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Theorem ldgenpisyslem1 29059
Description: Lemma for ldgenpisys 29062. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p  |-  P  =  { s  e.  ~P ~P O  |  ( fi `  s )  C_  s }
dynkin.l  |-  L  =  { s  e.  ~P ~P O  |  ( (/) 
e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  s
) ) }
dynkin.o  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
ldgenpisys.e  |-  E  = 
|^| { t  e.  L  |  T  C_  t }
ldgenpisys.1  |-  ( ph  ->  T  e.  P )
ldgenpisyslem1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  E )
Assertion
Ref Expression
ldgenpisyslem1  |-  ( ph  ->  { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  e.  L )
Distinct variable groups:    t, s, x, y, L    O, s,
t, x    t, P, x, y    L, s    T, s, t, x    ph, t, x    s, b, x, A, t, y    E, b, s, t, x, y    O, b, y    x, V   
y, T    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( s, b)    P( s, b)    T( b)    L( b)    V( y, t, s, b)

Proof of Theorem ldgenpisyslem1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3500 . . . 4  |-  { b  e.  ~P O  | 
( A  i^i  b
)  e.  E }  C_ 
~P O
2 dynkin.o . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
3 pwexg 4585 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  ~P O  e.  _V )
4 rabexg 4549 . . . . 5  |-  ( ~P O  e.  _V  ->  { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  e.  _V )
5 elpwg 3950 . . . . 5  |-  ( { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  e.  _V  ->  ( { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  e.  ~P ~P O 
<->  { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  C_  ~P O ) )
62, 3, 4, 54syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { b  e. 
~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  e.  ~P ~P O  <->  { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  C_  ~P O ) )
71, 6mpbiri 241 . . 3  |-  ( ph  ->  { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  e.  ~P ~P O )
8 0elpw 4570 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ~P O
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ~P O
)
10 in0 3763 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  (/) )  =  (/)
11 dynkin.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  L  =  { s  e.  ~P ~P O  |  ( (/) 
e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  s
) ) }
1211isldsys 29052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  L  <->  ( t  e.  ~P ~P O  /\  ( (/)  e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e.  ~P  t
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t ) ) ) )
1312simprbi 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  L  ->  ( (/) 
e.  t  /\  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  /\  A. x  e.  ~P  t ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t
) ) )
1413simp1d 1042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  L  ->  (/)  e.  t )
1514ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  (/)  e.  t )
1615ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( T  C_  t  ->  (/)  e.  t ) )
1716ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. t  e.  L  ( T  C_  t  ->  (/) 
e.  t ) )
188elexi 3041 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
1918elintrab 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  |^| { t  e.  L  |  T  C_  t }  <->  A. t  e.  L  ( T  C_  t  ->  (/) 
e.  t ) )
2017, 19sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  |^| { t  e.  L  |  T  C_  t } )
2110, 20syl5eqel 2553 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (/) )  e. 
|^| { t  e.  L  |  T  C_  t } )
22 ldgenpisys.e . . . . . . 7  |-  E  = 
|^| { t  e.  L  |  T  C_  t }
2321, 22syl6eleqr 2560 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (/) )  e.  E )
249, 23jca 541 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  (/) )  e.  E ) )
25 ineq2 3619 . . . . . . 7  |-  ( b  =  (/)  ->  ( A  i^i  b )  =  ( A  i^i  (/) ) )
2625eleq1d 2533 . . . . . 6  |-  ( b  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  b )  e.  E  <->  ( A  i^i  (/) )  e.  E
) )
2726elrab 3184 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } 
<->  ( (/)  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  (/) )  e.  E ) )
2824, 27sylibr 217 . . . 4  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )
29 ineq2 3619 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  x  ->  ( A  i^i  b )  =  ( A  i^i  x
) )
3029eleq1d 2533 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  x  ->  (
( A  i^i  b
)  e.  E  <->  ( A  i^i  x )  e.  E
) )
3130elrab 3184 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { b  e. 
