Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsubval Structured version   Unicode version

Theorem ldualvsubval 34605
 Description: The value of the value of vector subtraction in the dual of a vector space. TODO: shorten with ldualvsub 34603? (Requires to oppr conversion.) (Contributed by NM, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsubval.v
ldualvsubval.r Scalar
ldualvsubval.s
ldualvsubval.f LFnl
ldualvsubval.d LDual
ldualvsubval.m
ldualvsubval.w
ldualvsubval.g
ldualvsubval.h
ldualvsubval.x
Assertion
Ref Expression
ldualvsubval

Proof of Theorem ldualvsubval
StepHypRef Expression
1 ldualvsubval.d . . . . 5 LDual
2 ldualvsubval.w . . . . 5
31, 2lduallmod 34601 . . . 4
4 ldualvsubval.f . . . . 5 LFnl
5 eqid 2441 . . . . 5
6 ldualvsubval.g . . . . 5
74, 1, 5, 2, 6ldualelvbase 34575 . . . 4
8 ldualvsubval.h . . . . 5
94, 1, 5, 2, 8ldualelvbase 34575 . . . 4
10 eqid 2441 . . . . 5
11 ldualvsubval.m . . . . 5
12 eqid 2441 . . . . 5 Scalar Scalar
13 eqid 2441 . . . . 5
14 eqid 2441 . . . . 5 Scalar Scalar
15 eqid 2441 . . . . 5 Scalar Scalar
165, 10, 11, 12, 13, 14, 15lmodvsubval2 17436 . . . 4 ScalarScalar
173, 7, 9, 16syl3anc 1227 . . 3 ScalarScalar
1817fveq1d 5855 . 2 ScalarScalar
19 ldualvsubval.v . . 3
20 ldualvsubval.r . . 3 Scalar
21 eqid 2441 . . 3
22 eqid 2441 . . . 4
2312lmodfgrp 17392 . . . . . . 7 Scalar
243, 23syl 16 . . . . . 6 Scalar
2512lmodring 17391 . . . . . . . 8 Scalar
263, 25syl 16 . . . . . . 7 Scalar
27 eqid 2441 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
2827, 15ringidcl 17090 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar
2926, 28syl 16 . . . . . 6 Scalar Scalar
3027, 14grpinvcl 15966 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
3124, 29, 30syl2anc 661 . . . . 5 ScalarScalar Scalar
3220, 22, 1, 12, 27, 2ldualsbase 34581 . . . . 5 Scalar
3331, 32eleqtrd 2531 . . . 4 ScalarScalar
344, 20, 22, 1, 13, 2, 33, 8ldualvscl 34587 . . 3 ScalarScalar
35 ldualvsubval.x . . 3
3619, 20, 21, 4, 1, 10, 2, 6, 34, 35ldualvaddval 34579 . 2 ScalarScalar ScalarScalar
37 eqid 2441 . . . . . . . . 9
3820, 37, 1, 12, 14, 2ldualneg 34597 . . . . . . . 8 Scalar
39 eqid 2441 . . . . . . . . 9
4020, 39, 1, 12, 15, 2ldual1 34596 . . . . . . . 8 Scalar
4138, 40fveq12d 5859 . . . . . . 7 ScalarScalar
4241oveq1d 6293 . . . . . 6 ScalarScalar
4342fveq1d 5855 . . . . 5 ScalarScalar
44 eqid 2441 . . . . . 6
4520lmodring 17391 . . . . . . . . 9
462, 45syl 16 . . . . . . . 8
47 ringgrp 17074 . . . . . . . 8
4846, 47syl 16 . . . . . . 7
4920, 22, 39lmod1cl 17410 . . . . . . . 8
502, 49syl 16 . . . . . . 7
5122, 37grpinvcl 15966 . . . . . . 7
5248, 50, 51syl2anc 661 . . . . . 6
534, 19, 20, 22, 44, 1, 13, 2, 52, 8, 35ldualvsval 34586 . . . . 5
5420, 22, 19, 4lflcl 34512 . . . . . . 7
552, 8, 35, 54syl3anc 1227 . . . . . 6
5622, 44, 39, 37, 46, 55rngnegr 17112 . . . . 5
5743, 53, 563eqtrd 2486 . . . 4 ScalarScalar
5857oveq2d 6294 . . 3 ScalarScalar
5920, 22, 19, 4lflcl 34512 . . . . 5
602, 6, 35, 59syl3anc 1227 . . . 4
61 ldualvsubval.s . . . . 5
6222, 21, 37, 61grpsubval 15964 . . . 4
6360, 55, 62syl2anc 661 . . 3
6458, 63eqtr4d 2485 . 2 ScalarScalar
6518, 36, 643eqtrd 2486 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1381   wcel 1802  cfv 5575  (class class class)co 6278  cbs 14506   cplusg 14571  cmulr 14572  Scalarcsca 14574  cvsca 14575  cgrp 15924  cminusg 15925  csg 15926  cur 17024  crg 17069  clmod 17383  LFnlclfn 34505  LDualcld 34571 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6522  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-tpos 6954  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-oadd 7133  df-er 7310  df-map 7421  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-fz 11679  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-0g 14713  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-mgp 17013  df-ur 17025  df-ring 17071  df-oppr 17143  df-lmod 17385  df-lfl 34506  df-ldual 34572 This theorem is referenced by:  lcfrlem1  36992
 Copyright terms: Public domain W3C validator