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Theorem ldilco 34068
Description: The composition of two lattice automorphisms is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ldilco.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ldilco.d  |-  D  =  ( ( LDil `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ldilco  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  ( F  o.  G )  e.  D
)

Proof of Theorem ldilco
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 1012 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  K  e.  V )
2 ldilco.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( LAut `  K )  =  (
LAut `  K )
4 ldilco.d . . . . 5  |-  D  =  ( ( LDil `  K
) `  W )
52, 3, 4ldillaut 34063 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D )  ->  F  e.  ( LAut `  K
) )
653adant3 1008 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  F  e.  ( LAut `  K )
)
72, 3, 4ldillaut 34063 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  G  e.  D )  ->  G  e.  ( LAut `  K
) )
873adant2 1007 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  G  e.  ( LAut `  K )
)
93lautco 34049 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  ( LAut `  K )  /\  G  e.  ( LAut `  K
) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( LAut `  K
) )
101, 6, 8, 9syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  ( F  o.  G )  e.  (
LAut `  K )
)
11 simp11 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( K  e.  V  /\  W  e.  H ) )
12 simp13 1020 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  G  e.  D )
13 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1413, 2, 4ldil1o 34064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  G  e.  D )  ->  G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )
)
1511, 12, 14syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
16 f1of 5741 . . . . . . 7  |-  ( G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
1715, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  G :
( Base `  K ) --> ( Base `  K )
)
18 simp2 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  x  e.  ( Base `  K )
)
19 fvco3 5869 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  /\  x  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
2017, 18, 19syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( ( F  o.  G ) `  x )  =  ( F `  ( G `
 x ) ) )
21 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  x ( le `  K ) W )
22 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2313, 22, 2, 4ldilval 34065 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  G  e.  D  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W ) )  ->  ( G `  x )  =  x )
2411, 12, 18, 21, 23syl112anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( G `  x )  =  x )
2524fveq2d 5795 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( F `  ( G `  x
) )  =  ( F `  x ) )
26 simp12 1019 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  F  e.  D )
2713, 22, 2, 4ldilval 34065 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W ) )  ->  ( F `  x )  =  x )
2811, 26, 18, 21, 27syl112anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( F `  x )  =  x )
2920, 25, 283eqtrd 2496 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( ( F  o.  G ) `  x )  =  x )
30293exp 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  ( x  e.  ( Base `  K
)  ->  ( x
( le `  K
) W  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  x ) ) )
3130ralrimiv 2820 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  A. x  e.  ( Base `  K
) ( x ( le `  K ) W  ->  ( ( F  o.  G ) `  x )  =  x ) )
3213, 22, 2, 3, 4isldil 34062 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( ( F  o.  G )  e.  D  <->  ( ( F  o.  G
)  e.  ( LAut `  K )  /\  A. x  e.  ( Base `  K ) ( x ( le `  K
) W  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  x ) ) ) )
33323ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  ( ( F  o.  G )  e.  D  <->  ( ( F  o.  G )  e.  ( LAut `  K
)  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) ( x ( le `  K ) W  ->  ( ( F  o.  G ) `  x )  =  x ) ) ) )
3410, 31, 33mpbir2and 913 1  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  ( F  o.  G )  e.  D
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   class class class wbr 4392    o. ccom 4944   -->wf 5514   -1-1-onto->wf1o 5517   ` cfv 5518   Basecbs 14278   lecple 14349   LHypclh 33936   LAutclaut 33937   LDilcldil 34052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-map 7318  df-laut 33941  df-ldil 34056
This theorem is referenced by:  ltrnco  34671
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