Theorem ldgenpisyslem1 28824

Description: Lemma for ldgenpisys (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	|- P = { s e. ~P ~P O | ( fi ` s ) C_ s }
dynkin.l	|- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }
dynkin.o	|- ( ph -> O e. V )
ldgenpisys.e	|- E = |^| { t e. L | T C_ t }
ldgenpisys.1	|- ( ph -> T e. P )
ldgenpisyslem1.1	|- ( ph -> A e. E )

Assertion

Ref	Expression
ldgenpisyslem1	|- ( ph -> { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } e. L )

Distinct variable groups:   t, s, x, y, L   O, s, t, x   t, P, x, y   L, s   T, s, t, x   ph, t, x   s, b, x, A, t, y   E, b, s, t, x, y   O, b, y   x, V   y, T   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( s, b)   P( s, b)   T( b)   L( b)   V( y, t, s, b)

Proof of Theorem ldgenpisyslem1

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3552	. . . 4 |- { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } C_ ~P O
2		dynkin.o	. . . . 5 |- ( ph -> O e. V )
3		pwexg 4609	. . . . 5 |- ( O e. V -> ~P O e. _V )
4		rabexg 4575	. . . . 5 |- ( ~P O e. _V -> { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } e. _V )
5		elpwg 3993	. . . . 5 |- ( { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } e. _V -> ( { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } e. ~P ~P O <-> { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } C_ ~P O ) )
6	2, 3, 4, 5	4syl 19	. . . 4 |- ( ph -> ( { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } e. ~P ~P O <-> { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } C_ ~P O ) )
7	1, 6	mpbiri 236	. . 3 |- ( ph -> { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } e. ~P ~P O )
8		0elpw 4594	. . . . . . 7 |- (/) e. ~P O
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> (/) e. ~P O )
10		in0 3794	. . . . . . . 8 |- ( A i^i (/) ) = (/)
11		dynkin.l	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }
12	11	isldsys 28817	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. L <-> ( t e. ~P ~P O /\ ( (/) e. t /\ A. x e. t ( O \ x ) e. t /\ A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) ) ) )
13	12	simprbi 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. L -> ( (/) e. t /\ A. x e. t ( O \ x ) e. t /\ A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) ) )
14	13	simp1d 1017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. L -> (/) e. t )
15	14	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> (/) e. t )
16	15	ex 435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> ( T C_ t -> (/) e. t ) )
17	16	ralrimiva 2846	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. t e. L ( T C_ t -> (/) e. t ) )
18	8	elexi 3097	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
19	18	elintrab 4270	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. |^| { t e. L | T C_ t } <-> A. t e. L ( T C_ t -> (/) e. t ) )
20	17, 19	sylibr 215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (/) e. |^| { t e. L | T C_ t } )
21	10, 20	syl5eqel 2521	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A i^i (/) ) e. |^| { t e. L | T C_ t } )
22		ldgenpisys.e	. . . . . . 7 |- E = |^| { t e. L | T C_ t }
23	21, 22	syl6eleqr 2528	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A i^i (/) ) e. E )
24	9, 23	jca 534	. . . . 5 |- ( ph -> ( (/) e. ~P O /\ ( A i^i (/) ) e. E ) )
25		ineq2 3664	. . . . . . 7 |- ( b = (/) -> ( A i^i b ) = ( A i^i (/) ) )
26	25	eleq1d 2498	. . . . . 6 |- ( b = (/) -> ( ( A i^i b ) e. E <-> ( A i^i (/) ) e. E ) )
27	26	elrab 3235	. . . . 5 |- ( (/) e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } <-> ( (/) e. ~P O /\ ( A i^i (/) ) e. E ) )
28	24, 27	sylibr 215	. . . 4 |- ( ph -> (/) e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } )
29		ineq2 3664	. . . . . . . . 9 |- ( b = x -> ( A i^i b ) = ( A i^i x ) )
30	29	eleq1d 2498	. . . . . . . 8 |- ( b = x -> ( ( A i^i b ) e. E <-> ( A i^i x ) e. E ) )
31	30	elrab 3235	. . . . . . 7 |- ( x e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } <-> ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) )
32		pwidg 3998	. . . . . . . . . . 11 |- ( O e. V -> O e. ~P O )
33	2, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> O e. ~P O )
34	33	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) -> O e. ~P O )
35	34	elpwdifcl 27993	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) -> ( O \ x ) e. ~P O )
36	11	pwldsys 28818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( O e. V -> ~P O e. L )
37	2, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ~P O e. L )
38		ldgenpisys.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> T e. P )
39		dynkin.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- P = { s e. ~P ~P O | ( fi ` s ) C_ s }
