Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  le2halvesd Structured version   Unicode version

Theorem le2halvesd 27341
Description: A sum is less than the whole if each term is less than half. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
le2halvesd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
le2halvesd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
le2halvesd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
le2halvesd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  ( C  /  2 ) )
le2halvesd.5  |-  ( ph  ->  B  <_  ( C  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
le2halvesd  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  <_  C )

Proof of Theorem le2halvesd
StepHypRef Expression
1 le2halvesd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 le2halvesd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 le2halvesd.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
43rehalfcld 10786 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  RR )
5 le2halvesd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  ( C  /  2 ) )
6 le2halvesd.5 . . 3  |-  ( ph  ->  B  <_  ( C  /  2 ) )
71, 2, 4, 4, 5, 6le2addd 10171 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  <_  ( ( C  /  2 )  +  ( C  /  2
) ) )
83recnd 9623 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
982halvesd 10785 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
2 )  +  ( C  /  2 ) )  =  C )
107, 9breqtrd 4471 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  <_  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6285   RRcr 9492    + caddc 9496    <_ cle 9630    / cdiv 10207   2c2 10586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-2 10595
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator