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Theorem lebnumlem3 20535
Description: Lemma for lebnum 20536. By the previous lemmas,  F is continuous and positive on a compact set, so it has a positive minimum  r. Then setting  d  =  r  /  # ( U ), since for each  u  e.  U we have  ball ( x ,  d )  C_  u iff  d  <_  d ( x ,  X  \  u ), if  -.  ball (
x ,  d ) 
C_  u for all  u then summing over  u yields  sum_ u  e.  U
d ( x ,  X  \  u )  =  F ( x )  <  sum_ u  e.  U d  =  r, in contradiction to the assumption that  r is the minimum of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
lebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
lebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
lebnumlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
lebnumlem1.n  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
lebnumlem1.f  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
lebnumlem2.k  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
lebnumlem3  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Distinct variable groups:    k, d, u, x, y, z, D    J, d, k, x, y, z    U, d, k, u, x, y, z    x, F    ph, d, k, x, y, z    X, d, k, u, x, y, z    x, K
Allowed substitution hints:    ph( u)    F( y, z, u, k, d)    J( u)    K( y, z, u, k, d)

Proof of Theorem lebnumlem3
Dummy variables  r  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 10995 . . . 4  |-  1  e.  RR+
2 ne0i 3643 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR+  ->  RR+  =/=  (/) )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  RR+  =/=  (/)
4 ral0 3784 . . . . 5  |-  A. x  e.  (/)  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
5 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  X  =  (/) )
65raleqdv 2923 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u 
<-> 
A. x  e.  (/)  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D
) d )  C_  u ) )
74, 6mpbiri 233 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
d )  C_  u
)
87ralrimivw 2800 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  A. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
9 r19.2z 3769 . . 3  |-  ( (
RR+  =/=  (/)  /\  A. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
d )  C_  u
)  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
103, 8, 9sylancr 663 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
11 lebnum.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
12 lebnum.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
13 lebnum.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
14 lebnum.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
15 lebnum.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
16 lebnumlem1.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
17 lebnumlem1.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
18 lebnumlem1.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18lebnumlem1 20533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : X --> RR+ )
2019adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  F : X
--> RR+ )
21 frn 5565 . . . . 5  |-  ( F : X --> RR+  ->  ran 
F  C_  RR+ )
2220, 21syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ran  F  C_  RR+ )
23 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
24 lebnumlem2.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
2513adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  J  e.  Comp )
2611, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 24lebnumlem2 20534 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
2726adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
28 metxmet 19909 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2911mopnuni 20016 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
3012, 28, 293syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
3130neeq1d 2621 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  =/=  (/)  <->  U. J  =/=  (/) ) )
3231biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  U. J  =/=  (/) )
3323, 24, 25, 27, 32evth2 20532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  U. J A. x  e.  U. J ( F `
 w )  <_ 
( F `  x
) )
3430adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  X  =  U. J )
35 raleq 2917 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. J  -> 
( A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x )  <->  A. x  e.  U. J
( F `  w
)  <_  ( F `  x ) ) )
3635rexeqbi1dv 2926 . . . . . . 7  |-  ( X  =  U. J  -> 
( E. w  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x )  <->  E. w  e.  U. J A. x  e.  U. J
( F `  w
)  <_  ( F `  x ) ) )
3734, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. w  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x
)  <->  E. w  e.  U. J A. x  e.  U. J ( F `  w )  <_  ( F `  x )
) )
3833, 37mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x )
)
39 ffn 5559 . . . . . 6  |-  ( F : X --> RR+  ->  F  Fn  X )
40 breq1 4295 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( F `  w )  ->  (
r  <_  ( F `  x )  <->  ( F `  w )  <_  ( F `  x )
) )
4140ralbidv 2735 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( F `  w )  ->  ( A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )  <->  A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x )
) )
4241rexrn 5845 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  X  ->  ( E. r  e.  ran  F A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )  <->  E. w  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x )
) )
4320, 39, 423syl 20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. r  e.  ran  F A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x
)  <->  E. w  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  w )  <_  ( F `  x ) ) )
4438, 43mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. r  e.  ran  F A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x ) )
45 ssrexv 3417 . . . 4  |-  ( ran 
F  C_  RR+  ->  ( E. r  e.  ran  F A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )
) )
4622, 44, 45sylc 60 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )
)
47 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR+ )
4815ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  X  =  U. U )
49 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  X  =/=  (/) )
5048, 49eqnetrrd 2628 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U. U  =/=  (/) )