40	39	ispisys 28813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( T e. P <-> ( T e. ~P ~P O /\ ( fi ` T ) C_ T ) )
41	38, 40	sylib 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( T e. ~P ~P O /\ ( fi ` T ) C_ T ) )
42	41	simpld 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> T e. ~P ~P O )
43		elpwi 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T e. ~P ~P O -> T C_ ~P O )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> T C_ ~P O )
45		sseq2 3492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = ~P O -> ( T C_ t <-> T C_ ~P O ) )
46	45	intminss 4285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ~P O e. L /\ T C_ ~P O ) -> |^| { t e. L | T C_ t } C_ ~P O )
47	37, 44, 46	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> |^| { t e. L | T C_ t } C_ ~P O )
48	22, 47	syl5eqss 3514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> E C_ ~P O )
49		ldgenpisyslem1.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. E )
50	48, 49	sseldd 3471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. ~P O )
51		elpwi 3994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ~P O -> A C_ O )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ O )
53	52	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> A C_ O )
54		difin 3716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A \ ( A i^i x ) ) = ( A \ x )
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A C_ O -> ( A \ ( A i^i x ) ) = ( A \ x ) )
56		difin2 3741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A C_ O -> ( A \ x ) = ( ( O \ x ) i^i A ) )
57	55, 56	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A C_ O -> ( A \ ( A i^i x ) ) = ( ( O \ x ) i^i A ) )
58		incom 3661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( O \ x ) i^i A ) = ( A i^i ( O \ x ) )
59	57, 58	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A C_ O -> ( A \ ( A i^i x ) ) = ( A i^i ( O \ x ) ) )
60		difuncomp 28005	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A C_ O -> ( A \ ( A i^i x ) ) = ( O \ ( ( O \ A ) u. ( A i^i x ) ) ) )
61	59, 60	eqtr3d 2472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ O -> ( A i^i ( O \ x ) ) = ( O \ ( ( O \ A ) u. ( A i^i x ) ) ) )
62	53, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> ( A i^i ( O \ x ) ) = ( O \ ( ( O \ A ) u. ( A i^i x ) ) ) )
63		difeq2 3583	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( ( O \ A ) u. ( A i^i x ) ) -> ( O \ y ) = ( O \ ( ( O \ A ) u. ( A i^i x ) ) ) )
64	63	eleq1d 2498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( ( O \ A ) u. ( A i^i x ) ) -> ( ( O \ y ) e. t <-> ( O \ ( ( O \ A ) u. ( A i^i x ) ) ) e. t ) )
65		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> t e. L )
66	13	simp2d 1018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. L -> A. x e. t ( O \ x ) e. t )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> A. x e. t ( O \ x ) e. t )
68		difeq2 3583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( O \ x ) = ( O \ y ) )
69	68	eleq1d 2498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( ( O \ x ) e. t <-> ( O \ y ) e. t ) )
70	69	cbvralv 3062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. t ( O \ x ) e. t <-> A. y e. t ( O \ y ) e. t )
71	67, 70	sylib 199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> A. y e. t ( O \ y ) e. t )
72	49, 22	syl6eleq 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A e. |^| { t e. L | T C_ t } )
73		elintrabg 4271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. E -> ( A e. |^| { t e. L | T C_ t } <-> A. t e. L ( T C_ t -> A e. t ) ) )
74	49, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( A e. |^| { t e. L | T C_ t } <-> A. t e. L ( T C_ t -> A e. t ) ) )
75	72, 74	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. t e. L ( T C_ t -> A e. t ) )
76	75	r19.21bi 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> ( T C_ t -> A e. t ) )
77	76	imp 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> A e. t )
78	77	adantllr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> A e. t )
79		difeq2 3583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = A -> ( O \ x ) = ( O \ A ) )
80	79	eleq1d 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = A -> ( ( O \ x ) e. t <-> ( O \ A ) e. t ) )
81	66	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t e. L /\ A e. t ) -> A. x e. t ( O \ x ) e. t )
82		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t e. L /\ A e. t ) -> A e. t )
83	80, 81, 82	rspcdva 27950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t e. L /\ A e. t ) -> ( O \ A ) e. t )
84	65, 78, 83	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> ( O \ A ) e. t )
