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Theorem lebnumlem1 20538
Description: Lemma for lebnum 20541. The function  F measures the sum of all of the distances to escape the sets of the cover. Since by assumption it is a cover, there is at least one set which covers a given point, and since it is open, the point is a positive distance from the edge of the set. Thus, the sum is a strictly positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
lebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
lebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
lebnumlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
lebnumlem1.n  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
lebnumlem1.f  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
Assertion
Ref Expression
lebnumlem1  |-  ( ph  ->  F : X --> RR+ )
Distinct variable groups:    y, k,
z, D    k, J, y, z    U, k, y, z    ph, k, y, z   
k, X, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z, k)

Proof of Theorem lebnumlem1
Dummy variables  m  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  U  e.  Fin )
3 lebnum.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
43ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
5 difssd 3489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k )  C_  X )
6 lebnum.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
76adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  U  C_  J )
87sselda 3361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  k  e.  J )
9 elssuni 4126 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  J  ->  k  C_ 
U. J )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  k  C_ 
U. J )
11 metxmet 19914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
123, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
13 lebnum.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
1413mopnuni 20021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
1512, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  X  =  U. J )
1710, 16sseqtr4d 3398 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  k  C_  X )
18 lebnumlem1.n . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
19 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  X  ->  (
k  e.  U  <->  X  e.  U ) )
2019notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  X  ->  ( -.  k  e.  U  <->  -.  X  e.  U ) )
2118, 20syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  =  X  ->  -.  k  e.  U ) )
2221necon2ad 2664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  ->  k  =/=  X ) )
2322adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
k  e.  U  -> 
k  =/=  X ) )
2423imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  k  =/=  X )
25 pssdifn0 3745 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  C_  X  /\  k  =/=  X )  -> 
( X  \  k
)  =/=  (/) )
2617, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k )  =/=  (/) )
27 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2827metdsre 20434 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( X  \  k )  C_  X  /\  ( X  \ 
k )  =/=  (/) )  -> 
( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
294, 5, 26, 28syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
3027fmpt 5869 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR  <->  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
3129, 30sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
32 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  y  e.  X )
33 rsp 2781 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR  ->  (
y  e.  X  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR ) )
3431, 32, 33sylc 60 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
352, 34fsumrecl 13216 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
36 lebnum.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
3736eleq2d 2510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  X  <->  y  e.  U. U ) )
3837biimpa 484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  U. U )
39 eluni2 4100 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. U  <->  E. m  e.  U  y  e.  m )
4038, 39sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  E. m  e.  U  y  e.  m )
41 0red 9392 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  e.  RR )
42 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  y  e.  X )
43 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
4443metdsval 20428 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  ->  (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
4542, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
463ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
47 difssd 3489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( X  \  m )  C_  X
)
486ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  U  C_  J
)
49 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  e.  U )
5048, 49sseldd 3362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  e.  J )
51 elssuni 4126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  J  ->  m  C_ 
U. J )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  C_  U. J
)
5346, 11, 143syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  X  =  U. J )
5452, 53sseqtr4d 3398 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  C_  X
)
55 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  X  ->  (
m  e.  U  <->  X  e.  U ) )
5655notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  X  ->  ( -.  m  e.  U  <->  -.  X  e.  U ) )
5718, 56syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( m  =  X  ->  -.  m  e.  U ) )
5857necon2ad 2664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( m  e.  U  ->  m  =/=  X ) )
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( m  e.  U  ->  m  =/= 
X ) )
6049, 59mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  =/=  X )
61 pssdifn0 3745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  C_  X  /\  m  =/=  X )  -> 
( X  \  m
)  =/=  (/) )
6254, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( X  \  m )  =/=  (/) )
6343metdsre 20434 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( X  \  m )  C_  X  /\  ( X  \  m )  =/=  (/) )  -> 
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
6446, 47, 62, 63syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
6564, 42ffvelrnd 5849 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  e.  RR )
6645, 65eqeltrrd 2518 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
6735adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
6812ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
6943metdsf 20429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( X  \  m )  C_  X
)  ->  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
7068, 47, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
7170, 42ffvelrnd 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
72 elxrge0 11399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
) ) )
7371, 72sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
) ) )
7473simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  <_  ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
) )
75 elndif 3485 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  m  ->  -.  y  e.  ( X  \  m ) )
7675ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  -.  y  e.  ( X  \  m
) )
7753difeq1d 3478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( X  \  m )  =  ( U. J  \  m
) )
7813mopntop 20020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
7968, 78syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  J  e.  Top )
80 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
8180opncld 18642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  m  e.  J )  ->  ( U. J  \  m )  e.  (
Clsd `  J )
)
8279, 50, 81syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( U. J  \  m )  e.  ( Clsd `  J
) )
8377, 82eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( X  \  m )  e.  (
Clsd `  J )
)
84 cldcls 18651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  \  m )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  m
) )  =  ( X  \  m ) )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  m
) )  =  ( X  \  m ) )
8676, 85neleqtrrd 2540 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  -.  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  m ) ) )
8743, 13metdseq0 20435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( X  \  m )  C_  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  =  0  <->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  m ) ) ) )
8868, 47, 42, 87syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  =  0  <->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  m ) ) ) )
8988necon3abid 2646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  =/=  0  <->  -.  y  e.  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  m
) ) ) )
9086, 89mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  =/=  0 )
9165, 74, 90ne0gt0d 9516 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  <  ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
) )
9291, 45breqtrd 4321 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  <  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
931ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  U  e.  Fin )
9434adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( m  e.  U  /\  y  e.  m
) )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
9512ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
9627metdsf 20429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( X  \ 
k )  C_  X
)  ->  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
9795, 5, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
9827fmpt 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
9997, 98sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
100 rsp 2781 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( y  e.  X  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
10199, 32, 100sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
102 elxrge0 11399 . . . . . . . . 9  |-  ( sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR*  /\  0  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
103101, 102sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR*  /\  0  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
104103simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  0  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
105104adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( m  e.  U  /\  y  e.  m
) )  /\  k  e.  U )  ->  0  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
106 difeq2 3473 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  ( X  \  k )  =  ( X  \  m
) )
107106mpteq1d 4378 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) )  =  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( y D z ) ) )
108107rneqd 5072 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) )  =  ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) )
109108supeq1d 7701 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
11093, 94, 105, 109, 49fsumge1 13265 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
11141, 66, 67, 92, 110ltletrd 9536 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  <  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  ) )
11240, 111rexlimddv 2850 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  0  <  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
11335, 112elrpd 11030 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR+ )
114 lebnumlem1.f . 2  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
115113, 114fmptd 5872 1  |-  ( ph  ->  F : X --> RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721    \ cdif 3330    C_ wss 3333   (/)c0 3642   U.cuni 4096   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   `'ccnv 4844   ran crn 4846   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Fincfn 7315   supcsup 7695   RRcr 9286   0cc0 9287   +oocpnf 9420   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424   RR+crp 10996   [,]cicc 11308   sum_csu 13168   *Metcxmt 17806   Metcme 17807   MetOpencmopn 17811   Topctop 18503   Clsdccld 18625   clsccl 18627   Compccmp 18994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-ec 7108  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-sum 13169  df-topgen 14387  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630
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