MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  le2addd Structured version   Unicode version

Theorem le2addd 10166
Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lt2addd.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
le2addd.5  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
le2addd.6  |-  ( ph  ->  B  <_  D )
Assertion
Ref Expression
le2addd  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  <_  ( C  +  D ) )

Proof of Theorem le2addd
StepHypRef Expression
1 le2addd.5 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
2 le2addd.6 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  D )
3 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 lt2addd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
7 le2add 10030 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( ( A  <_  C  /\  B  <_  D
)  ->  ( A  +  B )  <_  ( C  +  D )
) )
83, 4, 5, 6, 7syl22anc 1229 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  C  /\  B  <_  D
)  ->  ( A  +  B )  <_  ( C  +  D )
) )
91, 2, 8mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  <_  ( C  +  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   RRcr 9487    + caddc 9491    <_ cle 9625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630
This theorem is referenced by:  o1add  13395  o1sub  13397  o1fsum  13586  sadcaddlem  13962  4sqlem11  14328  4sqlem12  14329  4sqlem15  14332  4sqlem16  14333  prdsxmetlem  20606  nrmmetd  20830  nmotri  20981  pcoass  21259  minveclem2  21576  ovollb2lem  21634  ovolunlem1a  21642  ovoliunlem1  21648  nulmbl2  21682  ioombl1lem4  21706  uniioombllem5  21731  itg2splitlem  21890  itg2addlem  21900  ibladdlem  21961  ulmbdd  22527  cxpaddle  22854  ang180lem2  22870  fsumharmonic  23069  ppiub  23207  lgsdirprm  23332  lgsqrlem2  23345  lgseisenlem2  23353  2sqlem8  23375  vmadivsumb  23396  dchrisumlem2  23403  dchrisum0lem1b  23428  mulog2sumlem1  23447  mulog2sumlem2  23448  selbergb  23462  selberg2b  23465  chpdifbndlem1  23466  logdivbnd  23469  selberg3lem2  23471  pntrlog2bnd  23497  pntpbnd2  23500  pntibndlem2  23504  pntlemr  23515  ostth2lem2  23547  ostth3  23551  smcnlem  25283  minvecolem2  25467  stadd3i  26843  le2halvesd  27244  lgamgulmlem3  28213  lgamgulmlem5  28215  supadd  29619  ismblfin  29632  itg2addnc  29646  ibladdnclem  29648  ftc1anclem7  29673  pell1qrgaplem  30413  pellqrex  30419  pellfundgt1  30423  areaquad  30789
  Copyright terms: Public domain W3C validator