85		simpllr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) )
86	85	simprd 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> ( A i^i x ) e. E )
87	86, 22	syl6eleq 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> ( A i^i x ) e. |^| { t e. L | T C_ t } )
88		vex 3090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- x e. _V
89	88	inex2 4567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A i^i x ) e. _V
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> ( A i^i x ) e. _V )
91		elintrabg 4271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A i^i x ) e. _V -> ( ( A i^i x ) e. |^| { t e. L | T C_ t } <-> A. t e. L ( T C_ t -> ( A i^i x ) e. t ) ) )
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> ( ( A i^i x ) e. |^| { t e. L | T C_ t } <-> A. t e. L ( T C_ t -> ( A i^i x ) e. t ) ) )
93	87, 92	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> A. t e. L ( T C_ t -> ( A i^i x ) e. t ) )
94		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> T C_ t )
95		rspa 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. t e. L ( T C_ t -> ( A i^i x ) e. t ) /\ t e. L ) -> ( T C_ t -> ( A i^i x ) e. t ) )
96	95	imp 430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A. t e. L ( T C_ t -> ( A i^i x ) e. t ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> ( A i^i x ) e. t )
97	93, 65, 94, 96	syl21anc 1263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> ( A i^i x ) e. t )
98		incom 3661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( O \ A ) i^i ( A i^i x ) ) = ( ( A i^i x ) i^i ( O \ A ) )
99		inss1 3688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A i^i x ) C_ A
100		disjdif 3873	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A i^i ( O \ A ) ) = (/)
101		ssdisj 3848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A i^i x ) C_ A /\ ( A i^i ( O \ A ) ) = (/) ) -> ( ( A i^i x ) i^i ( O \ A ) ) = (/) )
102	99, 100, 101	mp2an 676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A i^i x ) i^i ( O \ A ) ) = (/)
103	98, 102	eqtri 2458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( O \ A ) i^i ( A i^i x ) ) = (/)
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> ( ( O \ A ) i^i ( A i^i x ) ) = (/) )
105	11, 65, 84, 97, 104	unelldsys 28819	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> ( ( O \ A ) u. ( A i^i x ) ) e. t )
106	64, 71, 105	rspcdva 27950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> ( O \ ( ( O \ A ) u. ( A i^i x ) ) ) e. t )
107	62, 106	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> ( A i^i ( O \ x ) ) e. t )
108	107	ex 435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) /\ t e. L ) -> ( T C_ t -> ( A i^i ( O \ x ) ) e. t ) )
109	108	ralrimiva 2846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) -> A. t e. L ( T C_ t -> ( A i^i ( O \ x ) ) e. t ) )
110		inex1g 4568	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. E -> ( A i^i ( O \ x ) ) e. _V )
111	49, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A i^i ( O \ x ) ) e. _V )
112	111	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) -> ( A i^i ( O \ x ) ) e. _V )
113		elintrabg 4271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i ( O \ x ) ) e. _V -> ( ( A i^i ( O \ x ) ) e. |^| { t e. L | T C_ t } <-> A. t e. L ( T C_ t -> ( A i^i ( O \ x ) ) e. t ) ) )
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) -> ( ( A i^i ( O \ x ) ) e. |^| { t e. L | T C_ t } <-> A. t e. L ( T C_ t -> ( A i^i ( O \ x ) ) e. t ) ) )
115	109, 114	mpbird 235	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) -> ( A i^i ( O \ x ) ) e. |^| { t e. L | T C_ t } )
116	115, 22	syl6eleqr 2528	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) -> ( A i^i ( O \ x ) ) e. E )
117	35, 116	jca 534	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ~P O /\ ( A i^i x ) e. E ) ) -> ( ( O \ x ) e. ~P O /\ ( A i^i ( O \ x ) ) e. E ) )
118	31, 117	sylan2b 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) -> ( ( O \ x ) e. ~P O /\ ( A i^i ( O \ x ) ) e. E ) )
119		ineq2 3664	. . . . . . . 8 |- ( b = ( O \ x ) -> ( A i^i b ) = ( A i^i ( O \ x ) ) )
120	119	eleq1d 2498	. . . . . . 7 |- ( b = ( O \ x ) -> ( ( A i^i b ) e. E <-> ( A i^i ( O \ x ) ) e. E ) )
121	120	elrab 3235	. . . . . 6 |- ( ( O \ x ) e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } <-> ( ( O \ x ) e. ~P O /\ ( A i^i ( O \ x ) ) e. E ) )
122	118, 121	sylibr 215	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) -> ( O \ x ) e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } )
123	122	ralrimiva 2846	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ( O \ x ) e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } )
