Theorem ldsysgenld 29031

Description: The intersection of all lambda-systems containing a given collection of sets A, which is called the lambda-system generated by A, is itself also a lambda-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isldsys.l	|- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }
ldsysgenld.1	|- ( ph -> O e. V )
ldsysgenld.2	|- ( ph -> A C_ ~P O )

Assertion

Ref	Expression
ldsysgenld	|- ( ph -> |^| { t e. L | A C_ t } e. L )

Distinct variable groups:   y, s   t, L   O, s, t, x   x, V   y, t   A, s, t, x   L, s, x   ph, t, x

Allowed substitution hints:   ph( y, s)   A( y)   L( y)   O( y)   V( y, t, s)

Proof of Theorem ldsysgenld

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldsysgenld.1	. . . . 5 |- ( ph -> O e. V )
2		pwsiga 29001	. . . . 5 |- ( O e. V -> ~P O e. (sigAlgebra ` O ) )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ~P O e. (sigAlgebra ` O ) )
4		isldsys.l	. . . . . . . 8 |- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }
5	4	sigaldsys 29030	. . . . . . 7 |- (sigAlgebra ` O ) C_ L
6	5, 3	sseldi 3442	. . . . . 6 |- ( ph -> ~P O e. L )
7		ldsysgenld.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ ~P O )
8		sseq2 3466	. . . . . . 7 |- ( t = ~P O -> ( A C_ t <-> A C_ ~P O ) )
9	8	elrab 3208	. . . . . 6 |- ( ~P O e. { t e. L | A C_ t } <-> ( ~P O e. L /\ A C_ ~P O ) )
10	6, 7, 9	sylanbrc 675	. . . . 5 |- ( ph -> ~P O e. { t e. L | A C_ t } )
11		intss1 4263	. . . . 5 |- ( ~P O e. { t e. L | A C_ t } -> |^| { t e. L | A C_ t } C_ ~P O )
12	10, 11	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> |^| { t e. L | A C_ t } C_ ~P O )
13	3, 12	sselpwd 28202	. . 3 |- ( ph -> |^| { t e. L | A C_ t } e. ~P ~P O )
14	4	isldsys 29027	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. L <-> ( t e. ~P ~P O /\ ( (/) e. t /\ A. x e. t ( O \ x ) e. t /\ A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) ) ) )
15	14	simprbi 470	. . . . . . . . 9 |- ( t e. L -> ( (/) e. t /\ A. x e. t ( O \ x ) e. t /\ A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) ) )
16	15	simp1d 1026	. . . . . . . 8 |- ( t e. L -> (/) e. t )
17	16	adantl 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> (/) e. t )
18	17	a1d 26	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> ( A C_ t -> (/) e. t ) )
19	18	ralrimiva 2814	. . . . 5 |- ( ph -> A. t e. L ( A C_ t -> (/) e. t ) )
20		0ex 4549	. . . . . 6 |- (/) e. _V
21	20	elintrab 4260	. . . . 5 |- ( (/) e. |^| { t e. L | A C_ t } <-> A. t e. L ( A C_ t -> (/) e. t ) )
22	19, 21	sylibr 217	. . . 4 |- ( ph -> (/) e. |^| { t e. L | A C_ t } )
23		nfv 1772	. . . . . . . 8 |- F/ t ph
24		nfcv 2603	. . . . . . . . 9 |- F/_ t x
25		nfrab1 2983	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t { t e. L | A C_ t }
26	25	nfint 4258	. . . . . . . . 9 |- F/_ t |^| { t e. L | A C_ t }
27	24, 26	nfel 2615	. . . . . . . 8 |- F/ t x e. |^| { t e. L | A C_ t }
28	23, 27	nfan 2022	. . . . . . 7 |- F/ t ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } )
29		simplr 767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> t e. L )
30		vex 3060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
31	30	elintrab 4260	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. |^| { t e. L | A C_ t } <-> A. t e. L ( A C_ t -> x e. t ) )
32	31	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. |^| { t e. L | A C_ t } -> A. t e. L ( A C_ t -> x e. t ) )
33	32	adantl 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) -> A. t e. L ( A C_ t -> x e. t ) )
34	33	r19.21bi 2769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ t e. L ) -> ( A C_ t -> x e. t ) )
35	34	imp 435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> x e. t )
36	15	simp2d 1027	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. L -> A. x e. t ( O \ x ) e. t )
37	36	r19.21bi 2769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. L /\ x e. t ) -> ( O \ x ) e. t )
38	29, 35, 37	syl2anc 671	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> ( O \ x ) e. t )
39	38	ex 440	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ t e. L ) -> ( A C_ t -> ( O \ x ) e. t ) )
40	39	ex 440	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) -> ( t e. L -> ( A C_ t -> ( O \ x ) e. t ) ) )
41	28, 40	ralrimi 2800	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) -> A. t e. L ( A C_ t -> ( O \ x ) e. t ) )
42		difexg 4565	. . . . . . . 8 |- ( O e. V -> ( O \ x ) e. _V )
43		elintrabg 4261	. . . . . . . 8 |- ( ( O \ x ) e. _V -> ( ( O \ x ) e. |^| { t e. L | A C_ t } <-> A. t e. L ( A C_ t -> ( O \ x ) e. t ) ) )
44	1, 42, 43	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( O \ x ) e. |^| { t e. L | A C_ t } <-> A. t e. L ( A C_ t -> ( O \ x ) e. t ) ) )
45	44	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) -> ( ( O \ x ) e. |^| { t e. L | A C_ t } <-> A. t e. L ( A C_ t -> ( O \ x ) e. t ) ) )
46	41, 45	mpbird 240	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) -> ( O \ x ) e. |^| { t e. L | A C_ t } )
