Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem2 Structured version   Unicode version

Theorem lebnumlem2 20509
 Description: Lemma for lebnum 20511. As a finite sum of point-to-set distance functions, which are continuous by metdscn 20407, the function is also continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j
lebnum.d
lebnum.c
lebnum.s
lebnum.u
lebnumlem1.u
lebnumlem1.n
lebnumlem1.f
lebnumlem2.k
Assertion
Ref Expression
lebnumlem2
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)

Proof of Theorem lebnumlem2
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.f . . . 4
2 eqid 2438 . . . . 5 fld fld
3 lebnum.d . . . . . . 7
4 metxmet 19884 . . . . . . 7
53, 4syl 16 . . . . . 6
6 lebnum.j . . . . . . 7
76mopntopon 19989 . . . . . 6 TopOn
85, 7syl 16 . . . . 5 TopOn
9 lebnumlem1.u . . . . 5
103adantr 465 . . . . . 6
11 difssd 3479 . . . . . 6
125adantr 465 . . . . . . . . 9
1312, 7syl 16 . . . . . . . 8 TopOn
14 lebnum.s . . . . . . . . 9
1514sselda 3351 . . . . . . . 8
16 toponss 18509 . . . . . . . 8 TopOn
1713, 15, 16syl2anc 661 . . . . . . 7
18 lebnumlem1.n . . . . . . . . . 10
19 eleq1 2498 . . . . . . . . . . 11
2019notbid 294 . . . . . . . . . 10
2118, 20syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9
2221necon2ad 2654 . . . . . . . 8
2322imp 429 . . . . . . 7
24 pssdifn0 3735 . . . . . . 7
2517, 23, 24syl2anc 661 . . . . . 6
26 eqid 2438 . . . . . . 7
2726, 6, 2metdscn2 20408 . . . . . 6 fld
2810, 11, 25, 27syl3anc 1218 . . . . 5 fld
292, 8, 9, 28fsumcn 20421 . . . 4 fld
301, 29syl5eqel 2522 . . 3 fld
312cnfldtopon 20337 . . . . 5 fld TopOn
3231a1i 11 . . . 4 fld TopOn
33 lebnum.c . . . . . . 7
34 lebnum.u . . . . . . 7
356, 3, 33, 14, 34, 9, 18, 1lebnumlem1 20508 . . . . . 6
36 frn 5560 . . . . . 6
3735, 36syl 16 . . . . 5
38 rpssre 10993 . . . . 5
3937, 38syl6ss 3363 . . . 4
40 ax-resscn 9331 . . . . 5
4140a1i 11 . . . 4
42 cnrest2 18865 . . . 4 fld TopOn fld fldt
4332, 39, 41, 42syl3anc 1218 . . 3 fld fldt
4430, 43mpbid 210 . 2 fldt
45 lebnumlem2.k . . . 4
462tgioo2 20355 . . . 4 fldt
4745, 46eqtri 2458 . . 3 fldt
4847oveq2i 6097 . 2 fldt
4944, 48syl6eleqr 2529 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1369   wcel 1756   wne 2601   cdif 3320   wss 3323  c0 3632  cuni 4086   cmpt 4345  ccnv 4834   crn 4836  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6086  cfn 7302  csup 7682  cc 9272  cr 9273  cxr 9409   clt 9410  crp 10983  cioo 11292  csu 13155   ↾t crest 14351  ctopn 14352  ctg 14368  cxmt 17776  cme 17777  cmopn 17781  ℂfldccnfld 17793  TopOnctopon 18474   ccn 18803  ccmp 18964 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ec 7095  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872 This theorem is referenced by:  lebnumlem3  20510
 Copyright terms: Public domain W3C validator