124	2	ad2antrr 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> O e. V )
125		sspwb 4671	. . . . . . . . . . 11 |- ( { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } C_ ~P O <-> ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } C_ ~P ~P O )
126	1, 125	mpbi 211	. . . . . . . . . 10 |- ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } C_ ~P ~P O
127		simplr 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } )
128	126, 127	sseldi 3468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> x e. ~P ~P O )
129	124, 128	elpwunicl 28007	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> U. x e. ~P O )
130		uniin2 28004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ y e. x ( A i^i y ) = ( A i^i U. x )
131		vex 3090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
132	131	inex2 4567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A i^i y ) e. _V
133	132	dfiun3 5109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ y e. x ( A i^i y ) = U. ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) )
134	130, 133	eqtr3i 2460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i U. x ) = U. ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) )
135		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> t e. L )
136		nfv 1754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ y ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } )
137		nfv 1754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ y x ~<_ om
138		nfdisj1 4410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ yDisj y e. x y
139	137, 138	nfan 1986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ y ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y )
140	136, 139	nfan 1986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ y ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) )
141		nfv 1754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ y t e. L
142	140, 141	nfan 1986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ y ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L )
143		nfv 1754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ y T C_ t
144	142, 143	nfan 1986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t )
145		elpwi 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } -> x C_ { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } )
146	145	ad4antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> x C_ { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } )
147	146	sselda 3470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) /\ y e. x ) -> y e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } )
148		ineq2 3664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b = y -> ( A i^i b ) = ( A i^i y ) )
149	148	eleq1d 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( b = y -> ( ( A i^i b ) e. E <-> ( A i^i y ) e. E ) )
150	149	elrab 3235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } <-> ( y e. ~P O /\ ( A i^i y ) e. E ) )
151	150	simprbi 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } -> ( A i^i y ) e. E )
152	147, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) /\ y e. x ) -> ( A i^i y ) e. E )
153	135	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) /\ y e. x ) -> t e. L )
154		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) /\ y e. x ) -> T C_ t )
155	22	eleq2i 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A i^i y ) e. E <-> ( A i^i y ) e. |^| { t e. L | T C_ t } )
156	132	elintrab 4270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A i^i y ) e. |^| { t e. L | T C_ t } <-> A. t e. L ( T C_ t -> ( A i^i y ) e. t ) )
157	155, 156	bitri 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A i^i y ) e. E <-> A. t e. L ( T C_ t -> ( A i^i y ) e. t ) )
158		rspa 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A. t e. L ( T C_ t -> ( A i^i y ) e. t ) /\ t e. L ) -> ( T C_ t -> ( A i^i y ) e. t ) )
159	157, 158	sylanb 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A i^i y ) e. E /\ t e. L ) -> ( T C_ t -> ( A i^i y ) e. t ) )
160	159	imp 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A i^i y ) e. E /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> ( A i^i y ) e. t )
161	152, 153, 154, 160	syl21anc 1263	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) /\ y e. x ) -> ( A i^i y ) e. t )
162	161	ex 435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> ( y e. x -> ( A i^i y ) e. t ) )
163	144, 162	ralrimi 2832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> A. y e. x ( A i^i y ) e. t )
164		eqid 2429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) = ( y e. x |-> ( A i^i y ) )