~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  <->  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E ) )
32 pwidg 3955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( O  e.  V  ->  O  e.  ~P O )
332, 32syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  O  e.  ~P O
)
3433adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E ) )  ->  O  e.  ~P O
)
3534elpwdifcl 28233 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E ) )  -> 
( O  \  x
)  e.  ~P O
)
3611pwldsys 29053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( O  e.  V  ->  ~P O  e.  L )
372, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ~P O  e.  L
)
38 ldgenpisys.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  T  e.  P )
39 dynkin.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  P  =  { s  e.  ~P ~P O  |  ( fi `  s )  C_  s }
4039ispisys 29048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( T  e.  P  <->  ( T  e.  ~P ~P O  /\  ( fi `  T ) 
C_  T ) )
4138, 40sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( T  e.  ~P ~P O  /\  ( fi `  T )  C_  T ) )
4241simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  T  e.  ~P ~P O )
43 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( T  e.  ~P ~P O  ->  T  C_  ~P O
)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  T  C_  ~P O
)
45 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  ~P O  -> 
( T  C_  t  <->  T 
C_  ~P O ) )
4645intminss 4252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ~P O  e.  L  /\  T  C_  ~P O
)  ->  |^| { t  e.  L  |  T  C_  t }  C_  ~P O )
4737, 44, 46syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  |^| { t  e.  L  |  T  C_  t }  C_  ~P O
)
4822, 47syl5eqss 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  E  C_  ~P O
)
49 ldgenpisyslem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  E )
5048, 49sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  ~P O
)
51 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ~P O  ->  A  C_  O )
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  O )
5352ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E
) )  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  A  C_  O )
54 difin 3671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
\  ( A  i^i  x ) )  =  ( A  \  x
)
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A 
C_  O  ->  ( A  \  ( A  i^i  x ) )  =  ( A  \  x
) )
56 difin2 3696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A 
C_  O  ->  ( A  \  x )  =  ( ( O  \  x )  i^i  A
) )
5755, 56eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  O  ->  ( A  \  ( A  i^i  x ) )  =  ( ( O  \  x )  i^i  A
) )
58 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( O  \  x )  i^i  A )  =  ( A  i^i  ( O  \  x ) )
5957, 58syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  O  ->  ( A  \  ( A  i^i  x ) )  =  ( A  i^i  ( O  \  x ) ) )
60 difuncomp 28244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  O  ->  ( A  \  ( A  i^i  x ) )  =  ( O  \  (
( O  \  A
)  u.  ( A  i^i  x ) ) ) )
6159, 60eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  O  ->  ( A  i^i  ( O  \  x ) )  =  ( O  \  (
( O  \  A
)  u.  ( A  i^i  x ) ) ) )
6253, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E
) )  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  ( A  i^i  ( O  \  x ) )  =  ( O  \  (
( O  \  A
)  u.  ( A  i^i  x ) ) ) )
63 difeq2 3534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( O 
\  A )  u.  ( A  i^i  x
) )  ->  ( O  \  y )  =  ( O  \  (
( O  \  A
)  u.  ( A  i^i  x ) ) ) )
6463eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( O 
\  A )  u.  ( A  i^i  x
) )  ->  (
( O  \  y
)  e.  t  <->  ( O  \  ( ( O  \  A )  u.  ( A  i^i  x ) ) )  e.  t ) )
65 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E
) )  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  t  e.  L )
6613simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  L  ->  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t )
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E
) )  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t )
68 difeq2 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( O  \  x )  =  ( O  \  y
) )
6968eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
( O  \  x
)  e.  t  <->  ( O  \  y )  e.  t ) )
7069cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  t  ( O  \  x )  e.  t  <->  A. y  e.  t  ( O  \  y
)  e.  t )
7167, 70sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E
) )  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  A. y  e.  t  ( O  \  y )  e.  t )
7249, 22syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  e.  |^| { t  e.  L  |  T  C_  t } )
73 elintrabg 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  E  ->  ( A  e.  |^| { t  e.  L  |  T  C_  t }  <->  A. t  e.  L  ( T  C_  t  ->  A  e.  t ) ) )
7449, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( A  e.  |^| { t  e.  L  |  T  C_  t }  <->  A. t  e.  L  ( T  C_  t  ->  A  e.  t ) ) )
7572, 74mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. t  e.  L  ( T  C_  t  ->  A  e.  t )
)
7675r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( T  C_  t  ->  A  e.  t ) )
7776imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  A  e.  t )
7877adantllr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E
) )  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  A  e.  t )
79 difeq2 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  A  ->  ( O  \  x )  =  ( O  \  A
) )
8079eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  A  ->  (
( O  \  x
)  e.  t  <->  ( O  \  A )  e.  t ) )
8166adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  L  /\  A  e.  t )  ->  A. x  e.  t  ( O  \  x
)  e.  t )
82 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  L  /\  A  e.  t )  ->  A  e.  t )
8380, 81, 82rspcdva 3142 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  L  /\  A  e.  t )  ->  ( O  \  A
)  e.  t )
8465, 78, 83syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E
) )  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  ( O  \  A )  e.  t )
85 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E
) )  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  (
x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x
)  e.  E ) )
8685simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E
) )  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  ( A  i^i  x )  e.  E )
8786, 22syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E
) )  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  ( A  i^i  x )  e. 
