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Theorem lebnumlem1 21586
Description: Lemma for lebnum 21589. The function  F measures the sum of all of the distances to escape the sets of the cover. Since by assumption it is a cover, there is at least one set which covers a given point, and since it is open, the point is a positive distance from the edge of the set. Thus, the sum is a strictly positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
lebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
lebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
lebnumlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
lebnumlem1.n  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
lebnumlem1.f  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
Assertion
Ref Expression
lebnumlem1  |-  ( ph  ->  F : X --> RR+ )
Distinct variable groups:    y, k,
z, D    k, J, y, z    U, k, y, z    ph, k, y, z   
k, X, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z, k)

Proof of Theorem lebnumlem1
Dummy variables  m  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  U  e.  Fin )
3 lebnum.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
43ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
5 difssd 3628 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k )  C_  X )
6 lebnum.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
76adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  U  C_  J )
87sselda 3499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  k  e.  J )
9 elssuni 4281 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  J  ->  k  C_ 
U. J )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  k  C_ 
U. J )
11 metxmet 20962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
123, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
13 lebnum.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
1413mopnuni 21069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
1512, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  X  =  U. J )
1710, 16sseqtr4d 3536 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  k  C_  X )
18 lebnumlem1.n . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
19 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  X  ->  (
k  e.  U  <->  X  e.  U ) )
2019notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  X  ->  ( -.  k  e.  U  <->  -.  X  e.  U ) )
2118, 20syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  =  X  ->  -.  k  e.  U ) )
2221necon2ad 2670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  ->  k  =/=  X ) )
2322adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
k  e.  U  -> 
k  =/=  X ) )
2423imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  k  =/=  X )
25 pssdifn0 3891 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  C_  X  /\  k  =/=  X )  -> 
( X  \  k
)  =/=  (/) )
2617, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k )  =/=  (/) )
27 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2827metdsre 21482 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( X  \  k )  C_  X  /\  ( X  \ 
k )  =/=  (/) )  -> 
( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
294, 5, 26, 28syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
3027fmpt 6053 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR  <->  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
3129, 30sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
32 simplr 755 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  y  e.  X )
33 rsp 2823 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR  ->  (
y  e.  X  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR ) )
3431, 32, 33sylc 60 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
352, 34fsumrecl 13567 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
36 lebnum.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
3736eleq2d 2527 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  X  <->  y  e.  U. U ) )
3837biimpa 484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  U. U )
39 eluni2 4255 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. U  <->  E. m  e.  U  y  e.  m )
4038, 39sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  E. m  e.  U  y  e.  m )
41 0red 9614 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  e.  RR )
42 simplr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  y  e.  X )
43 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
4443metdsval 21476 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  ->  (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
4542, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
463ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
47 difssd 3628 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( X  \  m )  C_  X
)
486ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  U  C_  J
)
49 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  e.  U )
5048, 49sseldd 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  e.  J )
51 elssuni 4281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  J  ->  m  C_ 
U. J )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  C_  U. J
)
5346, 11, 143syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  X  =  U. J )
5452, 53sseqtr4d 3536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  C_  X
)
55 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  X  ->  (
m  e.  U  <->  X  e.  U ) )
5655notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  X  ->  ( -.  m  e.  U  <->  -.  X  e.  U ) )
5718, 56syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( m  =  X  ->  -.  m  e.  U ) )
5857necon2ad 2670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( m  e.  U  ->  m  =/=  X ) )
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( m  e.  U  ->  m  =/= 
X ) )
6049, 59mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  =/=  X )
61 pssdifn0 3891 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  C_  X  /\  m  =/=  X )  -> 
( X  \  m
)  =/=  (/) )
6254, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( X  \  m )  =/=  (/) )
6343metdsre 21482 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( X  \  m )  C_  X  /\  ( X  \  m )  =/=  (/) )  -> 
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
6446, 47, 62, 63syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
6564, 42ffvelrnd 6033 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  e.  RR )
6645, 65eqeltrrd 2546 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
6735adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
6812ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
6943metdsf 21477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( X  \  m )  C_  X
)  ->  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
7068, 47, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
7170, 42ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
72 elxrge0 11654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
) ) )
7371, 72sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
) ) )
7473simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  <_  ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
) )
75 elndif 3624 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  m  ->  -.  y  e.  ( X  \  m ) )
7675ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  -.  y  e.  ( X  \  m
) )
7753difeq1d 3617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( X  \  m )  =  ( U. J  \  m
) )
7813mopntop 21068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
7968, 78syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  J  e.  Top )
80 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
8180opncld 19660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  m  e.  J )  ->  ( U. J  \  m )  e.  (
Clsd `  J )
)
8279, 50, 81syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( U. J  \  m )  e.  ( Clsd `  J
) )
8377, 82eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( X  \  m )  e.  (
Clsd `  J )
)
84 cldcls 19669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  \  m )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  m
) )  =  ( X  \  m ) )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  m
) )  =  ( X  \  m ) )
8676, 85neleqtrrd 2570 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  -.  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  m ) ) )
8743, 13metdseq0 21483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( X  \  m )  C_  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  =  0  <->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  m ) ) ) )
8868, 47, 42, 87syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  =  0  <->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  m ) ) ) )
8988necon3abid 2703 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  =/=  0  <->  -.  y  e.  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  m
) ) ) )
9086, 89mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  =/=  0 )
9165, 74, 90ne0gt0d 9739 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  <  ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
) )
9291, 45breqtrd 4480 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  <  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
931ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  U  e.  Fin )
9434adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( m  e.  U  /\  y  e.  m
) )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
9512ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
9627metdsf 21477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( X  \ 
k )  C_  X
)  ->  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
9795, 5, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
9827fmpt 6053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] +oo ) )
9997, 98sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
100 rsp 2823 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( y  e.  X  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
10199, 32, 100sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
102 elxrge0 11654 . . . . . . . . 9  |-  ( sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR*  /\  0  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
103101, 102sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR*  /\  0  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
104103simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  0  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
105104adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( m  e.  U  /\  y  e.  m
) )  /\  k  e.  U )  ->  0  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
106 difeq2 3612 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  ( X  \  k )  =  ( X  \  m
) )
107106mpteq1d 4538 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) )  =  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( y D z ) ) )
108107rneqd 5240 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) )  =  ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) )
109108supeq1d 7923 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
11093, 94, 105, 109, 49fsumge1 13622 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
11141, 66, 67, 92, 110ltletrd 9759 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  <  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  ) )
11240, 111rexlimddv 2953 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  0  <  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
11335, 112elrpd 11279 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR+ )
114 lebnumlem1.f . 2  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
115113, 114fmptd 6056 1  |-  ( ph  ->  F : X --> RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    \ cdif 3468    C_ wss 3471   (/)c0 3793   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   ran crn 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   RR+crp 11245   [,]cicc 11557   sum_csu 13519   *Metcxmt 18529   Metcme 18530   MetOpencmopn 18534   Topctop 19520   Clsdccld 19643   clsccl 19645   Compccmp 20012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-topgen 14860  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648
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