MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leaddsub Structured version   Unicode version

Theorem leaddsub 9820
Description: 'Less than or equal to' relationship between addition and subtraction. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
leaddsub  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  +  B
)  <_  C  <->  A  <_  ( C  -  B ) ) )

Proof of Theorem leaddsub
StepHypRef Expression
1 ltsubadd 9814 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( C  -  B
)  <  A  <->  C  <  ( A  +  B ) ) )
213com13 1192 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( C  -  B
)  <  A  <->  C  <  ( A  +  B ) ) )
3 resubcl 9678 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
4 ltnle 9459 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  -  B
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( C  -  B )  <  A  <->  -.  A  <_  ( C  -  B ) ) )
53, 4sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( C  -  B )  < 
A  <->  -.  A  <_  ( C  -  B ) ) )
653impa 1182 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( C  -  B
)  <  A  <->  -.  A  <_  ( C  -  B
) ) )
763com13 1192 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( C  -  B
)  <  A  <->  -.  A  <_  ( C  -  B
) ) )
8 readdcl 9370 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
9 ltnle 9459 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR  /\  ( A  +  B
)  e.  RR )  ->  ( C  < 
( A  +  B
)  <->  -.  ( A  +  B )  <_  C
) )
108, 9sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  ( C  <  ( A  +  B
)  <->  -.  ( A  +  B )  <_  C
) )
11103impb 1183 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  <  ( A  +  B )  <->  -.  ( A  +  B )  <_  C ) )
12113coml 1194 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( C  <  ( A  +  B )  <->  -.  ( A  +  B )  <_  C ) )
132, 7, 123bitr3rd 284 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( -.  ( A  +  B
)  <_  C  <->  -.  A  <_  ( C  -  B
) ) )
1413con4bid 293 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  +  B
)  <_  C  <->  A  <_  ( C  -  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   class class class wbr 4297  (class class class)co 6096   RRcr 9286    + caddc 9290    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603
This theorem is referenced by:  leaddsub2  9821  lesub  9823  lesub2  9839  subge0  9857  eluzp1m1  10889  eluzsubi  10893  fzen  11472  fznatpl1  11515  expmulnbnd  12001  hashdvds  13855  sylow1lem5  16106  gsumbagdiaglem  17450  voliunlem2  21037  itg2split  21232  dvfsumlem3  21505  pilem2  21922  logimul  22068  emcllem2  22395  chtublem  22555  dchrisum0re  22767  pntlemg  22852  totbndbnd  28693
  Copyright terms: Public domain W3C validator