Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsub Structured version   Unicode version

Theorem ldualvsub 32896
Description: The value of vector subtraction in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsub.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
ldualvsub.n  |-  N  =  ( invg `  R )
ldualvsub.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
ldualvsub.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
ldualvsub.d  |-  D  =  (LDual `  W )
ldualvsub.p  |-  .+  =  ( +g  `  D )
ldualvsub.t  |-  .x.  =  ( .s `  D )
ldualvsub.m  |-  .-  =  ( -g `  D )
ldualvsub.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
ldualvsub.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
ldualvsub.h  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
Assertion
Ref Expression
ldualvsub  |-  ( ph  ->  ( G  .-  H
)  =  ( G 
.+  ( ( N `
 .1.  )  .x.  H ) ) )

Proof of Theorem ldualvsub
StepHypRef Expression
1 ldualvsub.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
2 ldualvsub.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
31, 2lduallmod 32894 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  LMod )
4 ldualvsub.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
5 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
6 ldualvsub.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
74, 1, 5, 2, 6ldualelvbase 32868 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  D ) )
8 ldualvsub.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
94, 1, 5, 2, 8ldualelvbase 32868 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  ( Base `  D ) )
10 ldualvsub.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  D )
11 ldualvsub.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  D )
12 eqid 2443 . . . 4  |-  (Scalar `  D )  =  (Scalar `  D )
13 ldualvsub.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  D )
14 eqid 2443 . . . 4  |-  ( invg `  (Scalar `  D ) )  =  ( invg `  (Scalar `  D ) )
15 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 1r
`  (Scalar `  D )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  D )
)
165, 10, 11, 12, 13, 14, 15lmodvsubval2 17022 . . 3  |-  ( ( D  e.  LMod  /\  G  e.  ( Base `  D
)  /\  H  e.  ( Base `  D )
)  ->  ( G  .-  H )  =  ( G  .+  ( ( ( invg `  (Scalar `  D ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  D ) ) )  .x.  H ) ) )
173, 7, 9, 16syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  .-  H
)  =  ( G 
.+  ( ( ( invg `  (Scalar `  D ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  D ) ) ) 
.x.  H ) ) )
18 ldualvsub.r . . . . . . . 8  |-  R  =  (Scalar `  W )
19 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
2018, 19, 1, 12, 2ldualsca 32873 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Scalar `  D )  =  (oppr
`  R ) )
2120fveq2d 5716 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( invg `  (Scalar `  D ) )  =  ( invg `  (oppr
`  R ) ) )
22 ldualvsub.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( invg `  R )
2319, 22opprneg 16749 . . . . . 6  |-  N  =  ( invg `  (oppr `  R ) )
2421, 23syl6reqr 2494 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  =  ( invg `  (Scalar `  D ) ) )
2520fveq2d 5716 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  (Scalar `  D ) )  =  ( 1r `  (oppr `  R
) ) )
26 ldualvsub.u . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
2719, 26oppr1 16748 . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  (oppr `  R
) )
2825, 27syl6reqr 2494 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( 1r
`  (Scalar `  D )
) )
2924, 28fveq12d 5718 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  .1.  )  =  ( ( invg `  (Scalar `  D ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  D ) ) ) )
3029oveq1d 6127 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  .1.  )  .x.  H )  =  ( ( ( invg `  (Scalar `  D ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  D ) ) ) 
.x.  H ) )
3130oveq2d 6128 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  .+  (
( N `  .1.  )  .x.  H ) )  =  ( G  .+  ( ( ( invg `  (Scalar `  D ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  D ) ) ) 
.x.  H ) ) )
3217, 31eqtr4d 2478 1  |-  ( ph  ->  ( G  .-  H
)  =  ( G 
.+  ( ( N `
 .1.  )  .x.  H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Basecbs 14195   +g cplusg 14259  Scalarcsca 14262   .scvsca 14263   invgcminusg 15432   -gcsg 15434   1rcur 16625  opprcoppr 16736   LModclmod 16970  LFnlclfn 32798  LDualcld 32864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-tpos 6766  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-0g 14401  df-mnd 15436  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-cmn 16300  df-abl 16301  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-oppr 16737  df-lmod 16972  df-lfl 32799  df-ldual 32865
This theorem is referenced by:  ldualvsubcl  32897  lcfrlem2  35284
  Copyright terms: Public domain W3C validator