|^| { t  e.  L  |  T  C_  t } )
88 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  x  e. 
_V
8988inex2 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  i^i  x )  e. 
_V
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E
) )  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  ( A  i^i  x )  e. 
_V )
91 elintrabg 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  i^i  x )  e.  _V  ->  (
( A  i^i  x
)  e.  |^| { t  e.  L  |  T  C_  t }  <->  A. t  e.  L  ( T  C_  t  ->  ( A  i^i  x )  e.  t ) ) )
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E
) )  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  (
( A  i^i  x
)  e.  |^| { t  e.  L  |  T  C_  t }  <->  A. t  e.  L  ( T  C_  t  ->  ( A  i^i  x )  e.  t ) ) )
9387, 92mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E
) )  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  A. t  e.  L  ( T  C_  t  ->  ( A  i^i  x )  e.  t ) )
94 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E
) )  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  T  C_  t )
95 rspa 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. t  e.  L  ( T  C_  t  -> 
( A  i^i  x
)  e.  t )  /\  t  e.  L
)  ->  ( T  C_  t  ->  ( A  i^i  x )  e.  t ) )
9695imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A. t  e.  L  ( T  C_  t  ->  ( A  i^i  x )  e.  t )  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  ( A  i^i  x )  e.  t )
9793, 65, 94, 96syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E
) )  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  ( A  i^i  x )  e.  t )
98 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( O  \  A )  i^i  ( A  i^i  x ) )  =  ( ( A  i^i  x )  i^i  ( O  \  A ) )
99 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  i^i  x )  C_  A
100 disjdif 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  i^i  ( O  \  A ) )  =  (/)
101 ssdisj 3818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  i^i  x
)  C_  A  /\  ( A  i^i  ( O  \  A ) )  =  (/) )  ->  (
( A  i^i  x
)  i^i  ( O  \  A ) )  =  (/) )
10299, 100, 101mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  i^i  x )  i^i  ( O  \  A ) )  =  (/)
10398, 102eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( O  \  A )  i^i  ( A  i^i  x ) )  =  (/)
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E
) )  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  (
( O  \  A
)  i^i  ( A  i^i  x ) )  =  (/) )
10511, 65, 84, 97, 104unelldsys 29054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E
) )  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  (
( O  \  A
)  u.  ( A  i^i  x ) )  e.  t )
10664, 71, 105rspcdva 3142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E
) )  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  ( O  \  ( ( O 
\  A )  u.  ( A  i^i  x
) ) )  e.  t )
10762, 106eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E
) )  /\  t  e.  L )  /\  T  C_  t )  ->  ( A  i^i  ( O  \  x ) )  e.  t )
108107ex 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x
)  e.  E ) )  /\  t  e.  L )  ->  ( T  C_  t  ->  ( A  i^i  ( O  \  x ) )  e.  t ) )
109108ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E ) )  ->  A. t  e.  L  ( T  C_  t  -> 
( A  i^i  ( O  \  x ) )  e.  t ) )
110 inex1g 4539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  E  ->  ( A  i^i  ( O  \  x ) )  e. 
