Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldual0vs Structured version   Unicode version

Theorem ldual0vs 33144
Description: Scalar zero times a functional is the zero functional. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldual0vs.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
ldual0vs.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
ldual0vs.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
ldual0vs.d  |-  D  =  (LDual `  W )
ldual0vs.t  |-  .x.  =  ( .s `  D )
ldual0vs.o  |-  O  =  ( 0g `  D
)
ldual0vs.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
ldual0vs.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
ldual0vs  |-  ( ph  ->  (  .0.  .x.  G
)  =  O )

Proof of Theorem ldual0vs
StepHypRef Expression
1 ldual0vs.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  W )
2 ldual0vs.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 ldual0vs.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
4 eqid 2454 . . . 4  |-  (Scalar `  D )  =  (Scalar `  D )
5 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  D )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  D )
)
6 ldual0vs.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
71, 2, 3, 4, 5, 6ldual0 33131 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (Scalar `  D ) )  =  .0.  )
87oveq1d 6216 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  D ) ) 
.x.  G )  =  (  .0.  .x.  G
) )
93, 6lduallmod 33137 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  LMod )
10 ldual0vs.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
11 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
12 ldual0vs.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
1310, 3, 11, 6, 12ldualelvbase 33111 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  D ) )
14 ldual0vs.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  D )
15 ldual0vs.o . . . 4  |-  O  =  ( 0g `  D
)
1611, 4, 14, 5, 15lmod0vs 17105 . . 3  |-  ( ( D  e.  LMod  /\  G  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  D ) )  .x.  G )  =  O )
179, 13, 16syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  D ) ) 
.x.  G )  =  O )
188, 17eqtr3d 2497 1  |-  ( ph  ->  (  .0.  .x.  G
)  =  O )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293  Scalarcsca 14361   .scvsca 14362   0gc0g 14498   LModclmod 17072  LFnlclfn 33041  LDualcld 33107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-oppr 16839  df-lmod 17074  df-lfl 33042  df-ldual 33108
This theorem is referenced by:  lkrss2N  33153  lcfrlem33  35559
  Copyright terms: Public domain W3C validator