Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsub Structured version   Unicode version

Theorem ldualvsub 34353
Description: The value of vector subtraction in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsub.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
ldualvsub.n  |-  N  =  ( invg `  R )
ldualvsub.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
ldualvsub.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
ldualvsub.d  |-  D  =  (LDual `  W )
ldualvsub.p  |-  .+  =  ( +g  `  D )
ldualvsub.t  |-  .x.  =  ( .s `  D )
ldualvsub.m  |-  .-  =  ( -g `  D )
ldualvsub.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
ldualvsub.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
ldualvsub.h  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
Assertion
Ref Expression
ldualvsub  |-  ( ph  ->  ( G  .-  H
)  =  ( G 
.+  ( ( N `
 .1.  )  .x.  H ) ) )

Proof of Theorem ldualvsub
StepHypRef Expression
1 ldualvsub.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
2 ldualvsub.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
31, 2lduallmod 34351 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  LMod )
4 ldualvsub.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
5 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
6 ldualvsub.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
74, 1, 5, 2, 6ldualelvbase 34325 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  D ) )
8 ldualvsub.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
94, 1, 5, 2, 8ldualelvbase 34325 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  ( Base `  D ) )
10 ldualvsub.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  D )
11 ldualvsub.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  D )
12 eqid 2467 . . . 4  |-  (Scalar `  D )  =  (Scalar `  D )
13 ldualvsub.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  D )
14 eqid 2467 . . . 4  |-  ( invg `  (Scalar `  D ) )  =  ( invg `  (Scalar `  D ) )
15 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 1r
`  (Scalar `  D )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  D )
)
165, 10, 11, 12, 13, 14, 15lmodvsubval2 17436 . . 3  |-  ( ( D  e.  LMod  /\  G  e.  ( Base `  D
)  /\  H  e.  ( Base `  D )
)  ->  ( G  .-  H )  =  ( G  .+  ( ( ( invg `  (Scalar `  D ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  D ) ) )  .x.  H ) ) )
173, 7, 9, 16syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  .-  H
)  =  ( G 
.+  ( ( ( invg `  (Scalar `  D ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  D ) ) ) 
.x.  H ) ) )
18 ldualvsub.r . . . . . . . 8  |-  R  =  (Scalar `  W )
19 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
2018, 19, 1, 12, 2ldualsca 34330 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Scalar `  D )  =  (oppr
`  R ) )
2120fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( invg `  (Scalar `  D ) )  =  ( invg `  (oppr
`  R ) ) )
22 ldualvsub.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( invg `  R )
2319, 22opprneg 17156 . . . . . 6  |-  N  =  ( invg `  (oppr `  R ) )
2421, 23syl6reqr 2527 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  =  ( invg `  (Scalar `  D ) ) )
2520fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  (Scalar `  D ) )  =  ( 1r `  (oppr `  R
) ) )
26 ldualvsub.u . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
2719, 26oppr1 17155 . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  (oppr `  R
) )
2825, 27syl6reqr 2527 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( 1r
`  (Scalar `  D )
) )
2924, 28fveq12d 5878 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  .1.  )  =  ( ( invg `  (Scalar `  D ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  D ) ) ) )
3029oveq1d 6310 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  .1.  )  .x.  H )  =  ( ( ( invg `  (Scalar `  D ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  D ) ) ) 
.x.  H ) )
3130oveq2d 6311 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  .+  (
( N `  .1.  )  .x.  H ) )  =  ( G  .+  ( ( ( invg `  (Scalar `  D ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  D ) ) ) 
.x.  H ) ) )
3217, 31eqtr4d 2511 1  |-  ( ph  ->  ( G  .-  H
)  =  ( G 
.+  ( ( N `
 .1.  )  .x.  H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   +g cplusg 14572  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   invgcminusg 15926   -gcsg 15927   1rcur 17025  opprcoppr 17143   LModclmod 17383  LFnlclfn 34255  LDualcld 34321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-lmod 17385  df-lfl 34256  df-ldual 34322
This theorem is referenced by:  ldualvsubcl  34354  lcfrlem2  36741
  Copyright terms: Public domain W3C validator