165	164	rnmptss 6067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. x ( A i^i y ) e. t -> ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) C_ t )
166	163, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) C_ t )
167	135, 166	sselpwd 27991	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) e. ~P t )
168		simpllr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) )
169	168	simpld 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> x ~<_ om )
170		mptct 28145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x ~<_ om -> ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) ~<_ om )
171		rnct 28143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) ~<_ om -> ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) ~<_ om )
172	170, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x ~<_ om -> ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) ~<_ om )
173	169, 172	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) ~<_ om )
174	168	simprd 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> Disj y e. x y )
175		disjin2 28036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (Disj y e. x y -> Disj y e. x ( A i^i y ) )
176		disjrnmpt 28034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (Disj y e. x ( A i^i y ) -> Disj z e. ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) z )
177	174, 175, 176	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> Disj z e. ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) z )
178		nfmpt1 4515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y ( y e. x |-> ( A i^i y ) )
179	178	nfrn 5097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) )
180		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ z y
181		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y z
182		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = z -> y = z )
183	179, 180, 181, 182	cbvdisjf 28021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Disj y e. ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) y <-> Disj z e. ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) z )
184	177, 183	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> Disj y e. ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) y )
185		breq1 4429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) -> ( z ~<_ om <-> ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) ~<_ om ) )
186	181, 179	disjeq1f 28023	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) -> (Disj y e. z y <-> Disj y e. ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) y ) )
187	185, 186	anbi12d 715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) -> ( ( z ~<_ om /\ Disj y e. z y ) <-> ( ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) ~<_ om /\ Disj y e. ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) y ) ) )
188		unieq 4230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) -> U. z = U. ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) )
189	188	eleq1d 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) -> ( U. z e. t <-> U. ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) e. t ) )
190	187, 189	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) -> ( ( ( z ~<_ om /\ Disj y e. z y ) -> U. z e. t ) <-> ( ( ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) ~<_ om /\ Disj y e. ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) y ) -> U. ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) e. t ) ) )
191	13	simp3d 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. L -> A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) )
192		breq1 4429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> ( x ~<_ om <-> z ~<_ om ) )
193		disjeq1 4404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> (Disj y e. x y <-> Disj y e. z y ) )
194	192, 193	anbi12d 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = z -> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) <-> ( z ~<_ om /\ Disj y e. z y ) ) )
195		unieq 4230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> U. x = U. z )
196	195	eleq1d 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = z -> ( U. x e. t <-> U. z e. t ) )
197	194, 196	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = z -> ( ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) <-> ( ( z ~<_ om /\ Disj y e. z y ) -> U. z e. t ) ) )
198	197	cbvralv 3062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) <-> A. z e. ~P t ( ( z ~<_ om /\ Disj y e. z y ) -> U. z e. t ) )
199	191, 198	sylib 199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t e. L -> A. z e. ~P t ( ( z ~<_ om /\ Disj y e. z y ) -> U. z e. t ) )
