MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leadd1dd Structured version   Unicode version

Theorem leadd1dd 10173
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
leadd1dd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
leadd1dd  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  <_  ( B  +  C ) )

Proof of Theorem leadd1dd
StepHypRef Expression
1 leadd1dd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4leadd1d 10153 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  +  C )  <_  ( B  +  C ) ) )
61, 5mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  <_  ( B  +  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   RRcr 9494    + caddc 9498    <_ cle 9632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  11222  xleadd1a  11455  fzoaddel  11854  fladdz  11939  ltdifltdiv  11947  bernneq3  12275  caucvgrlem  13476  eirrlem  13918  vdwlem3  14482  vdwlem9  14488  vdwlem10  14489  2expltfac  14558  pcoass  21501  trirn  21804  minveclem2  21818  ovolfiniun  21889  ovolshftlem1  21897  unmbl  21925  uniioombllem5  21973  opnmbllem  21987  vitalilem2  21995  itg2split  22133  dvfsumlem2  22405  dvfsumlem4  22407  dvfsum2  22412  fta1glem2  22544  coemullem  22623  fta1lem  22679  leibpi  23249  log2tlbnd  23252  jensenlem2  23293  harmonicubnd  23315  harmonicbnd4  23316  ppiub  23455  bcmono  23528  bposlem5  23539  mulog2sumlem2  23696  selberg2lem  23711  chpdifbndlem1  23714  pntrlog2bndlem2  23739  pntpbnd2  23748  pntibndlem2  23752  pntlemg  23759  pntlemk  23767  pntlemo  23768  qabvle  23786  ostth2lem3  23796  minvecolem2  25767  nndiffz1  27572  reofld  27807  dya2icoseg  28225  lgamgulmlem5  28552  lgambdd  28556  rescon  28668  supaddc  30016  opnmbllem0  30025  itg2addnclem3  30043  bfplem2  30294  pellexlem2  30741  rmygeid  30877  jm3.1lem2  30935  fzisoeu  31449  absnpncan2d  31451  absnpncan3d  31456  iccshift  31494  climsuselem1  31521  sumnnodd  31544  dvbdfbdioolem2  31630  ioodvbdlimc1lem1  31632  ioodvbdlimc1lem2  31633  ioodvbdlimc2lem  31635  iblspltprt  31662  itgspltprt  31668  itgiccshift  31669  itgperiod  31670  stoweidlem1  31672  stoweidlem11  31682  stoweidlem14  31685  stoweidlem26  31697  stoweidlem44  31715  stirlinglem11  31755  fourierdlem10  31788  fourierdlem11  31789  fourierdlem15  31793  fourierdlem30  31808  fourierdlem42  31820  fourierdlem68  31846  fourierdlem79  31857  fourierdlem92  31870
  Copyright terms: Public domain W3C validator