MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  le2addd Structured version   Unicode version

Theorem le2addd 10166
Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lt2addd.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
le2addd.5  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
le2addd.6  |-  ( ph  ->  B  <_  D )
Assertion
Ref Expression
le2addd  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  <_  ( C  +  D ) )

Proof of Theorem le2addd
StepHypRef Expression
1 le2addd.5 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
2 le2addd.6 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  D )
3 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 lt2addd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
7 le2add 10030 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( ( A  <_  C  /\  B  <_  D
)  ->  ( A  +  B )  <_  ( C  +  D )
) )
83, 4, 5, 6, 7syl22anc 1227 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  C  /\  B  <_  D
)  ->  ( A  +  B )  <_  ( C  +  D )
) )
91, 2, 8mp2and 677 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  <_  ( C  +  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   RRcr 9480    + caddc 9484    <_ cle 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623
This theorem is referenced by:  o1add  13521  o1sub  13523  o1fsum  13712  sadcaddlem  14194  4sqlem11  14560  4sqlem12  14561  4sqlem15  14564  4sqlem16  14565  prdsxmetlem  21040  nrmmetd  21264  nmotri  21415  pcoass  21693  minveclem2  22010  ovollb2lem  22068  ovolunlem1a  22076  ovoliunlem1  22082  nulmbl2  22116  ioombl1lem4  22140  uniioombllem5  22165  itg2splitlem  22324  itg2addlem  22334  ibladdlem  22395  ulmbdd  22962  cxpaddle  23297  ang180lem2  23344  fsumharmonic  23542  ppiub  23680  lgsdirprm  23805  lgsqrlem2  23818  lgseisenlem2  23826  2sqlem8  23848  vmadivsumb  23869  dchrisumlem2  23876  dchrisum0lem1b  23901  mulog2sumlem1  23920  mulog2sumlem2  23921  selbergb  23935  selberg2b  23938  chpdifbndlem1  23939  logdivbnd  23942  selberg3lem2  23944  pntrlog2bnd  23970  pntpbnd2  23973  pntibndlem2  23977  pntlemr  23988  ostth2lem2  24020  ostth3  24024  smcnlem  25808  minvecolem2  25992  stadd3i  27368  le2halvesd  27810  lgamgulmlem3  28840  lgamgulmlem5  28842  supadd  30285  ismblfin  30298  itg2addnc  30312  ibladdnclem  30314  ftc1anclem7  30339  pell1qrgaplem  31051  pellqrex  31057  pellfundgt1  31061  areaquad  31428  dvdivbd  31962  fourierdlem30  32161  imo72b2lem0  38513  int-ineq1stprincd  38544
  Copyright terms: Public domain W3C validator