51 unieq 4099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  =  (/)  ->  U. U  =  U. (/) )
52 uni0 4118 . . . . . . . . . . 11  |-  U. (/)  =  (/)
5351, 52syl6eq 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  =  (/)  ->  U. U  =  (/) )
5453necon3i 2650 . . . . . . . . 9  |-  ( U. U  =/=  (/)  ->  U  =/=  (/) )
5550, 54syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U  =/=  (/) )
5616ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U  e.  Fin )
57 hashnncl 12134 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  Fin  ->  (
( # `  U )  e.  NN  <->  U  =/=  (/) ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( # `  U )  e.  NN  <->  U  =/=  (/) ) )
5955, 58mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( # `
 U )  e.  NN )
6059nnrpd 11026 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( # `
 U )  e.  RR+ )
6147, 60rpdivcld 11044 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
r  /  ( # `  U ) )  e.  RR+ )
62 ralnex 2725 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u 
<->  -.  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  u )
6356adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  U  e.  Fin )
6455adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  U  =/=  (/) )
65 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  x  e.  X )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  x  e.  X )
67 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
6867metdsval 20423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  ->  (
( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x
)  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
6966, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x
)  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
7012ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
7170ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
72 difssd 3484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k
)  C_  X )
73 elssuni 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  U  ->  k  C_ 
U. U )
7473adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  k  C_  U. U )
7548ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  X  =  U. U
)
7674, 75sseqtr4d 3393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  k  C_  X )
77 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  X  ->  (
k  e.  U  <->  X  e.  U ) )
7877notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  X  ->  ( -.  k  e.  U  <->  -.  X  e.  U ) )
7917, 78syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( k  =  X  ->  -.  k  e.  U ) )
8079necon2ad 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  ->  k  =/=  X ) )
8180ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( k  e.  U  ->  k  =/=  X ) )
8281imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  k  =/=  X )
83 pssdifn0 3740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  C_  X  /\  k  =/=  X )  -> 
( X  \  k
)  =/=  (/) )
8476, 82, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k
)  =/=  (/) )
8567metdsre 20429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( X  \  k )  C_  X  /\  ( X  \ 
k )  =/=  (/) )  -> 
( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
8671, 72, 84, 85syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
8786, 66ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x
)  e.  RR )
8869, 87eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
8961ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( r  /  ( # `
 U ) )  e.  RR+ )
9089rpred 11027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( r  /  ( # `
 U ) )  e.  RR )
91 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u )
92 sseq2 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  k  ->  (
( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u 
<->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  k ) )
9392notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  k  ->  ( -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u 
<->  -.  ( x (
ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  k )
)
9493rspccva 3072 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u  /\  k  e.  U
)  ->  -.  (
x ( ball `  D
) ( r  / 
( # `  U ) ) )  C_  k
)
9591, 94sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  -.  ( x (
ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  k )
9671, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
9789rpxrd 11028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( r  /  ( # `
 U ) )  e.  RR* )
9867metdsge 20425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( X  \  k )  C_  X  /\  x  e.  X
)  /\  ( r  /  ( # `  U
) )  e.  RR* )  ->  ( ( r  /  ( # `  U
) )  <_  (
( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x
)  <->  ( ( X 
\  k )  i^i  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) ) )  =  (/) ) )
9996, 72, 66, 97, 98syl31anc 1221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( r  / 
( # `  U ) )  <_  ( (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x )  <-> 
( ( X  \ 
k )  i^i  (
x ( ball `  D
) ( r  / 
( # `  U ) ) ) )  =  (/) ) )
100 blssm 19993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  ( # `
 U ) )  e.  RR* )  ->  (
x ( ball `  D
) ( r  / 
( # `  U ) ) )  C_  X
)
10196, 66, 97, 100syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  X )
102 difin0ss 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  \  k
)  i^i  ( x
( ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) ) )  =  (/)  ->  ( ( x (
ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  X  ->  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
( # `  U ) ) )  C_  k
) )
103101, 102syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( ( X 
\  k )  i^i  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) ) )  =  (/)  ->  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
( # `  U ) ) )  C_  k
) )
10499, 103sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( r  / 
( # `  U ) )  <_  ( (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x )  ->  ( x (
ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  k )
)
10595, 104mtod 177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  -.  ( r  / 
( # `  U ) )  <_  ( (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x ) )
10687, 90ltnled 9521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x )  <  (
r  /  ( # `  U ) )  <->  -.  (
