Theorem lebnumlem1OLD 21985

Description: Lemma for lebnum 21988. The function F measures the sum of all of the distances to escape the sets of the cover. Since by assumption it is a cover, there is at least one set which covers a given point, and since it is open, the point is a positive distance from the edge of the set. Thus, the sum is a strictly positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) Obsolete version of lebnumlem1 21982 as of 20-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lebnum.j	|- J = ( MetOpen ` D )
lebnum.d	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
lebnum.c	|- ( ph -> J e. Comp )
lebnum.s	|- ( ph -> U C_ J )
lebnum.u	|- ( ph -> X = U. U )
lebnumlem1OLD.u	|- ( ph -> U e. Fin )
lebnumlem1OLD.n	|- ( ph -> -. X e. U )
lebnumlem1OLD.f	|- F = ( y e. X |-> sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )

Assertion

Ref	Expression
lebnumlem1OLD	|- ( ph -> F : X --> RR+ )

Distinct variable groups:   y, k, z, D   k, J, y, z   U, k, y, z   ph, k, y, z   k, X, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z, k)

Proof of Theorem lebnumlem1OLD

Dummy variables m w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lebnumlem1OLD.u	. . . . 5 |- ( ph -> U e. Fin )
2	1	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> U e. Fin )
3		lebnum.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
4	3	ad2antrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> D e. ( Met ` X ) )
5		difssd 3560	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> ( X \ k ) C_ X )
6		lebnum.s	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U C_ J )
7	6	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> U C_ J )
8	7	sselda 3431	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> k e. J )
9		elssuni 4226	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. J -> k C_ U. J )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> k C_ U. J )
11		metxmet 21342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
12	3, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
13		lebnum.j	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( MetOpen ` D )
14	13	mopnuni 21449	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X = U. J )
16	15	ad2antrr 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> X = U. J )
17	10, 16	sseqtr4d 3468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> k C_ X )
18		lebnumlem1OLD.n	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. X e. U )
19		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = X -> ( k e. U <-> X e. U ) )
20	19	notbid 296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = X -> ( -. k e. U <-> -. X e. U ) )
21	18, 20	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k = X -> -. k e. U ) )
22	21	necon2ad 2638	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. U -> k =/= X ) )
23	22	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( k e. U -> k =/= X ) )
24	23	imp 431	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> k =/= X )
25		pssdifn0 3826	. . . . . . . 8 |- ( ( k C_ X /\ k =/= X ) -> ( X \ k ) =/= (/) )
26	17, 24, 25	syl2anc 666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> ( X \ k ) =/= (/) )
27		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) = ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
28	27	metdsreOLD 21878	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( X \ k ) C_ X /\ ( X \ k ) =/= (/) ) -> ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> RR )
29	4, 5, 26, 28	syl3anc 1267	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> RR )
30	27	fmpt 6041	. . . . . 6 |- ( A. y e. X sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR <-> ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> RR )
31	29, 30	sylibr 216	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> A. y e. X sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR )
32		simplr 761	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> y e. X )
33		rsp 2753	. . . . 5 |- ( A. y e. X sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR -> ( y e. X -> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR ) )
34	31, 32, 33	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR )
35	2, 34	fsumrecl 13793	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR )
36		lebnum.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> X = U. U )
37	36	eleq2d 2513	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. X <-> y e. U. U ) )
38	37	biimpa 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> y e. U. U )
39		eluni2 4201	. . . . 5 |- ( y e. U. U <-> E. m e. U y e. m )
40	38, 39	sylib 200	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> E. m e. U y e. m )
41		0red 9641	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> 0 e. RR )
42		simplr 761	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> y e. X )
43		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) = ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) )
44	43	metdsvalOLD 21872	. . . . . . 7 |- ( y e. X -> ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) = sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
45	42, 44	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) = sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
46	3	ad2antrr 731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
47		difssd 3560	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( X \ m ) C_ X )
48	6	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> U C_ J )
49		simprl 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> m e. U )
50	48, 49	sseldd 3432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> m e. J )
51		elssuni 4226	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. J -> m C_ U. J )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> m C_ U. J )
53	46, 11, 14	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> X = U. J )
54	52, 53	sseqtr4d 3468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> m C_ X )
55		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = X -> ( m e. U <-> X e. U ) )
56	55	notbid 296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = X -> ( -. m e. U <-> -. X e. U ) )
57	18, 56	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( m = X -> -. m e. U ) )
58	57	necon2ad 2638	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( m e. U -> m =/= X ) )
59	58	ad2antrr 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( m e. U -> m =/= X ) )
60	49, 59	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> m =/= X )
61		pssdifn0 3826	. . . . . . . . 9 |- ( ( m C_ X /\ m =/= X ) -> ( X \ m ) =/= (/) )
62	54, 60, 61	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( X \ m ) =/= (/) )
63	43	metdsreOLD 21878	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( X \ m ) C_ X /\ ( X \ m ) =/= (/) ) -> ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> RR )
64	46, 47, 62, 63	syl3anc 1267	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> RR )
