MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leadd1 Structured version   Unicode version

Theorem leadd1 10081
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
leadd1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  +  C )  <_  ( B  +  C )
) )

Proof of Theorem leadd1
StepHypRef Expression
1 ltadd1 10080 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  ( B  +  C )  <  ( A  +  C )
) )
213com12 1209 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  ( B  +  C )  <  ( A  +  C )
) )
32notbid 295 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( -.  B  <  A  <->  -.  ( B  +  C )  <  ( A  +  C
) ) )
4 simp1 1005 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
5 simp2 1006 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
64, 5lenltd 9780 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
7 simp3 1007 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
84, 7readdcld 9669 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  +  C )  e.  RR )
95, 7readdcld 9669 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
108, 9lenltd 9780 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  +  C
)  <_  ( B  +  C )  <->  -.  ( B  +  C )  <  ( A  +  C
) ) )
113, 6, 103bitr4d 288 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  +  C )  <_  ( B  +  C )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ w3a 982    e. wcel 1870   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   RRcr 9537    + caddc 9541    < clt 9674    <_ cle 9675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680
This theorem is referenced by:  leadd2  10082  lesubadd  10085  le2add  10095  leadd1i  10168  leadd1d  10206  zleltp1  10987  eluzp1p1  11184  eluzaddi  11185  icoshft  11752  iccshftr  11764  fzen  11814  fzaddel  11831  fznatpl1  11848  faclbnd6  12481  vdwlem3  14896  ovolunlem1a  22327  hstle  27718  stlei  27728
  Copyright terms: Public domain W3C validator