47	46	ralrimiva 2814	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. |^| { t e. L | A C_ t } ( O \ x ) e. |^| { t e. L | A C_ t } )
48	26	nfpw 3975	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t ~P |^| { t e. L | A C_ t }
49	24, 48	nfel 2615	. . . . . . . . . 10 |- F/ t x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t }
50	23, 49	nfan 2022	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } )
51		nfv 1772	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y )
52	50, 51	nfan 2022	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) )
53		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> t e. L )
54		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) /\ u e. |^| { t e. L | A C_ t } ) -> u e. |^| { t e. L | A C_ t } )
55		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) /\ u e. |^| { t e. L | A C_ t } ) -> t e. L )
56		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) /\ u e. |^| { t e. L | A C_ t } ) -> A C_ t )
57		vex 3060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- u e. _V
58	57	elintrab 4260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. |^| { t e. L | A C_ t } <-> A. t e. L ( A C_ t -> u e. t ) )
59	58	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. |^| { t e. L | A C_ t } -> A. t e. L ( A C_ t -> u e. t ) )
60	59	r19.21bi 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. |^| { t e. L | A C_ t } /\ t e. L ) -> ( A C_ t -> u e. t ) )
61	60	imp 435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( u e. |^| { t e. L | A C_ t } /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> u e. t )
62	54, 55, 56, 61	syl21anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) /\ u e. |^| { t e. L | A C_ t } ) -> u e. t )
63	62	ex 440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> ( u e. |^| { t e. L | A C_ t } -> u e. t ) )
64	63	ssrdv 3450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> |^| { t e. L | A C_ t } C_ t )
65		sspwb 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( |^| { t e. L | A C_ t } C_ t <-> ~P |^| { t e. L | A C_ t } C_ ~P t )
66	64, 65	sylib 201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> ~P |^| { t e. L | A C_ t } C_ ~P t )
67		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } )
68	66, 67	sseldd 3445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> x e. ~P t )
69		simpllr 774	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) )
70	15	simp3d 1028	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. L -> A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) )
71	70	r19.21bi 2769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. L /\ x e. ~P t ) -> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) )
72	71	imp 435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( t e. L /\ x e. ~P t ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> U. x e. t )
73	53, 68, 69, 72	syl21anc 1275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> U. x e. t )
74	73	ex 440	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) -> ( A C_ t -> U. x e. t ) )
75	74	ex 440	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> ( t e. L -> ( A C_ t -> U. x e. t ) ) )
76	52, 75	ralrimi 2800	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> A. t e. L ( A C_ t -> U. x e. t ) )
77	30	uniex 6614	. . . . . . . 8 |- U. x e. _V
78	77	elintrab 4260	. . . . . . 7 |- ( U. x e. |^| { t e. L | A C_ t } <-> A. t e. L ( A C_ t -> U. x e. t ) )
79	76, 78	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> U. x e. |^| { t e. L | A C_ t } )
80	79	ex 440	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) -> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) )
81	80	ralrimiva 2814	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) )
82	22, 47, 81	3jca 1194	. . 3 |- ( ph -> ( (/) e. |^| { t e. L | A C_ t } /\ A. x e. |^| { t e. L | A C_ t } ( O \ x ) e. |^| { t e. L | A C_ t } /\ A. x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) ) )
83	13, 82	jca 539	. 2 |- ( ph -> ( |^| { t e. L | A C_ t } e. ~P ~P O /\ ( (/) e. |^| { t e. L | A C_ t } /\ A. x e. |^| { t e. L | A C_ t } ( O \ x ) e. |^| { t e. L | A C_ t } /\ A. x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) ) ) )
84	4	isldsys 29027	. 2 |- ( |^| { t e. L | A C_ t } e. L <-> ( |^| { t e. L | A C_ t } e. ~P ~P O /\ ( (/) e. |^| { t e. L | A C_ t } /\ A. x e. |^| { t e. L | A C_ t } ( O \ x ) e. |^| { t e. L | A C_ t } /\ A. x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) ) ) )
85	83, 84	sylibr 217	1 |- ( ph -> |^| { t e. L | A C_ t } e. L )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   A.wral 2749   {crab 2753   _Vcvv 3057   \ cdif 3413   C_ wss 3416   (/)c0 3743   ~Pcpw 3963   U.cuni 4212   |^|cint 4248  Disj wdisj 4387   class class class wbr 4416   ` cfv 5601   omcom 6719   ~<_ cdom 7593  sigAlgebracsiga 28978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-ac2 8919

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-oi 8051  df-card 8399  df-acn 8402  df-ac 8573  df-cda 8624  df-siga 28979

This theorem is referenced by:  ldgenpisys  29037  dynkin  29038