200	199	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t e. L /\ ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) e. ~P t ) -> A. z e. ~P t ( ( z ~<_ om /\ Disj y e. z y ) -> U. z e. t ) )
201		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t e. L /\ ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) e. ~P t ) -> ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) e. ~P t )
202	190, 200, 201	rspcdva 27950	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. L /\ ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) e. ~P t ) -> ( ( ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) ~<_ om /\ Disj y e. ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) y ) -> U. ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) e. t ) )
203	202	imp 430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( t e. L /\ ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) e. ~P t ) /\ ( ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) ~<_ om /\ Disj y e. ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) y ) ) -> U. ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) e. t )
204	135, 167, 173, 184, 203	syl22anc 1265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> U. ran ( y e. x |-> ( A i^i y ) ) e. t )
205	134, 204	syl5eqel 2521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ T C_ t ) -> ( A i^i U. x ) e. t )
206	205	ex 435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) -> ( T C_ t -> ( A i^i U. x ) e. t ) )
207	206	ralrimiva 2846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> A. t e. L ( T C_ t -> ( A i^i U. x ) e. t ) )
208	88	uniex 6601	. . . . . . . . . . . 12 |- U. x e. _V
209	208	inex2 4567	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i U. x ) e. _V
210	209	elintrab 4270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A i^i U. x ) e. |^| { t e. L | T C_ t } <-> A. t e. L ( T C_ t -> ( A i^i U. x ) e. t ) )
211	207, 210	sylibr 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> ( A i^i U. x ) e. |^| { t e. L | T C_ t } )
212	211, 22	syl6eleqr 2528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> ( A i^i U. x ) e. E )
213	129, 212	jca 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> ( U. x e. ~P O /\ ( A i^i U. x ) e. E ) )
214		ineq2 3664	. . . . . . . . 9 |- ( b = U. x -> ( A i^i b ) = ( A i^i U. x ) )
215	214	eleq1d 2498	. . . . . . . 8 |- ( b = U. x -> ( ( A i^i b ) e. E <-> ( A i^i U. x ) e. E ) )
216	215	elrab 3235	. . . . . . 7 |- ( U. x e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } <-> ( U. x e. ~P O /\ ( A i^i U. x ) e. E ) )
217	213, 216	sylibr 215	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> U. x e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } )
218	217	ex 435	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) -> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) )
219	218	ralrimiva 2846	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) )
220	28, 123, 219	3jca 1185	. . 3 |- ( ph -> ( (/) e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } /\ A. x e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ( O \ x ) e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } /\ A. x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) ) )
221	7, 220	jca 534	. 2 |- ( ph -> ( { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } e. ~P ~P O /\ ( (/) e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } /\ A. x e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ( O \ x ) e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } /\ A. x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) ) ) )
222	11	isldsys 28817	. 2 |- ( { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } e. L <-> ( { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } e. ~P ~P O /\ ( (/) e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } /\ A. x e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ( O \ x ) e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } /\ A. x e. ~P { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } ) ) ) )
223	221, 222	sylibr 215	1 |- ( ph -> { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } e. L )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1870   A.wral 2782   {crab 2786   _Vcvv 3087   \ cdif 3439   u. cun 3440   i^i cin 3441   C_ wss 3442   (/)c0 3767   ~Pcpw 3985   U.cuni 4222   |^|cint 4258   U_ciun 4302  Disj wdisj 4397   class class class wbr 4426   |-> cmpt 4484   ran crn 4855   ` cfv 5601   omcom 6706   ~<_ cdom 7575   ficfi 7930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-ac2 8891

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-ac 8545  df-cda 8596

This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem2  28825