MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leadd2dd Structured version   Unicode version

Theorem leadd2dd 10156
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
leadd1dd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
leadd2dd  |-  ( ph  ->  ( C  +  A
)  <_  ( C  +  B ) )

Proof of Theorem leadd2dd
StepHypRef Expression
1 leadd1dd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4leadd2d 10136 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( C  +  A )  <_  ( C  +  B ) ) )
61, 5mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( C  +  A
)  <_  ( C  +  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   RRcr 9480    + caddc 9484    <_ cle 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623
This theorem is referenced by:  expmulnbnd  12253  discr1  12257  hashun2  12406  abstri  13112  iseraltlem2  13454  prmreclem4  14285  tchcphlem1  21406  trirn  21555  nulmbl2  21675  voliunlem1  21688  uniioombllem4  21723  itg2split  21884  ulmcn  22521  abslogle  22724  emcllem2  23047  chtublem  23207  chtub  23208  logfaclbnd  23218  bcmax  23274  chebbnd1lem2  23376  rplogsumlem1  23390  selberglem2  23452  selbergb  23455  chpdifbndlem1  23459  pntpbnd1a  23491  pntpbnd2  23493  pntibndlem2  23497  pntibndlem3  23498  pntlemg  23504  pntlemr  23508  pntlemk  23512  pntlemo  23513  ostth2lem3  23541  smcnlem  25133  minvecolem3  25318  staddi  26691  stadd3i  26693  nexple  27495  lgambdd  28069  rescon  28181  itg2addnc  29497  ftc1anclem8  29525  pell1qrgaplem  30264  dvdivbd  31072  ioodvbdlimc1lem2  31081  stoweidlem11  31130  stoweidlem26  31145  stirlinglem8  31200  stirlinglem12  31204  fourierdlem30  31256  fourierdlem47  31273  fourierdlem72  31298  fourierdlem103  31329  fourierdlem104  31330  fourierdlem111  31337  p1lep2  31610
  Copyright terms: Public domain W3C validator