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Theorem le2tri3i 9745
Description: Extended trichotomy law for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 14-Aug-2000.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
lt.3  |-  C  e.  RR
Assertion
Ref Expression
le2tri3i  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  <->  ( A  =  B  /\  B  =  C  /\  C  =  A ) )

Proof of Theorem le2tri3i
StepHypRef Expression
1 lt.2 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
2 lt.3 . . . . . 6  |-  C  e.  RR
3 lt.1 . . . . . 6  |-  A  e.  RR
41, 2, 3letri 9744 . . . . 5  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  B  <_  A )
53, 1letri3i 9731 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) )
65biimpri 206 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  A )  ->  A  =  B )
74, 6sylan2 472 . . . 4  |-  ( ( A  <_  B  /\  ( B  <_  C  /\  C  <_  A ) )  ->  A  =  B )
873impb 1193 . . 3  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  A  =  B )
92, 3, 1letri 9744 . . . . . 6  |-  ( ( C  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  C  <_  B )
101, 2letri3i 9731 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  <->  ( B  <_  C  /\  C  <_  B ) )
1110biimpri 206 . . . . . 6  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  B  =  C )
129, 11sylan2 472 . . . . 5  |-  ( ( B  <_  C  /\  ( C  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  B  =  C )
13123impb 1193 . . . 4  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  B  =  C )
14133comr 1205 . . 3  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  B  =  C )
153, 1, 2letri 9744 . . . 4  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C )
163, 2letri3i 9731 . . . . . 6  |-  ( A  =  C  <->  ( A  <_  C  /\  C  <_  A ) )
1716biimpri 206 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  A  =  C )
1817eqcomd 2410 . . . 4  |-  ( ( A  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  C  =  A )
1915, 18stoic3 1630 . . 3  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  C  =  A )
208, 14, 193jca 1177 . 2  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  ( A  =  B  /\  B  =  C  /\  C  =  A )
)
213eqlei 9725 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  A  <_  B )
221eqlei 9725 . . 3  |-  ( B  =  C  ->  B  <_  C )
232eqlei 9725 . . 3  |-  ( C  =  A  ->  C  <_  A )
2421, 22, 233anim123i 1182 . 2  |-  ( ( A  =  B  /\  B  =  C  /\  C  =  A )  ->  ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A ) )
2520, 24impbii 188 1  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  <->  ( A  =  B  /\  B  =  C  /\  C  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   RRcr 9520    <_ cle 9658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663
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