_V )
11149, 110syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( O  \  x ) )  e.  _V )
112111adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E ) )  -> 
( A  i^i  ( O  \  x ) )  e.  _V )
113 elintrabg 4239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  ( O 
\  x ) )  e.  _V  ->  (
( A  i^i  ( O  \  x ) )  e.  |^| { t  e.  L  |  T  C_  t }  <->  A. t  e.  L  ( T  C_  t  -> 
( A  i^i  ( O  \  x ) )  e.  t ) ) )
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E ) )  -> 
( ( A  i^i  ( O  \  x
) )  e.  |^| { t  e.  L  |  T  C_  t }  <->  A. t  e.  L  ( T  C_  t  ->  ( A  i^i  ( O  \  x
) )  e.  t ) ) )
115109, 114mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E ) )  -> 
( A  i^i  ( O  \  x ) )  e.  |^| { t  e.  L  |  T  C_  t } )
116115, 22syl6eleqr 2560 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E ) )  -> 
( A  i^i  ( O  \  x ) )  e.  E )
11735, 116jca 541 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  x )  e.  E ) )  -> 
( ( O  \  x )  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  ( O  \  x
) )  e.  E
) )
11831, 117sylan2b 483 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  ->  (
( O  \  x
)  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  ( O  \  x ) )  e.  E ) )
119 ineq2 3619 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( O  \  x )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( A  i^i  ( O  \  x ) ) )
120119eleq1d 2533 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( O  \  x )  ->  (
( A  i^i  b
)  e.  E  <->  ( A  i^i  ( O  \  x
) )  e.  E
) )
121120elrab 3184 . . . . . 6  |-  ( ( O  \  x )  e.  { b  e. 
~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  <->  ( ( O  \  x )  e. 
~P O  /\  ( A  i^i  ( O  \  x ) )  e.  E ) )
122118, 121sylibr 217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  ->  ( O  \  x )  e. 
{ b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )
123122ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  ( O  \  x )  e.  {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )
1242ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P { b  e. 
~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  O  e.  V )
125 sspwb 4649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  C_  ~P O  <->  ~P { b  e.  ~P O  | 
( A  i^i  b
)  e.  E }  C_ 
~P ~P O )
1261, 125mpbi 213 . . . . . . . . . 10  |-  ~P {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  C_  ~P ~P O
127 simplr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P { b  e. 
~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  x  e.  ~P { b  e. 
~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )
128126, 127sseldi 3416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P { b  e. 
~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  x  e.  ~P ~P O )
129124, 128elpwunicl 28246 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P { b  e. 
~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  U. x  e.  ~P O )
130 uniin2 28243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ y  e.  x  ( A  i^i  y )  =  ( A  i^i  U. x
)
131 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
132131inex2 4538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  i^i  y )  e. 
_V
133132dfiun3 5095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ y  e.  x  ( A  i^i  y )  =  U. ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y
) )
134130, 133eqtr3i 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  U. x )  =  U. ran  (
y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )
135 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)  ->  t  e.  L )
136 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ y ( ph  /\  x  e.  ~P { b  e. 
~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )
137 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ y  x  ~<_  om
138 nfdisj1 4379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ yDisj  y  e.  x  y
139137, 138nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ y ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )
140136, 139nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ y ( ( ph  /\  x  e.  ~P { b  e.  ~P O  | 
( A  i^i  b
)  e.  E }
)  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )
141 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ y  t  e.  L
142140, 141nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ y ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)
143 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ y  T  C_  t
144142, 143nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ~P { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)
145 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ~P { b  e.  ~P O  | 
( A  i^i  b
)  e.  E }  ->  x  C_  { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )
146145ad4antlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)  ->  x  C_  { b  e.  ~P O  | 
( A  i^i  b
)  e.  E }
)
147146sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ~P { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )
148 ineq2 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  y  ->  ( A  i^i  b )  =  ( A  i^i  y
) )
149148eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( b  =  y  ->  (
( A  i^i  b
)  e.  E  <->  ( A  i^i  y )  e.  E
) )
150149elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  { b  e. 
~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  <->  ( y  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  y )  e.  E ) )
151150simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  { b  e. 
