Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvbase Structured version   Unicode version

Theorem ldualvbase 33800
 Description: The vectors of a dual space are functionals of the original space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvbase.f LFnl
ldualvbase.d LDual
ldualvbase.v
ldualvbase.w
Assertion
Ref Expression
ldualvbase

Proof of Theorem ldualvbase
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . . . 4
2 eqid 2462 . . . 4 Scalar Scalar
3 eqid 2462 . . . 4 Scalar Scalar
4 ldualvbase.f . . . 4 LFnl
5 ldualvbase.d . . . 4 LDual
6 eqid 2462 . . . 4 Scalar Scalar
7 eqid 2462 . . . 4 Scalar Scalar
8 eqid 2462 . . . 4 Scalar Scalar
9 eqid 2462 . . . 4 opprScalar opprScalar
10 eqid 2462 . . . 4 Scalar Scalar Scalar Scalar
11 ldualvbase.w . . . 4
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ldualset 33799 . . 3 Scalar Scalar opprScalar Scalar Scalar
1312fveq2d 5863 . 2 Scalar Scalar opprScalar Scalar Scalar
14 ldualvbase.v . 2
15 fvex 5869 . . . 4 LFnl
164, 15eqeltri 2546 . . 3
17 eqid 2462 . . . 4 Scalar Scalar opprScalar Scalar Scalar Scalar Scalar opprScalar Scalar Scalar
1817lmodbase 14611 . . 3 Scalar Scalar opprScalar Scalar Scalar
1916, 18ax-mp 5 . 2 Scalar Scalar opprScalar Scalar Scalar
2013, 14, 193eqtr4g 2528 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1374   wcel 1762  cvv 3108   cun 3469  csn 4022  ctp 4026  cop 4028   cxp 4992   cres 4996  cfv 5581  (class class class)co 6277   cmpt2 6279   cof 6515  cnx 14478  cbs 14481   cplusg 14546  cmulr 14547  Scalarcsca 14549  cvsca 14550  opprcoppr 17050  LFnlclfn 33731  LDualcld 33797 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-plusg 14559  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ldual 33798 This theorem is referenced by:  ldualelvbase  33801  ldualgrplem  33819  lduallmodlem  33826  lclkr  36207  lclkrs  36213  lcfrvalsnN  36215  lcfrlem4  36219  lcfrlem5  36220  lcfrlem6  36221  lcfrlem16  36232  lcfr  36259  lcdvbase  36267  mapdunirnN  36324
 Copyright terms: Public domain W3C validator