MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leadd1dd Structured version   Unicode version

Theorem leadd1dd 10162
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
leadd1dd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
leadd1dd  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  <_  ( B  +  C ) )

Proof of Theorem leadd1dd
StepHypRef Expression
1 leadd1dd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4leadd1d 10142 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  +  C )  <_  ( B  +  C ) ) )
61, 5mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  <_  ( B  +  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   RRcr 9487    + caddc 9491    <_ cle 9625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  11208  xleadd1a  11441  fzoaddel  11837  fladdz  11922  ltdifltdiv  11930  bernneq3  12258  caucvgrlem  13454  eirrlem  13794  vdwlem3  14356  vdwlem9  14362  vdwlem10  14363  2expltfac  14431  pcoass  21259  trirn  21562  minveclem2  21576  ovolfiniun  21647  ovolshftlem1  21655  unmbl  21683  uniioombllem5  21731  opnmbllem  21745  vitalilem2  21753  itg2split  21891  dvfsumlem2  22163  dvfsumlem4  22165  dvfsum2  22170  fta1glem2  22302  coemullem  22381  fta1lem  22437  leibpi  23001  log2tlbnd  23004  jensenlem2  23045  harmonicubnd  23067  harmonicbnd4  23068  ppiub  23207  bcmono  23280  bposlem5  23291  mulog2sumlem2  23448  selberg2lem  23463  chpdifbndlem1  23466  pntrlog2bndlem2  23491  pntpbnd2  23500  pntibndlem2  23504  pntlemg  23511  pntlemk  23519  pntlemo  23520  qabvle  23538  ostth2lem3  23548  minvecolem2  25467  nndiffz1  27264  reofld  27493  dya2icoseg  27888  lgamgulmlem5  28215  lgambdd  28219  rescon  28331  supaddc  29618  opnmbllem0  29627  itg2addnclem3  29645  bfplem2  29922  pellexlem2  30370  rmygeid  30506  jm3.1lem2  30564  fzisoeu  31077  absnpncan2d  31079  absnpncan3d  31084  climsuselem1  31149  sumnnodd  31172  dvdivbd  31253  dvbdfbdioolem2  31259  ioodvbdlimc1lem1  31261  ioodvbdlimc1lem2  31262  ioodvbdlimc2lem  31264  iblspltprt  31291  itgspltprt  31297  itgiccshift  31298  itgperiod  31299  stoweidlem1  31301  stoweidlem11  31311  stoweidlem14  31314  stoweidlem26  31326  stoweidlem44  31344  stirlinglem11  31384  fourierdlem11  31418  fourierdlem30  31437  fourierdlem45  31452  fourierdlem68  31475
  Copyright terms: Public domain W3C validator