Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem1OLD Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lebnumlem1OLD 21985
 Description: Lemma for lebnum 21988. The function measures the sum of all of the distances to escape the sets of the cover. Since by assumption it is a cover, there is at least one set which covers a given point, and since it is open, the point is a positive distance from the edge of the set. Thus, the sum is a strictly positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) Obsolete version of lebnumlem1 21982 as of 20-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j
lebnum.d
lebnum.c
lebnum.s
lebnum.u
lebnumlem1OLD.u
lebnumlem1OLD.n
lebnumlem1OLD.f
Assertion
Ref Expression
lebnumlem1OLD
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem lebnumlem1OLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1OLD.u . . . . 5
21adantr 467 . . . 4
3 lebnum.d . . . . . . . 8
43ad2antrr 731 . . . . . . 7
5 difssd 3560 . . . . . . 7
6 lebnum.s . . . . . . . . . . . 12
76adantr 467 . . . . . . . . . . 11
87sselda 3431 . . . . . . . . . 10
9 elssuni 4226 . . . . . . . . . 10
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9
11 metxmet 21342 . . . . . . . . . . . 12
123, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11
13 lebnum.j . . . . . . . . . . . 12
1413mopnuni 21449 . . . . . . . . . . 11
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . 10
1615ad2antrr 731 . . . . . . . . 9
1710, 16sseqtr4d 3468 . . . . . . . 8
18 lebnumlem1OLD.n . . . . . . . . . . . 12
19 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . . 13
2019notbid 296 . . . . . . . . . . . 12
2118, 20syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . 11
2221necon2ad 2638 . . . . . . . . . 10
2322adantr 467 . . . . . . . . 9
2423imp 431 . . . . . . . 8
25 pssdifn0 3826 . . . . . . . 8
2617, 24, 25syl2anc 666 . . . . . . 7
27 eqid 2450 . . . . . . . 8
2827metdsreOLD 21878 . . . . . . 7
294, 5, 26, 28syl3anc 1267 . . . . . 6
3027fmpt 6041 . . . . . 6
3129, 30sylibr 216 . . . . 5
32 simplr 761 . . . . 5
33 rsp 2753 . . . . 5
3431, 32, 33sylc 62 . . . 4
352, 34fsumrecl 13793 . . 3
36 lebnum.u . . . . . . 7
3736eleq2d 2513 . . . . . 6
3837biimpa 487 . . . . 5
39 eluni2 4201 . . . . 5
4038, 39sylib 200 . . . 4
41 0red 9641 . . . . 5
42 simplr 761 . . . . . . 7
43 eqid 2450 . . . . . . . 8
4443metdsvalOLD 21872 . . . . . . 7
4542, 44syl 17 . . . . . 6
463ad2antrr 731 . . . . . . . 8
47 difssd 3560 . . . . . . . 8
486ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12
49 simprl 763 . . . . . . . . . . . 12
5048, 49sseldd 3432 . . . . . . . . . . 11
51 elssuni 4226 . . . . . . . . . . 11
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10
5346, 11, 143syl 18 . . . . . . . . . 10
5452, 53sseqtr4d 3468 . . . . . . . . 9
55 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . . . 14
5655notbid 296 . . . . . . . . . . . . 13
5718, 56syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . . 12
5857necon2ad 2638 . . . . . . . . . . 11
5958ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10
6049, 59mpd 15 . . . . . . . . 9
61 pssdifn0 3826 . . . . . . . . 9
6254, 60, 61syl2anc 666 . . . . . . . 8
6343metdsreOLD 21878 . . . . . . . 8
6446, 47, 62, 63syl3anc 1267 . . . . . . 7
6564, 42ffvelrnd 6021 . . . . . 6
6645, 65eqeltrrd 2529 . . . . 5
6735adantr 467 . . . . 5
6812ad2antrr 731 . . . . . . . . . . 11
6943metdsfOLD 21873 . . . . . . . . . . 11
7068, 47, 69syl2anc 666 . . . . . . . . . 10
7170, 42ffvelrnd 6021 . . . . . . . . 9
72 elxrge0 11738 . . . . . . . . 9
7371, 72sylib 200 . . . . . . . 8
7473simprd 465 . . . . . . 7
75 elndif 3556 . . . . . . . . . 10
7675ad2antll 734 . . . . . . . . 9
7753difeq1d 3549 . . . . . . . . . . 11
7813mopntop 21448 . . . . . . . . . . . . 13
7968, 78syl 17 . . . . . . . . . . . 12
80 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . 13
8180opncld 20041 . . . . . . . . . . . 12
8279, 50, 81syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11
8377, 82eqeltrd 2528 . . . . . . . . . 10
84 cldcls 20050 . . . . . . . . . 10
8583, 84syl 17 . . . . . . . . 9
8676, 85neleqtrrd 2550 . . . . . . . 8
8743, 13metdseq0OLD 21879 . . . . . . . . . 10
8868, 47, 42, 87syl3anc 1267 . . . . . . . . 9
8988necon3abid 2659 . . . . . . . 8
9086, 89mpbird 236 . . . . . . 7
9165, 74, 90ne0gt0d 9769 . . . . . 6
9291, 45breqtrd 4426 . . . . 5
931ad2antrr 731 . . . . . 6
9434adantlr 720 . . . . . 6
9512ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12
9627metdsfOLD 21873 . . . . . . . . . . . 12
9795, 5, 96syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11
9827fmpt 6041 . . . . . . . . . . 11
9997, 98sylibr 216 . . . . . . . . . 10
100 rsp 2753 . . . . . . . . . 10
10199, 32, 100sylc 62 . . . . . . . . 9
102 elxrge0 11738 . . . . . . . . 9
103101, 102sylib 200 . . . . . . . 8
104103simprd 465 . . . . . . 7
105104adantlr 720 . . . . . 6
106 difeq2 3544 . . . . . . . . 9
107106mpteq1d 4483 . . . . . . . 8
108107rneqd 5061 . . . . . . 7
109108supeq1d 7957 . . . . . 6
11093, 94, 105, 109, 49fsumge1 13850 . . . . 5
11141, 66, 67, 92, 110ltletrd 9792 . . . 4
11240, 111rexlimddv 2882 . . 3
11335, 112elrpd 11335 . 2
114 lebnumlem1OLD.f . 2
115113, 114fmptd 6044 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1443   wcel 1886   wne 2621  wral 2736  wrex 2737   cdif 3400   wss 3403  c0 3730  cuni 4197   class class class wbr 4401   cmpt 4460  ccnv 4832   crn 4834  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6288  cfn 7566  csup 7951  cr 9535  cc0 9536   cpnf 9669  cxr 9671   clt 9672   cle 9673  crp 11299  cicc 11635  csu 13745  cxmt 18948  cme 18949  cmopn 18953  ctop 19910  ccld 20024  ccl 20026  ccmp 20394 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-ec 7362  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029 This theorem is referenced by:  lebnumlem2OLD  21986  lebnumlem3OLD  21987
 Copyright terms: Public domain W3C validator