MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem2 Structured version   Unicode version

Theorem lebnumlem2 20509
Description: Lemma for lebnum 20511. As a finite sum of point-to-set distance functions, which are continuous by metdscn 20407, the function  F is also continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
lebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
lebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
lebnumlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
lebnumlem1.n  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
lebnumlem1.f  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
lebnumlem2.k  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
lebnumlem2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    y, k,
z, D    k, J, y, z    U, k, y, z    ph, k, y, z   
k, X, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z, k)    K( y, z, k)

Proof of Theorem lebnumlem2
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.f . . . 4  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
3 lebnum.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 metxmet 19884 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
6 lebnum.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
76mopntopon 19989 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
85, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 lebnumlem1.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
103adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
11 difssd 3479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k )  C_  X )
125adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
1312, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
14 lebnum.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
1514sselda 3351 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  k  e.  J )
16 toponss 18509 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  k  e.  J )  ->  k  C_  X )
1713, 15, 16syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  k  C_  X )
18 lebnumlem1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
19 eleq1 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  X  ->  (
k  e.  U  <->  X  e.  U ) )
2019notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  X  ->  ( -.  k  e.  U  <->  -.  X  e.  U ) )
2118, 20syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  =  X  ->  -.  k  e.  U ) )
2221necon2ad 2654 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  ->  k  =/=  X ) )
2322imp 429 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  k  =/=  X )
24 pssdifn0 3735 . . . . . . 7  |-  ( ( k  C_  X  /\  k  =/=  X )  -> 
( X  \  k
)  =/=  (/) )
2517, 23, 24syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k )  =/=  (/) )
26 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2726, 6, 2metdscn2 20408 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( X  \  k )  C_  X  /\  ( X  \ 
k )  =/=  (/) )  -> 
( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
2810, 11, 25, 27syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
292, 8, 9, 28fsumcn 20421 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
301, 29syl5eqel 2522 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
312cnfldtopon 20337 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
3231a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
33 lebnum.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
34 lebnum.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
356, 3, 33, 14, 34, 9, 18, 1lebnumlem1 20508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : X --> RR+ )
36 frn 5560 . . . . . 6  |-  ( F : X --> RR+  ->  ran 
F  C_  RR+ )
3735, 36syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR+ )
38 rpssre 10993 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
3937, 38syl6ss 3363 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR )
40 ax-resscn 9331 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
4140a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
42 cnrest2 18865 . . . 4  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ran  F 
C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  F  e.  ( J  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) ) )
4332, 39, 41, 42syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld )
)  <->  F  e.  ( J  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) ) ) )
4430, 43mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) ) )
45 lebnumlem2.k . . . 4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
462tgioo2 20355 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
4745, 46eqtri 2458 . . 3  |-  K  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
4847oveq2i 6097 . 2  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) )
4944, 48syl6eleqr 2529 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601    \ cdif 3320    C_ wss 3323   (/)c0 3632   U.cuni 4086    e. cmpt 4345   `'ccnv 4834   ran crn 4836   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   supcsup 7682   CCcc 9272   RRcr 9273   RR*cxr 9409    < clt 9410   RR+crp 10983   (,)cioo 11292   sum_csu 13155   ↾t crest 14351   TopOpenctopn 14352   topGenctg 14368   *Metcxmt 17776   Metcme 17777   MetOpencmopn 17781  ℂfldccnfld 17793  TopOnctopon 18474    Cn ccn 18803   Compccmp 18964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ec 7095  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872
This theorem is referenced by:  lebnumlem3  20510
  Copyright terms: Public domain W3C validator