Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lduallmodlem Structured version   Unicode version

Theorem lduallmodlem 32150
Description: Lemma for lduallmod 32151. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lduallmod.d  |-  D  =  (LDual `  W )
lduallmod.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lduallmod.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lduallmod.p  |-  .+  =  oF ( +g  `  W )
lduallmod.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lduallmod.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
lduallmod.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
lduallmod.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
lduallmod.o  |-  O  =  (oppr
`  R )
lduallmod.s  |-  .x.  =  ( .s `  D )
Assertion
Ref Expression
lduallmodlem  |-  ( ph  ->  D  e.  LMod )

Proof of Theorem lduallmodlem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lduallmod.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
2 lduallmod.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
3 eqid 2402 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
4 lduallmod.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
51, 2, 3, 4ldualvbase 32124 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  D
)  =  F )
65eqcomd 2410 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  ( Base `  D ) )
7 eqidd 2403 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  D
)  =  ( +g  `  D ) )
8 lduallmod.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  W )
9 lduallmod.o . . . 4  |-  O  =  (oppr
`  R )
10 eqid 2402 . . . 4  |-  (Scalar `  D )  =  (Scalar `  D )
118, 9, 2, 10, 4ldualsca 32130 . . 3  |-  ( ph  ->  (Scalar `  D )  =  O )
1211eqcomd 2410 . 2  |-  ( ph  ->  O  =  (Scalar `  D ) )
13 lduallmod.s . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  D )
1413a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .s
`  D ) )
15 lduallmod.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
169, 15opprbas 17596 . . 3  |-  K  =  ( Base `  O
)
1716a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
18 eqid 2402 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
199, 18oppradd 17597 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  O )
2019a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  R
)  =  ( +g  `  O ) )
2111fveq2d 5852 . 2  |-  ( ph  ->  ( .r `  (Scalar `  D ) )  =  ( .r `  O
) )
22 eqid 2402 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
239, 22oppr1 17601 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  O
)
2423a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  =  ( 1r
`  O ) )
258lmodring 17838 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
269opprring 17598 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  O  e. 
Ring )
274, 25, 263syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  O  e.  Ring )
282, 4ldualgrp 32144 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  Grp )
2943ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  F
)  ->  W  e.  LMod )
30 simp2 998 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  F
)  ->  x  e.  K )
31 simp3 999 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  F
)  ->  y  e.  F )
321, 8, 15, 2, 13, 29, 30, 31ldualvscl 32137 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  F
)  ->  ( x  .x.  y )  e.  F
)
33 eqid 2402 . . 3  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
344adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  F  /\  z  e.  F ) )  ->  W  e.  LMod )
35 simpr1 1003 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  F  /\  z  e.  F ) )  ->  x  e.  K )
36 simpr2 1004 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  F  /\  z  e.  F ) )  -> 
y  e.  F )
37 simpr3 1005 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  F  /\  z  e.  F ) )  -> 
z  e.  F )
381, 8, 15, 2, 33, 13, 34, 35, 36, 37ldualvsdi1 32141 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  F  /\  z  e.  F ) )  -> 
( x  .x.  (
y ( +g  `  D
) z ) )  =  ( ( x 
.x.  y ) ( +g  `  D ) ( x  .x.  z
) ) )
394adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K  /\  z  e.  F ) )  ->  W  e.  LMod )
40 simpr1 1003 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K  /\  z  e.  F ) )  ->  x  e.  K )
41 simpr2 1004 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K  /\  z  e.  F ) )  -> 
y  e.  K )
42 simpr3 1005 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K  /\  z  e.  F ) )  -> 
z  e.  F )
431, 8, 18, 15, 2, 33, 13, 39, 40, 41, 42ldualvsdi2 32142 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K  /\  z  e.  F ) )  -> 
( ( x ( +g  `  R ) y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) ( +g  `  D
) ( y  .x.  z ) ) )
44 eqid 2402 . . 3  |-  ( .r
`  (Scalar `  D )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  D )
)
451, 8, 15, 2, 10, 44, 13, 39, 40, 41, 42ldualvsass2 32140 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K  /\  z  e.  F ) )  -> 
( ( x ( .r `  (Scalar `  D ) ) y )  .x.  z )  =  ( x  .x.  ( y  .x.  z
) ) )
46 lduallmod.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
47 lduallmod.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
484adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  F )  ->  W  e.  LMod )
4915, 22ringidcl 17537 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  K )
504, 25, 493syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  K )
5150adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  F )  ->  ( 1r `  R )  e.  K )
52 simpr 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  F )  ->  x  e.  F )
531, 46, 8, 15, 47, 2, 13, 48, 51, 52ldualvs 32135 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  F )  ->  (
( 1r `  R
)  .x.  x )  =  ( x  oF  .X.  ( V  X.  { ( 1r `  R ) } ) ) )
5446, 8, 1, 15, 47, 22, 48, 52lfl1sc 32082 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  F )  ->  (
x  oF  .X.  ( V  X.  { ( 1r `  R ) } ) )  =  x )
5553, 54eqtrd 2443 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  F )  ->  (
( 1r `  R
)  .x.  x )  =  x )
566, 7, 12, 14, 17, 20, 21, 24, 27, 28, 32, 38, 43, 45, 55islmodd 17836 1  |-  ( ph  ->  D  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   {csn 3971    X. cxp 4820   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    oFcof 6518   Basecbs 14839   +g cplusg 14907   .rcmulr 14908  Scalarcsca 14910   .scvsca 14911   1rcur 17471   Ringcrg 17516  opprcoppr 17589   LModclmod 17830  LFnlclfn 32055  LDualcld 32121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-oppr 17590  df-lmod 17832  df-lfl 32056  df-ldual 32122
This theorem is referenced by:  lduallmod  32151
  Copyright terms: Public domain W3C validator