Theorem leatom 17005

Description: A poset element less than or equal to an atom equals either zero or the atom. (Th. atss 11918 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
leatom.b	|- B = (base` K)
leatom.l	|- L = (le` K)
leatom.z	|- Z = (0.` K)
leatom.a	|- A = (AtomsNEW` K)

Assertion

Ref	Expression
leatom	|- ((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) -> (XLP <-> (X = P \/ X = Z)))

Proof of Theorem leatom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leatom.b	. . . . . 6 |- B = (base` K)
2		leatom.l	. . . . . 6 |- L = (le` K)
3		leatom.z	. . . . . 6 |- Z = (0.` K)
4	1, 2, 3	op0le 16916	. . . . 5 |- ((K e. OP /\ X e. B) -> ZLX)
5	4	3adant3 896	. . . 4 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) -> ZLX)
6	5	biantrurd 796	. . 3 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) -> (XLP <-> (ZLX /\ XLP)))
7		opposet 16912	. . . . . 6 |- (K e. OP -> K e. PosetNEW)
8	7	3ad2ant1 897	. . . . 5 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) -> K e. PosetNEW)
9	1, 3	op0cl 16914	. . . . . . 7 |- (K e. OP -> Z e. B)
10		leatom.a	. . . . . . . 8 |- A = (AtomsNEW` K)
11	1, 10	atombase 17003	. . . . . . 7 |- (P e. A -> P e. B)
12		id 73	. . . . . . 7 |- (X e. B -> X e. B)
13	9, 11, 12	3anim123i 1053	. . . . . 6 |- ((K e. OP /\ P e. A /\ X e. B) -> (Z e. B /\ P e. B /\ X e. B))
14	13	3com23 1074	. . . . 5 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) -> (Z e. B /\ P e. B /\ X e. B))
15		eqid 1884	. . . . . . . 8 |- ( <oNEW ` K) = ( <oNEW ` K)
16	1, 3, 15, 10	isatom 17001	. . . . . . 7 |- (K e. OP -> (P e. A <-> (P e. B /\ Z( <oNEW ` K)P)))
17	16	simplbda 465	. . . . . 6 |- ((K e. OP /\ P e. A) -> Z( <oNEW ` K)P)
18	17	3adant2 895	. . . . 5 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) -> Z( <oNEW ` K)P)
19	1, 2, 15	cvrnbtwn4 16996	. . . . 5 |- ((K e. PosetNEW /\ (Z e. B /\ P e. B /\ X e. B) /\ Z( <oNEW ` K)P) -> ((ZLX /\ XLP) <-> (Z = X \/ X = P)))
20	8, 14, 18, 19	syl111anc 1100	. . . 4 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) -> ((ZLX /\ XLP) <-> (Z = X \/ X = P)))
21		eqcom 1886	. . . . 5 |- (Z = X <-> X = Z)
22	21	orbi1i 276	. . . 4 |- ((Z = X \/ X = P) <-> (X = Z \/ X = P))
23	20, 22	syl6bb 595	. . 3 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) -> ((ZLX /\ XLP) <-> (X = Z \/ X = P)))
24	6, 23	bitrd 587	. 2 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) -> (XLP <-> (X = Z \/ X = P)))
25		orcom 266	. 2 |- ((X = Z \/ X = P) <-> (X = P \/ X = Z))
26	24, 25	syl6bb 595	1 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) -> (XLP <-> (X = P \/ X = Z)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  lecple 16759  PosetNEWcpo 16760  0.cp0 16832  OPcops 16837   <o_NEW ccvr 16980  AtomsNEWcatm 16981

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-mpt 5006  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-plt 16780  df-pge 16792  df-glb 16800  df-p0 16841  df-oposet 16905  df-covers 16984  df-atoms 16985

Copyright terms: Public domain