Theorem le2sqd 12064

Description: The square function on nonnegative reals is monotonic. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
lt2sqd.2	|- ( ph -> B e. RR )
lt2sqd.3	|- ( ph -> 0 <_ A )
lt2sqd.4	|- ( ph -> 0 <_ B )

Assertion

Ref	Expression
le2sqd	|- ( ph -> ( A <_ B <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem le2sqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		lt2sqd.3	. 2 |- ( ph -> 0 <_ A )
3		lt2sqd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
4		lt2sqd.4	. 2 |- ( ph -> 0 <_ B )
5		le2sq 11961	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1219	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   e. wcel 1756   class class class wbr 4313  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303   <_ cle 9440   2c2 10392   ^cexp 11886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-seq 11828  df-exp 11887

This theorem is referenced by:  abstri  12839  amgm2  12878  ipcau2  20771  tchcphlem1  20772  trirn  20921  rrxdstprj1  20930  minveclem3b  20937  minveclem4  20941  minveclem6  20943  pjthlem1  20946  atans2  22348  basellem8  22447  chpub  22581  dchrisum0  22791  mulog2sumlem2  22806  log2sumbnd  22815  logdivbnd  22827  pntlemk  22877  minvecolem4  24303  minvecolem5  24304  minvecolem6  24305  normpyc  24570  pjhthlem1  24816  chscllem2  25063  pjssposi  25598  areacirclem2  28511  areacirclem4  28513  areacirclem5  28514  areacirc  28515  cntotbnd  28721  rrndstprj1  28755  pell1qrge1  29237  pell1qrgaplem  29240  pell14qrgapw  29243  pellqrex  29246