MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leadd1dd Structured version   Unicode version

Theorem leadd1dd 9956
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
leadd1dd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
leadd1dd  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  <_  ( B  +  C ) )

Proof of Theorem leadd1dd
StepHypRef Expression
1 leadd1dd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4leadd1d 9936 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  +  C )  <_  ( B  +  C ) ) )
61, 5mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  <_  ( B  +  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   class class class wbr 4295  (class class class)co 6094   RRcr 9284    + caddc 9288    <_ cle 9422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-uni 4095  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6097  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  10986  xleadd1a  11219  fzoaddel  11600  fladdz  11673  ltdifltdiv  11681  bernneq3  11995  caucvgrlem  13153  eirrlem  13489  vdwlem3  14047  vdwlem9  14053  vdwlem10  14054  2expltfac  14122  pcoass  20599  trirn  20902  minveclem2  20916  ovolfiniun  20987  ovolshftlem1  20995  unmbl  21022  uniioombllem5  21070  opnmbllem  21084  vitalilem2  21092  itg2split  21230  dvfsumlem2  21502  dvfsumlem4  21504  dvfsum2  21509  fta1glem2  21641  coemullem  21720  fta1lem  21776  leibpi  22340  log2tlbnd  22343  jensenlem2  22384  harmonicubnd  22406  harmonicbnd4  22407  ppiub  22546  bcmono  22619  bposlem5  22630  mulog2sumlem2  22787  selberg2lem  22802  chpdifbndlem1  22805  pntrlog2bndlem2  22830  pntpbnd2  22839  pntibndlem2  22843  pntlemg  22850  pntlemk  22858  pntlemo  22859  qabvle  22877  ostth2lem3  22887  minvecolem2  24279  nndiffz1  26078  reofld  26311  dya2icoseg  26695  lgamgulmlem5  27022  lgambdd  27026  rescon  27138  supaddc  28420  opnmbllem0  28430  itg2addnclem3  28448  bfplem2  28725  pellexlem2  29174  rmygeid  29310  jm3.1lem2  29370  climsuselem1  29783  stoweidlem1  29799  stoweidlem11  29809  stoweidlem14  29812  stoweidlem26  29824  stoweidlem44  29842  stirlinglem11  29882
  Copyright terms: Public domain W3C validator