Theorem lebnumlem1OLD 22070

Description: Lemma for lebnum 22073. The function F measures the sum of all of the distances to escape the sets of the cover. Since by assumption it is a cover, there is at least one set which covers a given point, and since it is open, the point is a positive distance from the edge of the set. Thus, the sum is a strictly positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) Obsolete version of lebnumlem1 22067 as of 20-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lebnum.j	|- J = ( MetOpen ` D )
lebnum.d	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
lebnum.c	|- ( ph -> J e. Comp )
lebnum.s	|- ( ph -> U C_ J )
lebnum.u	|- ( ph -> X = U. U )
lebnumlem1OLD.u	|- ( ph -> U e. Fin )
lebnumlem1OLD.n	|- ( ph -> -. X e. U )
lebnumlem1OLD.f	|- F = ( y e. X |-> sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )

Assertion

Ref	Expression
lebnumlem1OLD	|- ( ph -> F : X --> RR+ )

Distinct variable groups:   y, k, z, D   k, J, y, z   U, k, y, z   ph, k, y, z   k, X, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z, k)

Proof of Theorem lebnumlem1OLD

Dummy variables m w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lebnumlem1OLD.u	. . . . 5 |- ( ph -> U e. Fin )
2	1	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> U e. Fin )
3		lebnum.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
4	3	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> D e. ( Met ` X ) )
5		difssd 3550	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> ( X \ k ) C_ X )
6		lebnum.s	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U C_ J )
7	6	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> U C_ J )
8	7	sselda 3418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> k e. J )
9		elssuni 4219	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. J -> k C_ U. J )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> k C_ U. J )
11		metxmet 21427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
12	3, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
13		lebnum.j	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( MetOpen ` D )
14	13	mopnuni 21534	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X = U. J )
16	15	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> X = U. J )
17	10, 16	sseqtr4d 3455	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> k C_ X )
18		lebnumlem1OLD.n	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. X e. U )
19		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = X -> ( k e. U <-> X e. U ) )
20	19	notbid 301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = X -> ( -. k e. U <-> -. X e. U ) )
21	18, 20	syl5ibrcom 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k = X -> -. k e. U ) )
22	21	necon2ad 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. U -> k =/= X ) )
23	22	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( k e. U -> k =/= X ) )
24	23	imp 436	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> k =/= X )
25		pssdifn0 3743	. . . . . . . 8 |- ( ( k C_ X /\ k =/= X ) -> ( X \ k ) =/= (/) )
26	17, 24, 25	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> ( X \ k ) =/= (/) )
27		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) = ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
28	27	metdsreOLD 21963	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( X \ k ) C_ X /\ ( X \ k ) =/= (/) ) -> ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> RR )
29	4, 5, 26, 28	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> RR )
30	27	fmpt 6058	. . . . . 6 |- ( A. y e. X sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR <-> ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> RR )
31	29, 30	sylibr 217	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> A. y e. X sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR )
32		simplr 770	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> y e. X )
33		rsp 2773	. . . . 5 |- ( A. y e. X sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR -> ( y e. X -> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR ) )
34	31, 32, 33	sylc 61	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR )
35	2, 34	fsumrecl 13877	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR )
36		lebnum.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> X = U. U )
37	36	eleq2d 2534	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. X <-> y e. U. U ) )
38	37	biimpa 492	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> y e. U. U )
39		eluni2 4194	. . . . 5 |- ( y e. U. U <-> E. m e. U y e. m )
40	38, 39	sylib 201	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> E. m e. U y e. m )
41		0red 9662	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> 0 e. RR )
42		simplr 770	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> y e. X )
43		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) = ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) )
44	43	metdsvalOLD 21957	. . . . . . 7 |- ( y e. X -> ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) = sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
45	42, 44	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) = sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
46	3	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
47		difssd 3550	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( X \ m ) C_ X )
48	6	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> U C_ J )
49		simprl 772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> m e. U )
50	48, 49	sseldd 3419	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> m e. J )
51		elssuni 4219	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. J -> m C_ U. J )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> m C_ U. J )
53	46, 11, 14	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> X = U. J )
54	52, 53	sseqtr4d 3455	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> m C_ X )
55		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = X -> ( m e. U <-> X e. U ) )
56	55	notbid 301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = X -> ( -. m e. U <-> -. X e. U ) )
57	18, 56	syl5ibrcom 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( m = X -> -. m e. U ) )
58	57	necon2ad 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( m e. U -> m =/= X ) )
59	58	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( m e. U -> m =/= X ) )
60	49, 59	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> m =/= X )
61		pssdifn0 3743	. . . . . . . . 9 |- ( ( m C_ X /\ m =/= X ) -> ( X \ m ) =/= (/) )
62	54, 60, 61	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( X \ m ) =/= (/) )
