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Theorem ldilco 35580
Description: The composition of two lattice automorphisms is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ldilco.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ldilco.d  |-  D  =  ( ( LDil `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ldilco  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  ( F  o.  G )  e.  D
)

Proof of Theorem ldilco
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 1021 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  K  e.  V )
2 ldilco.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( LAut `  K )  =  (
LAut `  K )
4 ldilco.d . . . . 5  |-  D  =  ( ( LDil `  K
) `  W )
52, 3, 4ldillaut 35575 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D )  ->  F  e.  ( LAut `  K
) )
653adant3 1017 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  F  e.  ( LAut `  K )
)
72, 3, 4ldillaut 35575 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  G  e.  D )  ->  G  e.  ( LAut `  K
) )
873adant2 1016 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  G  e.  ( LAut `  K )
)
93lautco 35561 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  ( LAut `  K )  /\  G  e.  ( LAut `  K
) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( LAut `  K
) )
101, 6, 8, 9syl3anc 1229 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  ( F  o.  G )  e.  (
LAut `  K )
)
11 simp11 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( K  e.  V  /\  W  e.  H ) )
12 simp13 1029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  G  e.  D )
13 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1413, 2, 4ldil1o 35576 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  G  e.  D )  ->  G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )
)
1511, 12, 14syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
16 f1of 5806 . . . . . . 7  |-  ( G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
1715, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  G :
( Base `  K ) --> ( Base `  K )
)
18 simp2 998 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  x  e.  ( Base `  K )
)
19 fvco3 5935 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  /\  x  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
2017, 18, 19syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( ( F  o.  G ) `  x )  =  ( F `  ( G `
 x ) ) )
21 simp3 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  x ( le `  K ) W )
22 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2313, 22, 2, 4ldilval 35577 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  G  e.  D  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W ) )  ->  ( G `  x )  =  x )
2411, 12, 18, 21, 23syl112anc 1233 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( G `  x )  =  x )
2524fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( F `  ( G `  x
) )  =  ( F `  x ) )
26 simp12 1028 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  F  e.  D )
2713, 22, 2, 4ldilval 35577 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W ) )  ->  ( F `  x )  =  x )
2811, 26, 18, 21, 27syl112anc 1233 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( F `  x )  =  x )
2920, 25, 283eqtrd 2488 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( ( F  o.  G ) `  x )  =  x )
30293exp 1196 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  ( x  e.  ( Base `  K
)  ->  ( x
( le `  K
) W  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  x ) ) )
3130ralrimiv 2855 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  A. x  e.  ( Base `  K
) ( x ( le `  K ) W  ->  ( ( F  o.  G ) `  x )  =  x ) )
3213, 22, 2, 3, 4isldil 35574 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( ( F  o.  G )  e.  D  <->  ( ( F  o.  G
)  e.  ( LAut `  K )  /\  A. x  e.  ( Base `  K ) ( x ( le `  K
) W  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  x ) ) ) )
33323ad2ant1 1018 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  ( ( F  o.  G )  e.  D  <->  ( ( F  o.  G )  e.  ( LAut `  K
)  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) ( x ( le `  K ) W  ->  ( ( F  o.  G ) `  x )  =  x ) ) ) )
3410, 31, 33mpbir2and 922 1  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  ( F  o.  G )  e.  D
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   class class class wbr 4437    o. ccom 4993   -->wf 5574   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578   Basecbs 14509   lecple 14581   LHypclh 35448   LAutclaut 35449   LDilcldil 35564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-map 7424  df-laut 35453  df-ldil 35568
This theorem is referenced by:  ltrnco  36185
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