Theorem le2sqd 12451

Description: The square function on nonnegative reals is monotonic. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
lt2sqd.2	|- ( ph -> B e. RR )
lt2sqd.3	|- ( ph -> 0 <_ A )
lt2sqd.4	|- ( ph -> 0 <_ B )

Assertion

Ref	Expression
le2sqd	|- ( ph -> ( A <_ B <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem le2sqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		lt2sqd.3	. 2 |- ( ph -> 0 <_ A )
3		lt2sqd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
4		lt2sqd.4	. 2 |- ( ph -> 0 <_ B )
5		le2sq 12349	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1269	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   e. wcel 1887   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   <_ cle 9676   2c2 10659   ^cexp 12272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-seq 12214  df-exp 12273

This theorem is referenced by:  abstri  13393  amgm2  13432  ipcau2  22208  tchcphlem1  22209  trirn  22354  rrxdstprj1  22363  minveclem3b  22370  minveclem4  22374  minveclem6  22376  minveclem3bOLD  22382  minveclem4OLD  22386  minveclem6OLD  22388  pjthlem1  22391  atans2  23857  basellem8  24014  chpub  24148  dchrisum0  24358  mulog2sumlem2  24373  log2sumbnd  24382  logdivbnd  24394  pntlemk  24444  minvecolem4  26522  minvecolem5  26523  minvecolem6  26524  minvecolem4OLD  26532  minvecolem5OLD  26533  minvecolem6OLD  26534  normpyc  26799  pjhthlem1  27044  chscllem2  27291  pjssposi  27825  2sqmod  28409  areacirclem2  32033  areacirclem4  32035  areacirclem5  32036  areacirc  32037  cntotbnd  32128  rrndstprj1  32162  pell1qrge1  35716  pell1qrgaplem  35719  pell14qrgapw  35722  pellqrex  35726