MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  le2addd Structured version   Unicode version

Theorem le2addd 9972
Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lt2addd.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
le2addd.5  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
le2addd.6  |-  ( ph  ->  B  <_  D )
Assertion
Ref Expression
le2addd  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  <_  ( C  +  D ) )

Proof of Theorem le2addd
StepHypRef Expression
1 le2addd.5 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
2 le2addd.6 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  D )
3 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 lt2addd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
7 le2add 9836 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( ( A  <_  C  /\  B  <_  D
)  ->  ( A  +  B )  <_  ( C  +  D )
) )
83, 4, 5, 6, 7syl22anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  C  /\  B  <_  D
)  ->  ( A  +  B )  <_  ( C  +  D )
) )
91, 2, 8mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  <_  ( C  +  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4307  (class class class)co 6106   RRcr 9296    + caddc 9300    <_ cle 9434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-ov 6109  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439
This theorem is referenced by:  o1add  13106  o1sub  13108  o1fsum  13291  sadcaddlem  13668  4sqlem11  14031  4sqlem12  14032  4sqlem15  14035  4sqlem16  14036  prdsxmetlem  19958  nrmmetd  20182  nmotri  20333  pcoass  20611  minveclem2  20928  ovollb2lem  20986  ovolunlem1a  20994  ovoliunlem1  21000  nulmbl2  21033  ioombl1lem4  21057  uniioombllem5  21082  itg2splitlem  21241  itg2addlem  21251  ibladdlem  21312  ulmbdd  21878  cxpaddle  22205  ang180lem2  22221  fsumharmonic  22420  ppiub  22558  lgsdirprm  22683  lgsqrlem2  22696  lgseisenlem2  22704  2sqlem8  22726  vmadivsumb  22747  dchrisumlem2  22754  dchrisum0lem1b  22779  mulog2sumlem1  22798  mulog2sumlem2  22799  selbergb  22813  selberg2b  22816  chpdifbndlem1  22817  logdivbnd  22820  selberg3lem2  22822  pntrlog2bnd  22848  pntpbnd2  22851  pntibndlem2  22855  pntlemr  22866  ostth2lem2  22898  ostth3  22902  smcnlem  24107  minvecolem2  24291  stadd3i  25667  le2halvesd  26064  lgamgulmlem3  27032  lgamgulmlem5  27034  supadd  28437  ismblfin  28451  itg2addnc  28465  ibladdnclem  28467  ftc1anclem7  28492  pell1qrgaplem  29233  pellqrex  29239  pellfundgt1  29243  areaquad  29611
  Copyright terms: Public domain W3C validator