63	43	metdsreOLD 21963	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( X \ m ) C_ X /\ ( X \ m ) =/= (/) ) -> ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> RR )
64	46, 47, 62, 63	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> RR )
65	64, 42	ffvelrnd 6038	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) e. RR )
66	45, 65	eqeltrrd 2550	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR )
67	35	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR )
68	12	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
69	43	metdsfOLD 21958	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( X \ m ) C_ X ) -> ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
70	68, 47, 69	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
71	70, 42	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
72		elxrge0 11767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) e. RR* /\ 0 <_ ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) ) )
73	71, 72	sylib 201	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) e. RR* /\ 0 <_ ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) ) )
74	73	simprd 470	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> 0 <_ ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) )
75		elndif 3546	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. m -> -. y e. ( X \ m ) )
76	75	ad2antll 743	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> -. y e. ( X \ m ) )
77	53	difeq1d 3539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( X \ m ) = ( U. J \ m ) )
78	13	mopntop 21533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
79	68, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> J e. Top )
80		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. J = U. J
81	80	opncld 20125	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ m e. J ) -> ( U. J \ m ) e. ( Clsd ` J ) )
82	79, 50, 81	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( U. J \ m ) e. ( Clsd ` J ) )
83	77, 82	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( X \ m ) e. ( Clsd ` J ) )
84		cldcls 20134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X \ m ) e. ( Clsd ` J ) -> ( ( cls ` J ) ` ( X \ m ) ) = ( X \ m ) )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( X \ m ) ) = ( X \ m ) )
86	76, 85	neleqtrrd 2571	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> -. y e. ( ( cls ` J ) ` ( X \ m ) ) )
87	43, 13	metdseq0OLD 21964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( X \ m ) C_ X /\ y e. X ) -> ( ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) = 0 <-> y e. ( ( cls ` J ) ` ( X \ m ) ) ) )
88	68, 47, 42, 87	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) = 0 <-> y e. ( ( cls ` J ) ` ( X \ m ) ) ) )
89	88	necon3abid 2679	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) =/= 0 <-> -. y e. ( ( cls ` J ) ` ( X \ m ) ) ) )
90	86, 89	mpbird 240	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) =/= 0 )
91	65, 74, 90	ne0gt0d 9789	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> 0 < ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) )
92	91, 45	breqtrd 4420	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> 0 < sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
93	1	ad2antrr 740	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> U e. Fin )
94	34	adantlr 729	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) /\ k e. U ) -> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR )
95	12	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> D e. ( *Met ` X ) )
96	27	metdsfOLD 21958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( X \ k ) C_ X ) -> ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
97	95, 5, 96	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
98	27	fmpt 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. X sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
99	97, 98	sylibr 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> A. y e. X sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
100		rsp 2773	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. X sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. ( 0 [,] +oo ) -> ( y e. X -> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. ( 0 [,] +oo ) ) )
101	99, 32, 100	sylc 61	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
102		elxrge0 11767	. . . . . . . . 9 |- ( sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR* /\ 0 <_ sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) )
103	101, 102	sylib 201	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> ( sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR* /\ 0 <_ sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) )
104	103	simprd 470	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> 0 <_ sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
105	104	adantlr 729	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) /\ k e. U ) -> 0 <_ sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
106		difeq2 3534	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( X \ k ) = ( X \ m ) )
107	106	mpteq1d 4477	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) = ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) )
108	107	rneqd 5068	. . . . . . 7 |- ( k = m -> ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) = ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) )
109	108	supeq1d 7978	. . . . . 6 |- ( k = m -> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) = sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
110	93, 94, 105, 109, 49	fsumge1 13934	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) <_ sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
111	41, 66, 67, 92, 110	ltletrd 9812	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> 0 < sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
112	40, 111	rexlimddv 2875	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> 0 < sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
113	35, 112	elrpd 11361	. 2 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR+ )
114		lebnumlem1OLD.f	. 2 |- F = ( y e. X |-> sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
115	113, 114	fmptd 6061	1 |- ( ph -> F : X --> RR+ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   \ cdif 3387   C_ wss 3390   (/)c0 3722   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   RR+crp 11325   [,]cicc 11663   sum_csu 13829   *Metcxmt 19032   Metcme 19033   MetOpencmopn 19037   Topctop 19994   Clsdccld 20108   clsccl 20110   Compccmp 20478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113

This theorem is referenced by:  lebnumlem2OLD  22071  lebnumlem3OLD  22072