~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  ->  ( A  i^i  y )  e.  E )
152147, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ~P { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)  /\  y  e.  x )  ->  ( A  i^i  y )  e.  E )
153135adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ~P { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)  /\  y  e.  x )  ->  t  e.  L )
154 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ~P { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)  /\  y  e.  x )  ->  T  C_  t )
15522eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  i^i  y )  e.  E  <->  ( A  i^i  y )  e.  |^| { t  e.  L  |  T  C_  t } )
156132elintrab 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  i^i  y )  e.  |^| { t  e.  L  |  T  C_  t }  <->  A. t  e.  L  ( T  C_  t  -> 
( A  i^i  y
)  e.  t ) )
157155, 156bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  i^i  y )  e.  E  <->  A. t  e.  L  ( T  C_  t  ->  ( A  i^i  y )  e.  t ) )
158 rspa 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A. t  e.  L  ( T  C_  t  -> 
( A  i^i  y
)  e.  t )  /\  t  e.  L
)  ->  ( T  C_  t  ->  ( A  i^i  y )  e.  t ) )
159157, 158sylanb 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  i^i  y
)  e.  E  /\  t  e.  L )  ->  ( T  C_  t  ->  ( A  i^i  y
)  e.  t ) )
160159imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  i^i  y )  e.  E  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)  ->  ( A  i^i  y )  e.  t )
161152, 153, 154, 160syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ~P { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)  /\  y  e.  x )  ->  ( A  i^i  y )  e.  t )
162161ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)  ->  ( y  e.  x  ->  ( A  i^i  y )  e.  t ) )
163144, 162ralrimi 2800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)  ->  A. y  e.  x  ( A  i^i  y )  e.  t )
164 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )  =  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )
165164rnmptss 6068 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  x  ( A  i^i  y )  e.  t  ->  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) ) 
C_  t )
166163, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)  ->  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) ) 
C_  t )
167135, 166sselpwd 4544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)  ->  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )  e.  ~P t )
168 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)  ->  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )
169168simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)  ->  x  ~<_  om )
170 mptct 28377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  ~<_  om  ->  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )  ~<_  om )
171 rnct 28375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )  ~<_  om  ->  ran  (
y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )  ~<_  om )
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  ~<_  om  ->  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )  ~<_  om )
173169, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)  ->  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )  ~<_  om )
174168simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)  -> Disj  y  e.  x  y )
175 disjin2 28274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (Disj  y  e.  x  y  -> Disj  y  e.  x  ( A  i^i  y ) )
176 disjrnmpt 28272 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (Disj  y  e.  x  ( A  i^i  y )  -> Disj  z  e. 
ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) ) z )
177174, 175, 1763syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)  -> Disj  z  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y
) ) z )
178 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y
( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y
) )
179178nfrn 5083 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y
) )
180 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ z
y
181 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y
z
182 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  y  =  z )
183179, 180, 181, 182cbvdisjf 28259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Disj  y  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) ) y  <-> Disj  z  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) ) z )
184177, 183sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)  -> Disj  y  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y
) ) y )
185 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )  ->  ( z  ~<_  om  <->  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y
) )  ~<_  om )
)
186181, 179disjeq1f 28261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )  ->  (Disj  y  e.  z 
y  <-> Disj  y  e.  ran  (
y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) ) y ) )
187185, 186anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )  ->  ( ( z  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  z  y )  <->  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y
) )  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) ) y ) ) )
188 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )  ->  U. z  =  U. ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y
) ) )
189188eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )  ->  ( U. z  e.  t  <->  U. ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )  e.  t ) )
190187, 189imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )  ->  ( ( ( z  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  z  y )  ->  U. z  e.  t
)  <->  ( ( ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y
) )  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) ) y )  ->  U. ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y
) )  e.  t ) ) )
19113simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  L  ->  A. x  e.  ~P  t ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t
) )
192 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  (
x  ~<_  om  <->  z  ~<_  om )
)
193 disjeq1 4373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  (Disj  y  e.  x  y  <-> Disj  y  e.  z  y ) )
194192, 193anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  <-> 
( z  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  z  y ) ) )
195 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  U. x  =  U. z )
196195eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  ( U. x  e.  t  <->  U. z  e.  t ) )
197194, 196imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t )  <->  ( (
z  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  z  y )  ->  U. z  e.  t
) ) )
198197cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  ~P  t
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  t )  <->  A. z  e.  ~P  t ( ( z  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  z  y )  ->  U. z  e.  t
) )
199191, 198sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  L  ->  A. z  e.  ~P  t ( ( z  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  z  y )  ->  U. z  e.  t
) )
200199adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  L  /\  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y
) )  e.  ~P t )  ->  A. z  e.  ~P  t ( ( z  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  z  y )  ->  U. z  e.  t
) )
201 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  L  /\  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y
) )  e.  ~P t )  ->  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y
) )  e.  ~P t )
202190, 200, 201rspcdva 3142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  L  /\  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y
) )  e.  ~P t )  ->  (
( ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y
) ) y )  ->  U. ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )  e.  t ) )
203202imp 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t  e.  L  /\  ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )  e. 
