralimdva 2865 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  u )
)
139 oveq2 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( r  / 
( # `  U ) )  ->  ( x
( ball `  D )
d )  =  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
( # `  U ) ) ) )
140139sseq1d 3526 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( r  / 
( # `  U ) )  ->  ( (
x ( ball `  D
) d )  C_  u 
<->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )
141140rexbidv 2968 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( r  / 
( # `  U ) )  ->  ( E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u 
<->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )
142141ralbidv 2896 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( r  / 
( # `  U ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u 
<-> 
A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )
143142rspcev 3210 . . . . 5  |-  ( ( ( r  /  ( # `
 U ) )  e.  RR+  /\  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  u )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
14460, 138, 143syl6an 545 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
) )
145144rexlimdva 2949 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. r  e.  RR+  A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u ) )
14645, 145mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
1479, 146pm2.61dane 2775 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   ran crn 5009    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   1c1 9510    x. cmul 9514   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    / cdiv 10227   NNcn 10556   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   #chash 12408   sum_csu 13520   topGenctg 14855   *Metcxmt 18530   Metcme 18531   ballcbl 18532   MetOpencmopn 18535    Cn ccn 19852   Compccmp 20013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951
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