r  /  ( # `  U ) )  <_ 
( ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x
) ) )
107105, 106mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  ( ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  x
)  <  ( r  /  ( # `  U
) ) )
10869, 107eqbrtrrd 4314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  <  ( r  /  ( # `  U
) ) )
10963, 64, 88, 90, 108fsumlt 13263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( x D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  <  sum_ k  e.  U  ( r  /  ( # `
 U ) ) )
110 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
y D z )  =  ( x D z ) )
111110mpteq2dv 4379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) )  =  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( x D z ) ) )
112111rneqd 5067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) )  =  ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( x D z ) ) )
113112supeq1d 7696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
114113sumeq2sdv 13181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  =  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( x D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  ) )
115 sumex 13165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  _V
116114, 18, 115fvmpt 5774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  ->  ( F `  x )  =  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
11765, 116syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( F `  x
)  =  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( x D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
11861adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( r  /  ( # `
 U ) )  e.  RR+ )
119118rpcnd 11029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( r  /  ( # `
 U ) )  e.  CC )
120 fsumconst 13257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  ( r  /  ( # `
 U ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  U  ( r  /  ( # `  U ) )  =  ( ( # `  U
)  x.  ( r  /  ( # `  U
) ) ) )
12163, 119, 120syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  sum_ k  e.  U  ( r  /  ( # `  U ) )  =  ( ( # `  U
)  x.  ( r  /  ( # `  U
) ) ) )
122 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
r  e.  RR+ )
123122rpcnd 11029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
r  e.  CC )
12459adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( # `  U )  e.  NN )
125124nncnd 10338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( # `  U )  e.  CC )
126124nnne0d 10366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( # `  U )  =/=  0 )
127123, 125, 126divcan2d 10109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( ( # `  U
)  x.  ( r  /  ( # `  U
) ) )  =  r )
128121, 127eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
r  =  sum_ k  e.  U  ( r  /  ( # `  U
) ) )
129109, 117, 1283brtr4d 4322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( F `  x
)  <  r )
13020ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  F : X --> RR+ )
131130, 65ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( F `  x
)  e.  RR+ )
132131rpred 11027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( F `  x
)  e.  RR )
133122rpred 11027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
r  e.  RR )
134132, 133ltnled 9521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  -> 
( ( F `  x )  <  r  <->  -.  r  <_  ( F `  x ) ) )
135129, 134mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )  ->  -.  r  <_  ( F `
 x ) )
136135expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. u  e.  U  -.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u  ->  -.  r  <_  ( F `  x ) ) )
13762, 136syl5bir 218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  ( -.  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u  ->  -.  r  <_  ( F `  x ) ) )
138137con4d 105 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
r  <_  ( F `  x )  ->  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  u )
)
139138ralimdva 2794 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  u )
)
140 oveq2 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( r  / 
( # `  U ) )  ->  ( x
( ball `  D )
d )  =  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
( # `  U ) ) ) )
141140sseq1d 3383 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( r  / 
( # `  U ) )  ->  ( (
x ( ball `  D
) d )  C_  u 
<->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )
142141rexbidv 2736 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( r  / 
( # `  U ) )  ->  ( E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u 
<->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )
143142ralbidv 2735 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( r  / 
( # `  U ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u 
<-> 
A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) ( r  /  ( # `  U
) ) )  C_  u ) )
144143rspcev 3073 . . . . 5  |-  ( ( ( r  /  ( # `
 U ) )  e.  RR+  /\  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
( r  /  ( # `
 U ) ) )  C_  u )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
14561, 139, 144syl6an 545 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  (/) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
) )
146145rexlimdva 2841 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. r  e.  RR+  A. x  e.  X  r  <_  ( F `  x )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u ) )
14746, 146mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
14810, 147pm2.61dane 2689 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716    \ cdif 3325    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   U.cuni 4091   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   `'ccnv 4839   ran crn 4841    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   supcsup 7690   CCcc 9280   RRcr 9281   1c1 9283    x. cmul 9287   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419    / cdiv 9993   NNcn 10322   RR+crp 10991   (,)cioo 11300   #chash 12103   sum_csu 13163   topGenctg 14376   *Metcxmt 17801   Metcme 17802   ballcbl 17803   MetOpencmopn 17806    Cn ccn 18828   Compccmp 18989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-ec 7103  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-cmp 18990  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897
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