MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leadd1 Structured version   Unicode version

Theorem leadd1 10020
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
leadd1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  +  C )  <_  ( B  +  C )
) )

Proof of Theorem leadd1
StepHypRef Expression
1 ltadd1 10019 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  ( B  +  C )  <  ( A  +  C )
) )
213com12 1200 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  ( B  +  C )  <  ( A  +  C )
) )
32notbid 294 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( -.  B  <  A  <->  -.  ( B  +  C )  <  ( A  +  C
) ) )
4 simp1 996 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
5 simp2 997 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
64, 5lenltd 9730 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
7 simp3 998 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
84, 7readdcld 9623 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  +  C )  e.  RR )
95, 7readdcld 9623 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
108, 9lenltd 9730 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  +  C
)  <_  ( B  +  C )  <->  -.  ( B  +  C )  <  ( A  +  C
) ) )
113, 6, 103bitr4d 285 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  +  C )  <_  ( B  +  C )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6284   RRcr 9491    + caddc 9495    < clt 9628    <_ cle 9629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634
This theorem is referenced by:  leadd2  10021  lesubadd  10024  le2add  10034  leadd1i  10108  leadd1d  10146  zleltp1  10913  uzindOLD  10955  eluzp1p1  11107  eluzaddi  11108  icoshft  11642  iccshftr  11654  fzen  11703  fzaddel  11718  fznatpl1  11734  faclbnd6  12345  vdwlem3  14360  ovolunlem1a  21670  hstle  26853  stlei  26863
  Copyright terms: Public domain W3C validator