Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem1 Unicode version

Theorem lebnumlem1 18939
 Description: Lemma for lebnum 18942. The function measures the sum of all of the distances to escape the sets of the cover. Since by assumption it is a cover, there is at least one set which covers a given point, and since it is open, the point is a positive distance from the edge of the set. Thus, the sum is a strictly positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j
lebnum.d
lebnum.c
lebnum.s
lebnum.u
lebnumlem1.u
lebnumlem1.n
lebnumlem1.f
Assertion
Ref Expression
lebnumlem1
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem lebnumlem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.u . . . . 5
21adantr 452 . . . 4
3 lebnum.d . . . . . . . 8
43ad2antrr 707 . . . . . . 7
5 difssd 3435 . . . . . . 7
6 lebnum.s . . . . . . . . . . . 12
76adantr 452 . . . . . . . . . . 11
87sselda 3308 . . . . . . . . . 10
9 elssuni 4003 . . . . . . . . . 10
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9
11 metxmet 18317 . . . . . . . . . . . 12
123, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11
13 lebnum.j . . . . . . . . . . . 12
1413mopnuni 18424 . . . . . . . . . . 11
1512, 14syl 16 . . . . . . . . . 10
1615ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
1710, 16sseqtr4d 3345 . . . . . . . 8
18 lebnumlem1.n . . . . . . . . . . . 12
19 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . 13
2019notbid 286 . . . . . . . . . . . 12
2118, 20syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . 11
2221necon2ad 2615 . . . . . . . . . 10
2322adantr 452 . . . . . . . . 9
2423imp 419 . . . . . . . 8
25 pssdifn0 3649 . . . . . . . 8
2617, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . 7
27 eqid 2404 . . . . . . . 8
2827metdsre 18836 . . . . . . 7
294, 5, 26, 28syl3anc 1184 . . . . . 6
3027fmpt 5849 . . . . . 6
3129, 30sylibr 204 . . . . 5
32 simplr 732 . . . . 5
33 rsp 2726 . . . . 5
3431, 32, 33sylc 58 . . . 4
352, 34fsumrecl 12483 . . 3
36 lebnum.u . . . . . . 7
3736eleq2d 2471 . . . . . 6
3837biimpa 471 . . . . 5
39 eluni2 3979 . . . . 5
4038, 39sylib 189 . . . 4
41 0re 9047 . . . . . 6
4241a1i 11 . . . . 5
43 simplr 732 . . . . . . 7
44 eqid 2404 . . . . . . . 8
4544metdsval 18830 . . . . . . 7
4643, 45syl 16 . . . . . 6
473ad2antrr 707 . . . . . . . 8
48 difssd 3435 . . . . . . . 8
496ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
50 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12
5149, 50sseldd 3309 . . . . . . . . . . 11
52 elssuni 4003 . . . . . . . . . . 11
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . 10
5447, 11, 143syl 19 . . . . . . . . . 10
5553, 54sseqtr4d 3345 . . . . . . . . 9
56 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . 14
5756notbid 286 . . . . . . . . . . . . 13
5818, 57syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . 12
5958necon2ad 2615 . . . . . . . . . . 11
6059ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
6150, 60mpd 15 . . . . . . . . 9
62 pssdifn0 3649 . . . . . . . . 9
6355, 61, 62syl2anc 643 . . . . . . . 8
6444metdsre 18836 . . . . . . . 8
6547, 48, 63, 64syl3anc 1184 . . . . . . 7
6665, 43ffvelrnd 5830 . . . . . 6
6746, 66eqeltrrd 2479 . . . . 5
6835adantr 452 . . . . 5
6912ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
7044metdsf 18831 . . . . . . . . . . 11
7169, 48, 70syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
7271, 43ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9
73 elxrge0 10964 . . . . . . . . 9
7472, 73sylib 189 . . . . . . . 8
7574simprd 450 . . . . . . 7
76 elndif 3431 . . . . . . . . . 10
7776ad2antll 710 . . . . . . . . 9
7854difeq1d 3424 . . . . . . . . . . 11
7913mopntop 18423 . . . . . . . . . . . . 13
8069, 79syl 16 . . . . . . . . . . . 12
81 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13
8281opncld 17052 . . . . . . . . . . . 12
8380, 51, 82syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
8478, 83eqeltrd 2478 . . . . . . . . . 10
85 cldcls 17061 . . . . . . . . . 10
8684, 85syl 16 . . . . . . . . 9
8777, 86neleqtrrd 2500 . . . . . . . 8
8844, 13metdseq0 18837 . . . . . . . . . 10
8969, 48, 43, 88syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
9089necon3abid 2600 . . . . . . . 8
9187, 90mpbird 224 . . . . . . 7
9266, 75, 91ne0gt0d 9166 . . . . . 6
9392, 46breqtrd 4196 . . . . 5
941ad2antrr 707 . . . . . 6
9534adantlr 696 . . . . . 6
9612ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
9727metdsf 18831 . . . . . . . . . . . 12
9896, 5, 97syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
9927fmpt 5849 . . . . . . . . . . 11
10098, 99sylibr 204 . . . . . . . . . 10
101 rsp 2726 . . . . . . . . . 10
102100, 32, 101sylc 58 . . . . . . . . 9
103 elxrge0 10964 . . . . . . . . 9
104102, 103sylib 189 . . . . . . . 8
105104simprd 450 . . . . . . 7
106105adantlr 696 . . . . . 6
107 difeq2 3419 . . . . . . . . 9
108107mpteq1d 4250 . . . . . . . 8
109108rneqd 5056 . . . . . . 7
110109supeq1d 7409 . . . . . 6
11194, 95, 106, 110, 50fsumge1 12531 . . . . 5
11242, 67, 68, 93, 111ltletrd 9186 . . . 4
11340, 112rexlimddv 2794 . . 3
11435, 113elrpd 10602 . 2
115 lebnumlem1.f . 2
116114, 115fmptd 5852 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666  wrex 2667   cdif 3277   wss 3280  c0 3588  cuni 3975   class class class wbr 4172   cmpt 4226  ccnv 4836   crn 4838  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cfn 7068  csup 7403  cr 8945  cc0 8946   cpnf 9073  cxr 9075   clt 9076   cle 9077  crp 10568  cicc 10875  csu 12434  cxmt 16641  cme 16642  cmopn 16646  ctop 16913  ccld 17035  ccl 17037  ccmp 17403 This theorem is referenced by:  lebnumlem2  18940  lebnumlem3  18941 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040
 Copyright terms: Public domain W3C validator