MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leadd1dd Structured version   Unicode version

Theorem leadd1dd 9945
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
leadd1dd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
leadd1dd  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  <_  ( B  +  C ) )

Proof of Theorem leadd1dd
StepHypRef Expression
1 leadd1dd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4leadd1d 9925 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  +  C )  <_  ( B  +  C ) ) )
61, 5mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  <_  ( B  +  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   class class class wbr 4285  (class class class)co 6086   RRcr 9273    + caddc 9277    <_ cle 9411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-op 3877  df-uni 4085  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-ov 6089  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  10975  xleadd1a  11208  fzoaddel  11589  fladdz  11662  ltdifltdiv  11670  bernneq3  11984  caucvgrlem  13142  eirrlem  13478  vdwlem3  14036  vdwlem9  14042  vdwlem10  14043  2expltfac  14111  pcoass  20565  trirn  20868  minveclem2  20882  ovolfiniun  20953  ovolshftlem1  20961  unmbl  20988  uniioombllem5  21036  opnmbllem  21050  vitalilem2  21058  itg2split  21196  dvfsumlem2  21468  dvfsumlem4  21470  dvfsum2  21475  fta1glem2  21607  coemullem  21686  fta1lem  21742  leibpi  22306  log2tlbnd  22309  jensenlem2  22350  harmonicubnd  22372  harmonicbnd4  22373  ppiub  22512  bcmono  22585  bposlem5  22596  mulog2sumlem2  22753  selberg2lem  22768  chpdifbndlem1  22771  pntrlog2bndlem2  22796  pntpbnd2  22805  pntibndlem2  22809  pntlemg  22816  pntlemk  22824  pntlemo  22825  qabvle  22843  ostth2lem3  22853  minvecolem2  24221  nndiffz1  26020  reofld  26256  dya2icoseg  26640  lgamgulmlem5  26967  lgambdd  26971  rescon  27083  supaddc  28360  opnmbllem0  28370  itg2addnclem3  28388  bfplem2  28665  pellexlem2  29114  rmygeid  29250  jm3.1lem2  29310  climsuselem1  29723  stoweidlem1  29739  stoweidlem11  29749  stoweidlem14  29752  stoweidlem26  29764  stoweidlem44  29782  stirlinglem11  29822
  Copyright terms: Public domain W3C validator