Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvs Structured version   Unicode version

Theorem ldualvs 32456
Description: Scalar product operation value (which is a functional) for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualfvs.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
ldualfvs.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ldualfvs.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
ldualfvs.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ldualfvs.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
ldualfvs.d  |-  D  =  (LDual `  W )
ldualfvs.s  |-  .xb  =  ( .s `  D )
ldualfvs.w  |-  ( ph  ->  W  e.  Y )
ldualvs.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
ldualvs.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
ldualvs  |-  ( ph  ->  ( X  .xb  G
)  =  ( G  oF  .X.  ( V  X.  { X }
) ) )

Proof of Theorem ldualvs
Dummy variables  f 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ldualfvs.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
2 ldualfvs.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 ldualfvs.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  W )
4 ldualfvs.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
5 ldualfvs.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
6 ldualfvs.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
7 ldualfvs.s . . . 4  |-  .xb  =  ( .s `  D )
8 ldualfvs.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  Y )
9 eqid 2420 . . . 4  |-  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  oF  .X.  ( V  X.  { k } ) ) )  =  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  oF 
.X.  ( V  X.  { k } ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ldualfvs 32455 . . 3  |-  ( ph  -> 
.xb  =  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  oF  .X.  ( V  X.  { k } ) ) ) )
1110oveqd 6313 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .xb  G
)  =  ( X ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  oF 
.X.  ( V  X.  { k } ) ) ) G ) )
12 ldualvs.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
13 ldualvs.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
14 sneq 4003 . . . . . 6  |-  ( k  =  X  ->  { k }  =  { X } )
1514xpeq2d 4869 . . . . 5  |-  ( k  =  X  ->  ( V  X.  { k } )  =  ( V  X.  { X }
) )
1615oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( k  =  X  ->  (
f  oF  .X.  ( V  X.  { k } ) )  =  ( f  oF 
.X.  ( V  X.  { X } ) ) )
17 oveq1 6303 . . . 4  |-  ( f  =  G  ->  (
f  oF  .X.  ( V  X.  { X } ) )  =  ( G  oF 
.X.  ( V  X.  { X } ) ) )
18 ovex 6324 . . . 4  |-  ( G  oF  .X.  ( V  X.  { X }
) )  e.  _V
1916, 17, 9, 18ovmpt2 6437 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  G  e.  F )  ->  ( X ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  oF  .X.  ( V  X.  { k } ) ) ) G )  =  ( G  oF  .X.  ( V  X.  { X }
) ) )
2012, 13, 19syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  oF  .X.  ( V  X.  { k } ) ) ) G )  =  ( G  oF  .X.  ( V  X.  { X }
) ) )
2111, 20eqtrd 2461 1  |-  ( ph  ->  ( X  .xb  G
)  =  ( G  oF  .X.  ( V  X.  { X }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1867   {csn 3993    X. cxp 4843   ` cfv 5592  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298    oFcof 6534   Basecbs 15081   .rcmulr 15151  Scalarcsca 15153   .scvsca 15154  LFnlclfn 32376  LDualcld 32442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-struct 15083  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-plusg 15163  df-sca 15166  df-vsca 15167  df-ldual 32443
This theorem is referenced by:  ldualvsval  32457  ldualvscl  32458  ldualvsass  32460  ldualvsdi1  32462  ldualvsdi2  32463  lduallmodlem  32471  eqlkr4  32484  ldual1dim  32485  ldualkrsc  32486  lkrss  32487
  Copyright terms: Public domain W3C validator