65	64, 42	ffvelrnd 6021	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) e. RR )
66	45, 65	eqeltrrd 2529	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR )
67	35	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR )
68	12	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
69	43	metdsfOLD 21873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( X \ m ) C_ X ) -> ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
70	68, 47, 69	syl2anc 666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
71	70, 42	ffvelrnd 6021	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
72		elxrge0 11738	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) e. RR* /\ 0 <_ ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) ) )
73	71, 72	sylib 200	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) e. RR* /\ 0 <_ ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) ) )
74	73	simprd 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> 0 <_ ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) )
75		elndif 3556	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. m -> -. y e. ( X \ m ) )
76	75	ad2antll 734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> -. y e. ( X \ m ) )
77	53	difeq1d 3549	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( X \ m ) = ( U. J \ m ) )
78	13	mopntop 21448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
79	68, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> J e. Top )
80		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. J = U. J
81	80	opncld 20041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ m e. J ) -> ( U. J \ m ) e. ( Clsd ` J ) )
82	79, 50, 81	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( U. J \ m ) e. ( Clsd ` J ) )
83	77, 82	eqeltrd 2528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( X \ m ) e. ( Clsd ` J ) )
84		cldcls 20050	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X \ m ) e. ( Clsd ` J ) -> ( ( cls ` J ) ` ( X \ m ) ) = ( X \ m ) )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( X \ m ) ) = ( X \ m ) )
86	76, 85	neleqtrrd 2550	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> -. y e. ( ( cls ` J ) ` ( X \ m ) ) )
87	43, 13	metdseq0OLD 21879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( X \ m ) C_ X /\ y e. X ) -> ( ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) = 0 <-> y e. ( ( cls ` J ) ` ( X \ m ) ) ) )
88	68, 47, 42, 87	syl3anc 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) = 0 <-> y e. ( ( cls ` J ) ` ( X \ m ) ) ) )
89	88	necon3abid 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) =/= 0 <-> -. y e. ( ( cls ` J ) ` ( X \ m ) ) ) )
90	86, 89	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) =/= 0 )
91	65, 74, 90	ne0gt0d 9769	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> 0 < ( ( w e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( w D z ) ) , RR* , `' < ) ) ` y ) )
92	91, 45	breqtrd 4426	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> 0 < sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
93	1	ad2antrr 731	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> U e. Fin )
94	34	adantlr 720	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) /\ k e. U ) -> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR )
95	12	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> D e. ( *Met ` X ) )
96	27	metdsfOLD 21873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( X \ k ) C_ X ) -> ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
97	95, 5, 96	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
98	27	fmpt 6041	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. X sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( y e. X |-> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
99	97, 98	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> A. y e. X sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
100		rsp 2753	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. X sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. ( 0 [,] +oo ) -> ( y e. X -> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. ( 0 [,] +oo ) ) )
101	99, 32, 100	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
102		elxrge0 11738	. . . . . . . . 9 |- ( sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR* /\ 0 <_ sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) )
103	101, 102	sylib 200	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> ( sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR* /\ 0 <_ sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) ) )
104	103	simprd 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ k e. U ) -> 0 <_ sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
105	104	adantlr 720	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) /\ k e. U ) -> 0 <_ sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
106		difeq2 3544	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( X \ k ) = ( X \ m ) )
107	106	mpteq1d 4483	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) = ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) )
108	107	rneqd 5061	. . . . . . 7 |- ( k = m -> ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) = ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) )
109	108	supeq1d 7957	. . . . . 6 |- ( k = m -> sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) = sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
110	93, 94, 105, 109, 49	fsumge1 13850	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> sup ( ran ( z e. ( X \ m ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) <_ sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
111	41, 66, 67, 92, 110	ltletrd 9792	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ ( m e. U /\ y e. m ) ) -> 0 < sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
112	40, 111	rexlimddv 2882	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> 0 < sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
113	35, 112	elrpd 11335	. 2 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) e. RR+ )
114		lebnumlem1OLD.f	. 2 |- F = ( y e. X |-> sum_ k e. U sup ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , `' < ) )
115	113, 114	fmptd 6044	1 |- ( ph -> F : X --> RR+ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   \ cdif 3400   C_ wss 3403   (/)c0 3730   U.cuni 4197   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   `'ccnv 4832   ran crn 4834   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   supcsup 7951   RRcr 9535   0cc0 9536   +oocpnf 9669   RR*cxr 9671   < clt 9672   <_ cle 9673   RR+crp 11299   [,]cicc 11635   sum_csu 13745   *Metcxmt 18948   Metcme 18949   MetOpencmopn 18953   Topctop 19910   Clsdccld 20024   clsccl 20026   Compccmp 20394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-ec 7362  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029

This theorem is referenced by:  lebnumlem2OLD  21986  lebnumlem3OLD  21987