~P t )  /\  ( ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  ran  (
y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) ) y ) )  ->  U. ran  ( y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )  e.  t )
204135, 167, 173, 184, 203syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)  ->  U. ran  (
y  e.  x  |->  ( A  i^i  y ) )  e.  t )
205134, 204syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L
)  /\  T  C_  t
)  ->  ( A  i^i  U. x )  e.  t )
206205ex 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P { b  e.  ~P O  | 
( A  i^i  b
)  e.  E }
)  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  t  e.  L )  ->  ( T  C_  t  ->  ( A  i^i  U. x )  e.  t ) )
207206ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P { b  e. 
~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  A. t  e.  L  ( T  C_  t  ->  ( A  i^i  U. x )  e.  t ) )
20888uniex 6606 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. x  e.  _V
209208inex2 4538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  U. x )  e.  _V
210209elintrab 4238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  U. x
)  e.  |^| { t  e.  L  |  T  C_  t }  <->  A. t  e.  L  ( T  C_  t  ->  ( A  i^i  U. x )  e.  t ) )
211207, 210sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P { b  e. 
~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  ( A  i^i  U. x )  e.  |^| { t  e.  L  |  T  C_  t } )
212211, 22syl6eleqr 2560 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P { b  e. 
~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  ( A  i^i  U. x )  e.  E )
213129, 212jca 541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P { b  e. 
~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  ( U. x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  U. x )  e.  E
) )
214 ineq2 3619 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  U. x  -> 
( A  i^i  b
)  =  ( A  i^i  U. x ) )
215214eleq1d 2533 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  U. x  -> 
( ( A  i^i  b )  e.  E  <->  ( A  i^i  U. x
)  e.  E ) )
216215elrab 3184 . . . . . . 7  |-  ( U. x  e.  { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  <->  ( U. x  e.  ~P O  /\  ( A  i^i  U. x )  e.  E
) )
217213, 216sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P { b  e. 
~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  /\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  U. x  e.  { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )
218217ex 441 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } )  ->  (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } ) )
219218ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ~P  { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } ) )
22028, 123, 2193jca 1210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  { b  e.  ~P O  | 
( A  i^i  b
)  e.  E }  /\  A. x  e.  {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  ( O  \  x )  e.  {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  /\  A. x  e. 
~P  { b  e. 
~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } ) ) )
2217, 220jca 541 . 2  |-  ( ph  ->  ( { b  e. 
~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  e.  ~P ~P O  /\  ( (/) 
e.  { b  e. 
~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  /\  A. x  e.  { b  e.  ~P O  | 
( A  i^i  b
)  e.  E } 
( O  \  x
)  e.  { b  e.  ~P O  | 
( A  i^i  b
)  e.  E }  /\  A. x  e.  ~P  { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } ) ) ) )
22211isldsys 29052 . 2  |-  ( { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  e.  L  <->  ( {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  e.  ~P ~P O  /\  ( (/)  e.  {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  /\  A. x  e. 
{ b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  ( O  \  x )  e.  {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  /\  A. x  e. 
~P  { b  e. 
~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  U. x  e.  {
b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E } ) ) ) )
223221, 222sylibr 217 1  |-  ( ph  ->  { b  e.  ~P O  |  ( A  i^i  b )  e.  E }  e.  L )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   |^|cint 4226   U_ciun 4269  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840   ` cfv 5589   omcom 6711    ~<_ cdom 7585   ficfi 7942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-cda 8616
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